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2014-2015学年吉林省四平一中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年吉林省四平一中高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 为( ) A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i 2.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A. ﹣9 B. ﹣3 C. 9
3

) D. 15

3.将包含甲、乙两队的 8 支球队平均分成两个小组参加某项比赛,则甲、乙两队被分在不 同小组的分配方法有( ) A. 20 种 B. 35 种 C. 40 种 D. 60 种 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(X≤0)=0.1,则 P(X>2)=( A. 0.9 B. 0.1 C. 0.6 D. 0.4
2



5.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为( ) A. B. C. D.

6. A. 1



) C. e ) D. 6 和 5.6 D. e+1

B. e﹣1

7.已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6) ,则 Eη,Dη 分别是( A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6

8.用红,黄两种颜色给如图所示的一列方格染色(可以只染一种颜色)要求相邻的两格不 都染成红色,则不同的染色方法数为( )

A. 7

B. 28

C. 34

D. 42

9. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子, 观察向上的点数, 记“红骰子向上的点数是 3 的倍数” 为事件 A,“两颗骰子的点数和大于 8”为事件 B,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

10.在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的 ) C. D.

项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A. B.

11.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为( A. B. C. D.



12.已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时, 数 A. 1 的零点个数为( B. 2 ) C. 0

,则关于 x 的函

D. 0 或 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.若复数 z 满足 ,则|z+1|的值为 .

14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ,观察发现 S′=l;三 维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察发现 V′=S.则 四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W= 15.设 an(n≥2,n∈N )是
* 3 2 3

2



的展开式中 x 的一次项系数,则

=



16.已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣x ,若在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q, 不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 通过市场调查, 得到某种产品的资金投入 x 万元与获得的利润 y 万元的数据, 如表所示: 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 (1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归方程;

(2)现投入资金 10 万元,求获得利润的估计值为多少万元?

(参考公式:





18.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,y=f(x)在 x=﹣2 时有极值,在 x=1 处的切线方程为 y=3x+1. (1)求 a,b,c (2)求 y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值. 19.淘宝卖家在某商品的所有买家中,随机选择男女买家各 50 名进行调查,他们的评分等 级如下表: 评分等级 [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 女(人数) 2 7 9 20 12 男(人数) 3 9 18 12 8 (1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取两人,求恰有一人是男性的概率; (2)规定:评分等级在[0,3]内为不满意该商品,在(3,5]内为满意该商品.完成下列 2×2 列联表并帮助卖家判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该商品与性别 有关系? 满意该商品 不满意该商品 总计 女 男 总计 参考数据: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:K =
2

3

2

,其中 n=a+b+c+d)

20.在数列{an}中,

,且 Sn=n(2n﹣1)an,

(Ⅰ)求 a2,a3,a4 的值; (Ⅱ)归纳{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 21.有编号为 1,2,3,…,n 的 n 个学生,入坐编号为 1,2,3,…n 的 n 个座位.每个学 生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ξ,已知 ξ=2 时, 共有 6 种坐法. (1)求 n 的值; (2)求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 22.设函数 f(x)=ln(x+1) ,若对任意 x≥1,都有 f(x)≤ax (n∈N )恒成立.
n *

(1)求 a 的取值范围; (2)求证:对任意 x≥1, .

2014-2015 学年吉林省四平一中高二(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 为( ) A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i 考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则求得 z,即可求得 z 的共轭复数 . 解答: 解:∵(z﹣3) (2﹣i)=5, ∴z﹣3= ∴z=5+i, ∴ =5﹣i. 故选 D. 点评:本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数 z 是关键,属于基础题. 2.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A. ﹣9 B. ﹣3 C. 9
3

=2+i

) D. 15

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切线的斜率,再用 3 点斜式写出切线方程,化成一般式,最后令 x=0 解得的 y 即为曲线 y=x +11 在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标. 3 2 解答: 解:∵y=x +11∴y'=3x 2 则 y'|x=1=3x |x=1=3 3 ∴曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线方程为 y﹣12=3(x﹣1)即 3x﹣y+9=0 令 x=0 解得 y=9 ∴曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 9 故选 C 点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及直线与坐标轴的交点坐标等 有关问题,属于基础题. 3.将包含甲、乙两队的 8 支球队平均分成两个小组参加某项比赛,则甲、乙两队被分在不 同小组的分配方法有( ) A. 20 种 B. 35 种 C. 40 种 D. 60 种
3

