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高考数学第一轮复习教案第40讲 统计


高考数学一轮复习学案 第 40 讲 统计 一.课标要 求: 1.统计案例 通过典型案例,学习下列一些常见的统计方法,并能初步应用这些方法解决一些实际问题。 (1)通过对典型案例(如"肺癌与吸烟有关吗"等)的探究,了解独立性检验(只要求 2×2 列联表) 的基本思想、方法及初步应用; (2)通过对典型案例(如"质量控制"、"新药是否

有效"等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的 基本思想、方法及初步应用; (3)通过对典型案例(如"昆虫分类"等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用; (4)通过对典型案例(如"人的体重与身高的关系"等)的探究,进一步了解回归的基本思想、方法及 初步应用。 2.随机变量的分布列 (1)在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻 画随机现象的重要性; (2)通过实例(如彩票抽奖) ,理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用; (3)在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项 分布,并能解决一些简单的实际问题; (4)通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均 值、方差,并能解决一些实际问题; (5)通过实际问题,借助直观(如实际问题的直方图) ,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意 义。 二.命题走向 统计案例 本部分内容主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用,是教材 新增内容,估计高考中比重不会过大。 预测高 考主要有以下几种情况: (1)知识点将会考察回归分析的基本思想方法,用独立性检验判断 A 与 B 间的关系,及 2×2 列联表; (2)考查的形式主要以选择、填空题为主,但不会涉及很多; 随机变量的分布列 本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列,离散性随机变量的均值和方差,正态分布,从近几 年的高考观察,这部分内容有加强命题的趋势。 预测高考对本部分内容的考查有以下情况: (1)考查的重点将以随机变量及其分布列的概念和基本计算为主,题型以选择、填空为主,有时也以 解答题形式出现; (2)预计高考还是实际情景为主,建立合适的分布列,通过均值和方差解释实际问题;

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三.要点精讲 统计案例 1.相关系数 相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的,对于变量 y 与 x 的一组观测值,把

?
叫做变量 y 与 x 之间的样本相关系数,简称相关系数,用它来衡量两个变量之间的线性相关程度。 相关系数的性质: | r | ≤1,且 | r | 越接近 1,相关程度越大;且 | r | 越接近 0,相关程度越小。 显著性水平:显著性水平是统计假设检验中的一个概念,它是公认的小概率事件的概率值。它必须在每 一次统计检验之前确定。显著性检验:(相关系数检验的步骤)由显著性水平和自由度查表得出临界值,显 著性水平一般取 0.01 和 0.05,自由度为n-2,其中n是数据的个数在“相关系数检验的临界值表”查出 与显著性水平 0.05 或 0.01 及自由度 n-2(n 为观测值组数)相应的相关数临界值 r0
05

或 r0 01;例如n=

7时,r0.05=0.754,r0.01=0.874 求得的相关系数r和临界值r0.05 比较,若r>r0.05,上面y与x是线性 相关的,当 ≤r0.05 或 r0.01,认为线性关系不显著。

结论:讨论若干变量是否线性相关,必须先进行相关性检验,在确认线性相关后,再求回归直线; 通过两个变量是否线性相关的估计,实际上就是把非确定性问题转化成确定性问题来研究; 我们研究 的对象是两个变量的线性相关关系,还可以研究多个变量的相关问题,这在今后的学习中会进一步学到。 2.卡方检验 统计中有一个有用的(读做“卡方”)统计量,它的表达式是:

K2 ?

n(ad ? bc) ,经过对统计量分布的研究,已经得到了两个临界值:3.841 与 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

6.635。当根据具体的数据算出的 k>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;当 k>6.635 时,有 99%的把 握说事件 A 与 B 有关;当 k ? 3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的。 随机变量 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用希腊字母 ξ 、η 等表示。 对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变 量。 注:随机变量 ξ 是关于试验结果的函数,即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量 ξ 的线性组 合 η =aξ +b(a、b 是常数)也是随机变量。 2.离散性随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量 ? 可能取得值为: X1,X2,?,X3,?,

