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直线与圆(较难题组)含答案


9.直线和圆的方程较难题及难题组)
1. (2012 年江苏高考 12)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直 线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .

2、 (2011 江苏高考 14)设集合 A ? {(

x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} ,
若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________

3. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试 13)如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动, 且 AB=2, 若点 A 从( 3, 0)移动到( 2, 0),则 AB 中点 D 经过的路程为 ▲ . B 4. (南通市 2013 届高三第一次调研测试 13)已知直线 y=ax+3 与 圆 x ? y ? 2 x ? 8 ? 0 相交于 A,B 两点,点 P( x0 , y0 ) 在直线
2 2

y B? D? D O A? A x

(第 3 题图)

y=2x 上,且 PA=PB,则 x0 的取值范围为





. 5. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试 13)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 交于 A , B 两点,则直线 OA 与直线

OB 的倾斜角之和为



6. (镇江市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试 12)从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 向圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线 PA, PB , A, B 为切点 ,则四边形 PACB 的周长最小 值为 .

7. (无锡市 2013 届高三上学期期末考试 13)定义一个对应法则 f:P(rn,n)→ p? (m, 2|n|) .现有直角坐标平面内的点 A(-2,6)与点 B(6,-2) ,点 M 是线段 AB 上的动 点,按定义的对应法则 f:M→M'.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时, 点 M 的对应点 M'经过的路线的长度为 。

8. (2012~2013 年苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试 12)若对于给定的正实数 k,函 k 数 f(x)= 的图象上总存在点 C, 使得以 C 为圆心、 1 为半径的圆上有两个不同的点到原点 O x 的距离为 2,则 k 的取值范围是________.

9. (江苏省宿迁市 2013 届高三一模统测试题 18) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 3 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,一条准线方程为 x ? . 2 3 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 G , H 为椭圆上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 ? 时,求 ?GOH 的面积; ②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请 求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.

10. (南通市 2013 届高三第二次模拟考试 19) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=r2 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数, 且 0<r<a),M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q. (1) 若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 的方程; (2) 求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标.

【解析】考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离。 ∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径 的圆与圆 C 有公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即 为 点 C 到 直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2 k 2 ?1

,∴

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解得

0?k ?

4 。 3
∴ k 的最大值是

4 。 3

【答案】

4 。 3

【解析】考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离,线性规划。 当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间,

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ? 0 ,因为 A ? B ? ? , 此时无解;当 m ? 0 时,集合 A 2 2
是以( 2,0 )为圆心,以

m 和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行线之间,必有 2

2 ? 2 m ?1 ? m 1 2 ?1 ? 2 ?m ? ? m ? 2 ? 1 .又因为 ? m 2 ,? ? m ? 2 ? 1 ? 2?2 m ?m 2 2 2 ? ? 2 1 【答案】 ? m ? 2 ? 1 2

3【解析】考查求点的轨迹方程,弧长公式。 设 AB 中点 D(x,y) ∵ ?AOB ? 90 ∴OD=1 ∴ x ? y ?1
2 2

当点 A 从( 3,0)移动到( 2,0)时,x 从 ∴ 圆心角变化

2 3 变到 2 2

?
12
?

∴D 经过的路程为12

? 答案: 12 4【解析】考查直线与圆的位置关系。

直线y ? ax ? 3与圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 ? 0相交
2 圆方程为(x ? 1 ) ? y2 ? 9

?d ?

?3 a2 ?1 ? 8a 2 ? 6a ? 0 3 ? a ? ? 或a ? 0 4 PA ? PB 1 ? P在AB的中垂线y=- (x+1)上 a P在y ? 2 x上 1 ? - (x0 +1)= 2 x0 a ?1 3 ? x0 ? (a ? ? 或a ? 0) 2a ? 1 4 ? x0 ? (?1, 0) (0, 2)
【答案】 (?1, 0)
(0, 2) 5【解析】考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角和斜率。

3?a

?

3x ? y ? 6 ? 0 ( x ? 3 )2 ? ( y ?1) 2 ? 2

3 3 ?1 3 ? 3 3 3 ?1 3 ? 3 , ), B( , ) 2 2 2 2 3 ? 3 10 3 ? 12 ? kOA ? ? 26 3 3 ?1 ? A( kOB ? 3 ? 3 10 3 ? 12 ? 26 3 3 ?1

? tan(? ? ? ) ? 3 ?? ? ? ?