考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:先分甲、乙,有 即可得出结论. 解答: 解:先分甲、乙,有 =2 种方法,再从其余 6 人种选 3 人加到甲队,有 =20 种 =2 种方法,再从其余 6 人种选 3 人加到甲队,有 =20 种方法,

方法, ∴甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有 20 种. 故选 A. 点评:本题考查乘法原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(X≤0)=0.1,则 P(X>2)=( A. 0.9 B. 0.1 C. 0.6 D. 0.4 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,得到曲线关于 x=1 对称,根据曲线的对称性得 到小于等于 0 的概率和大于等于 2 的概率是相等的得到结果. 2 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∴P(X>2)=P(X≤0)=0.1 故选:B. 点评:本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、 函数图象对称性的应用等基 础知识,属于基础题. 5.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为( ) A. B. C. D.
2 2



考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题. 分析:求出每次取得红球的概率,找出取得红球次数 X 的可能值,求出随机变量 ξ 服从二 项分布 ξ~B(4, ) ,即 E(ξ) ,即为 X 的均值. 解答: 解:采用有放回的取球,每次取得红球的概率都相等,均为 , 取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4, 由以上分析,知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(4, ) , ∴E(ξ)=4× = ,

则 X 的均值为



故选:B. 点评:此题考查了离散型随机变量的期望与方差, 离散型随机变量的期望表征了随机变量取 值的平均值. 6. A. 1 ( ) C. e D. e+1

B. e﹣1

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:利用定积分的计算法则解答即可. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )|
x x 2

=e+1﹣1=e,

故选:C. 点评:本题考查定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题. 7.已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6) ,则 Eη,Dη 分别是( A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 ) D. 6 和 5.6

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据变量 ξ~B (10, 0.6) 可以根据公式做出这组变量的均值与方差, 随机变量 ξ+η=8, 知道变量 η 也符合二项分布,故可得结论. 解答: 解:∵ξ~B(10,0.6) , ∴Eξ=10×0.6=6,Dξ=10×0.6×0.4=2.4, ∵ξ+η=8, ∴Eη=E(8﹣ξ)=2,Dη=D(8﹣ξ)=2.4 故选 B. 点评:本题考查变量的极值与方差, 均值反映数据的平均水平, 而方差反映数据的波动大小, 属于基础题. 8.用红,黄两种颜色给如图所示的一列方格染色(可以只染一种颜色)要求相邻的两格不 都染成红色,则不同的染色方法数为( )

A. 7

B. 28

C. 34

D. 42

考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:本题需要分类,根据染红色的个数进行分类,其中红色只染三格的还要分类,根据分 类计数原理可得. 解答: 解: (1)全染黄色有 1 种方法

(2)红色只染一格的方法:C7 =7 种方法 2 (3)红色只染两格的方法:C7 ﹣6=15 种方法(7 格中任取两格染红色,再减去这两格相邻 的 6 种情况) (4)红色只染三格的方法: 2 ①前三格分别是红黄黄的染法有:C4 ﹣3=3 种染法 2 ②前三格分别是黄红黄的染法有:C4 ﹣3=3 种染法 ③前三格分别是黄黄红的染法有:1 种染法 ④前三格分别是红黄红的染法有:C3 =3 种染法 ⑤前三格不可能都染黄色 故只染三格红色的方法有 10 种 (4)红色只染四格的方法只有 1 种 (5)不可能有满足条件的染五格或五格以上的红色 因此满足条件的染色方法有:1+7+15+10+1=34 种方法, 故选:C. 点评:本题考查了分类计数原理,关键是分类,本题中类中有类,属于中档题. 9. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子, 观察向上的点数, 记“红骰子向上的点数是 3 的倍数” 为事件 A,“两颗骰子的点数和大于 8”为事件 B,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.
1

1

考点:条件概率与独立事件. 专题:概率与统计. 分析:计算 P(AB)= ,P(B)= = ,利用条件概率公式,即可得到结论. ,P(B)=

解答: 解:由题意,P(AB)=

∴P(B|A)=

=

=

故选 A. 点评:本题考查条件概率,考查学生的计算能力,属于中档题.