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? 取每一个值 Xi(I=1,2,?)的概率为 P( ? ? xi) ? P ,则称表 ? X1 X2 ? xi ?
P P1 P2 ? Pi ? 为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列。 两条基本性质:① pi ? 0(i ? 1,2, ?);②P1+P2+?=1。 3.独立 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相 互独立事件。 独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的。 公式 (1)两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B) ; 推广:若事件 A1,A2,?,An 相互独立,则 P(A1·A2?An)=P(A1)·P(A2)·?·P(n)。[来源:学*科*网 Z*X*X*K] (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概 率:Pn(k)=C n P (1-P) 。 4.随机变量的均值和方差 (1)随机变量的均值
k
k n-k

E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?;反映随机变量取值的平均水平。
(2)离散型随机变量的方差:
2 D? ? ( x1 ? E? ) 2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ? ? ? ( xn ? E? ) pn ? ?;反映随机变量取值的稳定与波动,集

中与离散的程度。 基本性质: E (a? ? b) ? aE? ? b ; D(a? ? b) ? a 2 D? 。 5.几种特殊的分布列 (1)两点分步 两点分布:对于一个随机试验,如果它的结果只有两种情况,则我们可用随机变量

???

?1 甲结果发生, . ?0 乙结果发生

,来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为 P,则乙结果发生的概率必

定为 1-P,所以两点分布的分布列为:

?
P 均值为 E? =p,方差为 D? =p(1-p) 。 (2)超几何分布

1 P

0 1-p

重复进行独立试验,每次试验只有成功、失败两种可能,如果每次试验成功的概率为 p,重复试验直到 出现一次成功为止,则需要的试验次数是一个随机变量,用 ξ 表示,因此事件{ξ =n}表示“第 n 次试验

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成功且前 n-1 次试验均失败”。所以 P?? ? n ? ? p ? ?1 ? p? ξ P (3)二项分布 1 p 2 p(1-p) ? ?

n ?1

,其分布列为: n ?
n ?1

p?1 ? p?

?

如果我们设在每次试验中成功的概率都为 P,则在 n 次重复试验中,试验成功的次数是一个随机变量, 用 ξ 来表示,则 ξ 服从二项分布.则在 n 次试验中恰好成功 k 次的概率为: P?? ? k ? ? Ck p k ?1 ? p? n 二项分布的分布列为: ξ P
0 n 0 n ?k

.

0

1
n

?
n ?1

?

n

C p ?1 ? p?
记 ε

C p ?1 ? p?
1 n 1

?

C p ?1 ? p?
k n k

n ?k

?

C p ?1 ? p?
n n n

0

是 n 次 独 立 重 复 试 验 某 事 件 发 生 的 次 数 , 则 ε ~ B ( n , p ); 其 概 率

k Pn (k ) ? Cn p k q n?k (q ? 1 ? p, k ? 0,1,2, ? , n) 。期望 Eε =np,方差 Dε =npq。

6.正态分布 正态分布密度函数: f ( x) ? 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交。 (2)曲线关于直线 x =μ 对称。 (3)曲线在 x =μ 时位于最高点。 (4)当 x <μ 时,曲线上升;当 x >μ 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴 为渐近线,向它无限靠近。 (5)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定。σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ 越小, 曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。 从理论上讲,服从正态分布的随机变量 ? 的取值范围是 R,但实际上 ? 取区间(μ -3σ ,μ +3σ )外的数 值 的可能性微乎其微,在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此,往往认为它的取值是个有限区间, 即区间(μ -3σ ,μ +3σ ),这即实用中的三倍标准差规则,也叫 3σ 规则。在企业管理中,经常应用这个 规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。 四.典例解析 题型 1:线性相关性检验 例 1.一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间由如下一组数据: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1 .80 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3 .14 1)画出散点图;2)检验相关系数 r 的显著性水平;3)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归直线方程. 3.26 3.36 3.50 1.87 1.98 2.07

1 2??

?