?
3

【答案】60° 6【解析】考查直线与圆的位置关系 ∵四边形 PACB 的周长=2PA+2r=2PA+2 ∴ 当 PA 最小时四边形 PACB 的周长最小

PA ? PC 2 ? 1 PC最小值为 ? d ? ? PA最小值为2 2
∴四边形 PACB 的周长最小值为 4 2 ? 2 【答案】 4 2 ? 2 7【解析】考查直线的方程和轨迹方程的应用。

15 ?3 5

设M ( x, y ) ? M ' ( x ' , y ' ), ? x ? x' , y ' ? 2 y y ? ? x ? 4(?2 ? x ? 6) 当 ? 2 ? x ? 4时,y ? 0 1 ? y ' ? ? x' ? 4 2 M ' 从( ? 2,12) ? (4, 0)
2 ? M ' 所经过的路程为(4 ? 2) ? 122 ? 6 5

当4 ? x ? 6时,y ? 0 1 ?? y ' ? ? x ' ? 4(4 ? x ' ? 6) 2 ' M 从(4,0) ? (6,4)
2 ? M ' 所经过的路程为(4 ? 6) ? 42 ? 2 5

'? M 所经过的路程共为8 5
'

【答案】8 5 8 解析】考查圆与圆的位置关系和存在性命题成立的条件。

k 设C (a, ), a k ? C : ( x ? a)2 ? ( y ? )2 a 2 2 O:x ? y ? 4 C上总有两个点到原点的距离为2 ? C与 O相交
2

k2 ? 存在a使1< a ? 2 ? 3 a 4 2 ? 存在a使 ? a ? a ? k 2 ? ?a 4 ? 9a 2 81 4 9 ?0 ? k ? 2 9? 【答案】? ?0,2? c 6 a2 3 6 2 2 2 9 解: (1)因为 ? , , a ? b ? c ,……………………………2 分 ? a 3 c 2 ?0 ? k 2 ?
解得 a ? 3, b ? 3 , 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ………………………………………………………4 分 9 3

? 2 9 ? y ? 3x x ? ? ? ? 10 2 (2)①由 ? x 2 ,解得 ,…………………………………………6 分 ? y 27 2 ? ? 1 ? ?y ? 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 x ? y?? x ? ? ? ? 2 3 由? 得? , ……………………………………………………8 分 2 2 3 2 x y ? ? ? y ? ?1 ? ? 2 ? 3 ?9
所以 OG ?

3 10 3 15 .……………………………10 分 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5
1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH
2 2 2 因为 OG ? OH ? GH ,故

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

10 解: (1) 当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0). ?x2+y2=4, ? 8 6? , 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解? 得 P? 5 5?.(2 分) ? ?x-3y+2=0, ? 2 2 ? ?x +y =4, 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解? 得 Q(0,-2).(4 分) ?x-y-2=0, ? 由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0.(6 分) (2) 证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0).设 M(a,t), 1 1 直线 MA1 的方程是:y= (x+r),直线 MA1 的方程是:y= (x-r).(8 分) a+r a-r x2+y2=r2, ? 2 2 ? ?r(a+r) -rt , 2tr(a+r) ?.(10 分) 解? 得 P? ? t 2 2 ? (a+r) +t (a+r)2+t2? y= (x+r), ? a + r ? x2+y2=r2, ? 2 2 ? ?rt -r(a-r) ,- 2rt(a-r) ?.(12 分) 解? 得 Q? ? t 2 2 (a-r)2+t2? ? (a-r) +t y= (x-r), ? a - r ? 2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= 2 2 2, a -t -r 2 2 2tr(a+r) 2at ? r(a+r) -rt ? 直线 PQ 的方程为 y- 2 2 ?.(14 分) 2 2= 2 2 2?x- (a+r) +t ? (a+r) +t a -t -r ? 2 r2 ? r ? 上式中令 y=0,得 x= ,是一个与 t 无关的常数,故直线 PQ 过定点? a ,0?(16 分) a 证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0).设 M(a,t), t 直线 MA1 的方程是:y= (x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1). a+r t 直线 MA2 的方程是:y= (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2). a-r 则点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0 上,(10 分) 化简得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0.① 又有 P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.②

① r-t2×②得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)-r2(x2+y2-r2)=0, 化简得:(a-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0. ③(14 分) r2 ? r2 在③中令 y=0 得 x= ,故直线 PQ 过定点? ? a ,0?.(16 分) a


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