10.在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的 ) C. D.

项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A. B.

考点:二项式定理;等差数列的性质;等可能事件的概率. 专题:计算题.

分析:求出二项展开式的通项,求出前三项的系数,列出方程求出 n;求出展开式的项数; 令通项中 x 的指数为整数,求出展开式的有理项;利用排列求出将 9 项排起来所有的排法; 利用插空的方法求出有理项不相邻的排法;利用古典概型的概率公式求出概率. 解答: 解:展开式的通项为 ∴展开式的前三项系数分别为 ∵前三项的系数成等差数列 ∴ 解得 n=8

所以展开式共有 9 项, 所以展开式的通项为 =

当 x 的指数为整数时,为有理项 所以当 r=0,4,8 时 x 的指数为整数即第 1,5,9 项为有理项共有 3 个有理项 所以有理项不相邻的概率 P= .

故选 D 点评:解决排列、组合问题中的不相邻问题时,先将没有限制条件的元素排起来;再将不相 邻的元素进行插空. 11.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为( A. B. C. D. )

考点:等可能事件的概率;异面直线的判定. 专题:计算题. 分析:任意取一条棱, 根据正方体的图形得到与该棱存在各种空间关系的条数, 同时根据异 面直线的定义判断出与之异面的棱的条数, 利用古典概型的概率公式求出这两条棱所在的直 线成异面直线的概率. 解答: 对于任意条棱来说,都有 4 条棱与它成异面, 而与该棱存在各种空间关系的总共有 11 条棱(除他本身) , 故这两条棱所在的直线成异面直线的概率 .

故选 A. 点评:求古典概型的事件的概率, 需要得到事件包含的基本事件的个数, 求基本事件个数的 方法有:列举法、树状图法、列表法、排列组合法.

12.已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时, 数 A. 1 的零点个数为( B. 2 ) C. 0

,则关于 x 的函

D. 0 或 2

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的.当 x >0 时,利用导数的 知识可得 xg(x)在(0,+∞)上是递增函数,xg(x)>1 恒成立,可得 xg(x)在(0,+∞) 上无零点. 同理可得 xg(x)在(﹣∞,0)上也无零点,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 非零零点是完全一样的, 故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点. 由于当 x≠0 时, , )>0, ,可得 x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的

①当 x>0 时, (x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ 所以,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)单调递增函数. 又∵

[xf(x)+1]=1,∴在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立,

因此,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1 没有零点. ②当 x<0 时,由于(x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ )<

0, 故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上是递减函数,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立, 故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上无零点. 综上可得,函 在 R 上的零点个数为 0,

故选 C. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断, 导数与函数的单调性的关系, 体现了分类 讨论、转化的思想, 属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.若复数 z 满足 ,则|z+1|的值为 .

考点:复数求模;复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题.

分析:由已知条件求出复数 z,并利用复数代数形式的除法法则化简为 1﹣i,由此求得 z+1 的值及|z+1|的值. 解答: 解:∵复数 z 满足 ,解得 z= = = =﹣i,

∴z+1=1﹣i,∴|z+1|= = , 故答案为 . 点评:本题主要考查复数代数形式的混合运算,复数的模的定义和求法,属于基础题. 14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ,观察发现 S′=l;三 维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察发现 V′=S.则 四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W= 2πr
3 4 2 3 2



考点:类比推理. 专题:计算题. 分析:根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度, 从而得到 W′=V,从而求出所求. 解答: 解:∵二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ,观察发 现 S′=l 三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察发现 V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W,则 W′=V=8πr ; 4 ∴W=2πr ; 4 故答案为:2πr 点评:本题考查类比推理, 解题的关键是理解类比的规律, 解题的关键主要是通过所给的示 例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度,属于基础题.
3 3 2 3 2

15.设 an(n≥2,n∈N )是 17 .