( x?? )2 2? 2
2 ,均值为 Eε =μ ,方差为 D? ? ? 。

e

4 / 13

解析: i xi 1 2 3 4 5 6 1.48 7 1.59 8 1.68 9 1.80 10 1.87 11 12

1.08 1.12 1.19 1.28 1.36

1.98 2.07[来 源:学& 科&网]

yi

2.25 2.37 2.40 2.55 2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

3.36

3.50 7.245

xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07

4.643 5.090 5.652 6.096 6.653

=



=

=2.8475,

=29.808,

=99.2081,

=54.243

1)画出散点图:

2)

r=

= 在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平 0.05 及自由度 12-2=10 相应的相关数临界值 r0.05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间存在线性相关关系。 3)设回归直线方程 ,利用

5 / 13

, 计算 a,b,得 b≈1.215, a= ∴回归直线方程为: ≈0.974,

例 2. 7 块并排、 在 形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验, 得数据如下 (单位: kg) 施化肥 量x 水稻产 量y 5 1 0 3 2 5 3 2 0 3 3 5 4 3 0 4 4 5 4 4 4

30 45 65 05 45 50 55 1)画出散点图;2)检验相关系数 r 的显著性水平;3)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归直线方程。 解析:1)画出散点图如下:

6 / 13

2)检验相关系数 r 的显著性水平: 1 xi yi xiyi 15 330 4950 2 20 345 6950 3 25 365 9125 4 30 405 12150 5 35 445 15575 6 40 450 18000 7 45 455 20475

i

=30,

=399.3,

=7000,

=1132725,

=87175

r=

=

≈0.9733,在“相关系

数检验的临界值表”查出与显著性水平 0.05 及自由度 7-2=5 相应的相关数临界值 r0.05=0.754<0.9733, 这 说明水稻产量与施化肥量之间存在线性相关关系。

3)设回归直线方程

,利用

计算 a,b, 得 b= a=399.3-4.75×30≈257,则回归直线方程

题型 2:独立性检验

7 / 13

例 3.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,调查结果如下表所示: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 合计 205 134 339

试问:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗? 解析: 由公式 K ?
2

339 ? (43 ? 121 ? 162 ? 13) ? 7.469 , 因为 7.469>6.635,所以我们有 99%的把握说: 205 ? 134 ? 56 ? 283

50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。 例 4.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的跟踪研究,调 查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68 未发作过心脏病 157 167 324 合计 196 196 392

试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。 解析:由公式 K ?
2

392 ? (39 ? 167 ? 157 ? 29) ? 1.78 ,因为 1.78>3.841,所以我们没有理由说“心 196 ? 196 ? 68 ? 324

脏搭桥手术”与“又发作过心脏病”有关,可以认为病人又发作与否与其做过任何手术无关。 题型 3:独立的概念及应用 例 5.有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验。 (1)求恰有一件不合格的概率; (2)求至少有两件不合格的概率(精确到 0.001) ; 解析:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C,[来源:学+科+网] (1)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,则 P( A )=0.10,P( B )=P( C )=0.05。 因为事件 A、B、C 相互独立,恰有一件不合格的概率为: P(A·B· C )+P(A· B ·C)+P( A ·B·C) =P(A)·P(B)·P( C )+P(A)·P( B )·P(C)+P( A )·P(B)·P(C) =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 答:恰有一件不合格的概率为 0.176. (2)解法一:至少有两件不合格的概率为: P(A· B · C )+P( A ·B· C )+P( A · B ·C)+P( A · B · C ) =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012. 答:至少有两件不合格的概率为 0.012.

8 / 13

解法二:三件产品都合格的概率为: P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.90×0.95×0.95≈0.812. 由(1)知,恰有一件不合格的概率为 0.176,所以,至少有两件不合格的概率为 1-[P(A·B·C) +0.176]=1-(0.812+0.176)=0.012. 答:至少有两件不合格的概率为 0.012. 点评:本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件概率的计算及运用数学知识解决问题 的能力。 例 6.某公 司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案。 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a, b, c , 且三门课程考试是否及格相互之间没有影 响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) 解析:设三门考试课程考试通过的事件分别为 A,B,C,相应的概率为 a,b,c
__

__

__

(1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为 AB C +A B C+ A BC+ABC,设其概率为 P1,则 P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc 设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为 P2,则 P2=

1 1 1 ab+ ac+ bc 3 3 3

(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(

1 1 1 2 2 2 2 ab+ ac+ bc)= ab+ ac+ bc-2abc= (ab 3 3 3 3 3 3 3

+ac+bc-3abc)=

2 〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a ) 〕?0 3

?P1?P2 即用方案一的概率大于用方案二的概率。 点评:“至少、至多”问题的处理方式是分类到底,利用独立、互斥或对立事件进行转化。 题型 4:随机变量的分布列 例 7.某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下:

X
P

6 0

7
0.2

8
0.3

9
0.3

10
0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ? . (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率 (II)求 ? 的分布列 解析:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P(7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ; (Ⅱ) ? 的可能取值为 7、8、9、10

P(? ? 7) ? 0.04;

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21,

9 / 13

P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39 ,
P(? ? 10) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.36 , ? 分布列为:

?
P

7 0. 04

8 0.21

9 0.39

10 0.36

(Ⅲ) ? 的数学希望为 E? ? 7 ? 0.04 ? 8 ? 0.21? 9 ? 0.39 ? 10 ? 0.36 ? 9.07 。 点评:分布列不仅明确给出了( ? ? xi )的概率,而且对任 a ? b 事件( a ? ? ? b )发生的概率均可 由分布列算出: (a ? ? ? b) ?
a?ai ?b

U (? ? ai ) ? P(a ? ? ? b) ?

a?ai ?b

?

P(? ? ai ) ?

a?ai ?b

?

Pi 。

例 8.设自动生产线在调整后出现废品的概率为 0 .1,而且一旦出现废品就要重新调整,求在两次调整 之间所生产的合格品的数目不小于 5 的概率。 分析:如果用随机变量 η 表示两次调整之间生产的产品的个数,而且我们知道一旦出现废品就重新调 整生产线,所以两次调整之间所生产的合格品是连续出现的,那么随机变量 η 的取值就服从几何分布,我 们在解题时应先求出 η 的分布列。然后再计算事件“合格品数不小于 5”即{η >5}的概率。 解析:设随机变量 η 表示两次调整之间生产线所生产的产品的个数,则 η 服从几何分布,事件{η = k}就表示生产了 k-1 件合格品,且第 k 件产品是废品。容易求得: P(η =1)=0.1, P(η =2)=(1-0.1)×0.1=0.09,

P?? ? 3? ? ?1 ? 0.1? ? 0.1 ? 0.081.
2

写成分布列的形式为:

?

1

2 0.09[来 源:学§

3

4

5

6

?

P

0.1

科§网 Z §X§X §K]

0.81

0.0729

0.06561

0.059049

?

题目中要求计算“所生产的合格品数不小于 5”的概率,即 P(η >5),因为事件{η >5}所包含的基本事 件为{η =6},{η =7},?,{η =n},?,所以有 P(η >5)=P(η =6)+P(η =7)+?+P(η =n)+? 我们应用分布列的性质计算上式的值.因为 P(η >5)=1-P(η ≤5),所以 P(η >5)=1-[P(η =1)+P(η =2)+P(η =3)+P(η =4)+P(η =5)] =1-(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)=0.49049, 所以事件“两次调整之间所生产的合格品数不小于 5”的概率为 0.49049 点评:这是一道综合例题,包括了分列的计算及分布列的应用两个步骤。该题对于我们巩固所学知识 , 深入了解分布列有很大帮助。

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题型 5:随机变量的均值 例 9. (1)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数 0,两个面上标以数 1,一个面上标以数 2, 将这个小正方体抛掷 2 次; 则向上的数之积的数学期望是 ;

(2)利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是_____.

解析: (1)一个均匀小正方体的 6 个面中,三个面上标以数 0,两个面上标以数 1,一个面上标以数 2。 将这个小正方体抛掷 2 次,向上的数之积可能为 ξ =0,1,2,4, 则 P(? ? 0) ?
1 1 1 1 1 1 C3C3 ? C3C3 ? C3C3 3 C1C1 1 ? , P(? ? 1) ? 2 2 ? , 1 1 1 1 C6C6 4 C6C6 9

1 1 1 2 4 4 C2C11 ? C11C2 1 C1C1 1 ? . , P(? ? 4) ? 1 1 ? ,∴ E? ? ? ? P(? ? 2) ? ? 1 1 1 1 9 9 36 9 C6C6 9 C6C6 36

点评:掌握离散性随机变量均值的计算方法,以及计算的先后顺序。 (2)答案:A3 解析:A1 的数学期望: E x1 =0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7