*

的展开式中 x 的一次项系数,则

=

考点:二项式系数的性质;数列的求和. 专题:计算题. 分析:根据所给的设 an(n≥2,n∈N )是
*

的展开式中 x 的一次项系数,写出

数列的通项,代入要求的式子,整理出最简形式,得到可以用裂项来求得数列的和形式,求 出结果. 解答: 解:∵an(n≥2,n∈N )是 ∴an=Cn 3 ∴
2 n﹣2 *

的展开式中 x 的一次项系数,

, =

=

=18(1﹣ +

)=17

故答案为:17 点评:本题考查二项式的展开式的通项和数列求和, 解题的关键是写出数列的通项, 把要求 的式子整理出可以利用裂项来解的形式. 16.已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣x ,若在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q, 不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是 [15,+∞) .
2

考点:不等式;函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: 由于 线的斜率,故函数图象上在区间 (1,2)内任意两点连线的斜率大于 1,故有 f (x)= 即 a>2x +3x+1 在 (1,2)内恒成立,由此求得 a 的取值范围. 解答: 解:由于 表示点(p+1,f(p+1) ) 与点(q+1,f(q+1) )
2 ′

表示点(p+1,f(p+1) ) 与点(q+1,f(q+1) )连

﹣2x>1 在(1,2)内恒成立,

连线的斜率, 因实数 p,q 在区间(0,1)内,故 p+1 和 q+1 在区间(1,2)内. ∵不等式 恒成立,∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连

线的斜率大于 1, 故函数的导数大于 1 在(1,2)内恒成立. 由函数的定义域知,x>﹣1,∴f′(x)=
2

﹣2x>1 在(1,2)内恒成立.

即 a>2x +3x+1 在(1,2)内恒成立. 2 由于二次函数 y=2x +3x+1 在[1,2]上是单调增函数, 2 故 x=2 时,y=2x +3x+1 在[1,2]上取最大值为 15,∴a≥15, 故答案为[15,+∞) . 点评:本题考查斜率公式的应用, 函数的恒成立问题, 以及利用函数的单调性求函数的最值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 通过市场调查, 得到某种产品的资金投入 x 万元与获得的利润 y 万元的数据, 如表所示: 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 (1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归方程;

(2)现投入资金 10 万元,求获得利润的估计值为多少万元?

(参考公式:





考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析: (1) 根据上表提供的数据, 求出样本中心坐标, 以及 , 代入回归直线方程求出 , 即可求线性回归方程; (2)现投入资金 10 万元,利用回归直线方程,直接求获得利润的估计值. 解答: 解: (1) .…4' ,…2'

=

=1.7,…6',

, 所以回归直线方程为: (2)当 x=10 万元时, .…8' 万元.…10'

点评:本题考查用最小二乘法求线性回归方程,以及回归直线方程的应用,考查计算能力. 18.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,y=f(x)在 x=﹣2 时有极值,在 x=1 处的切线方程为 y=3x+1. (1)求 a,b,c (2)求 y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 3 2 分析: (1)由 f(x)=x +ax +bx+c 求导数,利用导数几何意义结合切线方程及函数 f(x) 在 x=﹣2 时有极值即可列出关于 a,b,c 的方程,求得 a,b,c 的值,从而得到 f (x)的 表达式. (2)先求函数的导数 f'(x) ,通过 f'(x)>0,及 f'(x)<0,得出函数的单调性,进一步 得出函数的极值即可. 3 2 2 解答: 解: (1)由 f(x)=x +ax +bx+c 求导数得:f′(x)=3x +2ax+b, ∴f′(1)=2a+b+3=3①,f′(﹣2)=12﹣4a+b=0②,
3 2

由①②解得:a=2,b=﹣4, 过 x=1 处的切线方程为:y﹣f(1)=f′(1) (x﹣1)即 y﹣(a+b+c+1)=(3+2a+b) (x﹣1) ③ 将 a=2,b=﹣4,代入③,解得:c=5, 3 2 (2)由(1)得:f(x)=x +2x ﹣4x+5. 2 2 ∴f′(x)=3x +2ax+b=3x +4x﹣4=(3x﹣2) (x+2) x ﹣3 1 f′(x) f(x) 8 + 递增
3

(﹣3,﹣2)

﹣2

(﹣2,

( ,1)