A2 的数学期望: E x 2 =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A3 的数学期望: E x3 =0.25×(-20)+0.30×52+0.45×78=45.7 A4 的数学期望: E x 4 =0.25×98+0.30×82+0.45×(-10)=44.6
点评:本题考查概率与数学期望,考查学生识表的能力.对图表的识别能力,是近年高考突出考查的热 点.图表语言与其数学语言的相互转换,应成为数学学习的一个重点,应引起高度重视。 例 10.设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1,2,3,4。 P(? ? k ) ? ak ? b ( k ? 1,2,3,4) 。又 ? 的 数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ? ;

解 析 : 设 离 散 性 随 机 变 量 ? 可 能 取 的 值 为 1,2,3,4, P ?? ? k ? ? ak ? b ? k ? 1,2,3,4? , 所 以

(a ? b) ? ( 2 ? b )? ( 3 ? b ) ( a ? b ,即 10a ? 4b ? 1 , a a ? 4 ? 1 )

b 又 ? 的 数学 期望 E? ? 3 , 则 (a ? b) ? 2( 2 ? b )? 3(3 ? b ) 4( a ? b ) ,即 30a ? 10 ? 3, a a ? 4 ? 3
a? 1 1 , b ? 0 ,∴ a ? b ? 。 10 10
点评:均值计算时要根据公式进行简化计算,从而达到简化运算的目的。

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题型 6:随机变量的方差 例 11.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为 ε 、η ,ε 和 η 的分布列如下: ε P 0 1 2 η P 0 1 2

6 10

1 10

3 10

5 10

3 10

2 10

试对这两名工人的技术水平进行比较。 分析:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品 数的波动情况,即方差值的大小。 解析:工人甲生产出次品数 ε 的期望和方差分别为:

E? ? 0 ?

6 1 3 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.7 , 10 10 10 6 1 3 ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.891 ; 10 10 10

D? ? (0 ? 0.7) 2 ?

工人乙生产出次品数 η 的期望和方差分别为:

E? ? 0 ?

5 3 2 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.7 , 10 10 10

D? ? (0 ? 0.7) 2 ?

5 3 2 ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.664 ; 10 10 10

由 Eε =Eη 知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但 Dε >Dη ,可见乙的技术比较稳定。 点评:期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值的大小还不够。如果两个随机变量 的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算方差。方差大说明随机变量取值较分散, 方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定。 题型 7:正态分布 例 12.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N (70,100) 。已知成绩 在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名。 (Ⅰ) 、试问此次参赛学生总数约为多少人 ? (Ⅱ) 、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?

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可共查阅的(部分)标准正态分布表 ?( x0 ) ? P( x ? x0 )

x0
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1

0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821

1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826

2 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830

3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834

4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838

5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842

6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846

7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850

8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854

9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

解析: (Ⅰ)设参赛学生的分数为 ? ,因为 ? ~N(70,100),由条件知, P( ? ≥90)=1-P( ? <90)=1-F(90)=1- ? (

90 ? 70 ) =1- ? (2)=1-0.9772=0.228. 10

这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因此,

参赛总人数约为

12 ≈526(人) 。 0.0228

(Ⅱ) 假定设奖的分数线为 x 分, P( ? ≥x)=1-P ? <x) 则 ( =1-F(90)=1- ? ( 即? (

x ? 70 50 )= =0.0951, 10 526

x ? 70 x ? 70 ) =0.9049,查表得 ≈1.31,解得 x=83.1. 10 10

故设奖得分数线约为 83.1 分。 点评:本小题主要考查正态分布,对独立事件的概念和标准正态分布的查阅,考查运用概率统计知识 解决实际问题的能力。 五.思维总结 1.一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行 相关性检验.在 确认其具有线性相关关系后,再求其回归直线方程;由部分数据得到的回归直线,可以对两个变量间的线 性相关关系进行估计,这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究.由 于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸,它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用。 2.对卡方统计量的表达式的由来,学生只需要了解,作为探究问题可以在课后学习。 统计的基本思维模式是归纳的,它的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质,因此,统计推 断可能是错误的,也就是说 ,我们从数据上体现的只是统计上的关系,而不是因果关系。

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