0 13
2

﹣ 递减

0 极小值
3

+ 递增

4

f(x)极大=f(﹣2)=(﹣2) +2(﹣2) ﹣4(﹣2)+5=13f(1)=1 +2×1﹣4×1+5=4 ∴f(x)在[﹣3,1]上最大值为 13 点评:本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、 利用导数研究函数的单调性等基本 知识,考查计算能力,属于中档题. 19.淘宝卖家在某商品的所有买家中,随机选择男女买家各 50 名进行调查,他们的评分等 级如下表: 评分等级 [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 女(人数) 2 7 9 20 12 男(人数) 3 9 18 12 8 (1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取两人,求恰有一人是男性的概率; (2)规定:评分等级在[0,3]内为不满意该商品,在(3,5]内为满意该商品.完成下列 2×2 列联表并帮助卖家判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该商品与性别 有关系? 满意该商品 不满意该商品 总计 女 男 总计 参考数据: P(K ≥k) k
2

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式:K =

,其中 n=a+b+c+d)

考点:独立性检验的应用. 专题:概率与统计. 分析: (1)求出从等级(4,5]的 20 人中随机选取 2 人的所有结果,恰有 1 人为男性的 结果,然后求解概率. 2 (2)利用联列表,结合已知条件,完成表格,然后计算 K ,判断即可. 解答: 解: (1)因为从等级(4,5]的 20 人中随机选取 2 人,共有 其中恰有 1 人为男性的共有 种结果,…4' 种结果,…2'

故所求概率为 (2) 女 男 总计 …9' 满意该商品 32 20 52

.…6'

不满意该商品 18 30 48

总计 50 50 100

经计算 K 的观测值

2

…11'

所以能够在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该产品与性别有关系.…12' 点评:本题考查古典概型的概率的求法,对立检验思想的应用,考查计算能力.

20.在数列{an}中,

,且 Sn=n(2n﹣1)an,

(Ⅰ)求 a2,a3,a4 的值; (Ⅱ)归纳{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 考点:数列递推式. 专题:计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)因为 Sn=n(2n﹣1)an,所以 a1=s1,a2=s2﹣s1,a3=s3﹣s2,a4=s4﹣s3 这样, 就可根据 a1 求 a2,a3,a4 的值. (Ⅱ)根据(Ⅰ)找规律,a1,a2,a3,a4 都可写成分子是 1,分母是相邻两奇数之积的形 式,所以可归纳{an}的通项公式为 解答: 解: (Ⅰ)a1+a2=2(2×2﹣1)a2,因为 所以 同理 ,a1+a2+a3=3(2×3﹣1)a3,解得 .…(6 分) . ,与已知相符,归纳出的公式成立.
*

,再用数学归纳法来证明. , ,

(Ⅱ)根据计算结果,可以归纳出 当 n=1 时, 假设当 n=k(k∈N )时,公式成立,即



由 Sn=n(2n﹣1)an 可得,ak+1=Sk+1﹣Sk=(k+1) (2k+1)ak+1﹣k(2k﹣1)ak. 即 所以 即当 n=k+1 时公式也成立. . .

综上,

对于任何 n∈N 都成立.…(12 分)

*

点评:本题考查了利用不完全归纳法归纳数列通项公式,再用数学归纳法证明的方法. 21.有编号为 1,2,3,…,n 的 n 个学生,入坐编号为 1,2,3,…n 的 n 个座位.每个学 生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ξ,已知 ξ=2 时, 共有 6 种坐法. (1)求 n 的值; (2)求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列. 专题:计算题. 分析: (1)解题的关键是 ξ=2 时,共有 6 种坐法,写出关于 n 的表示式,解出未知量, 把不合题意的舍去. (2)学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ξ,由题意知 ξ 的可能取值是 0,2, 3,4,当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同,当变量是 2 时表示学生所 坐的座位号与该生的编号有 2 个相同,理解变量对应的事件,写出分布列和期望. 解答: 解: (1)∵当 ξ=2 时,有 Cn 种坐法, 2 ∴Cn =6, 即 ,
2

n2﹣n﹣12=0,n=4 或 n=﹣3(舍去) , ∴n=4. (2)∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ξ, 由题意知 ξ 的可能取值是 0,2,3,4, 当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同, 当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同, 当变量是 3 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 1 个相同, 当变量是 4 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 0 个相同, ∴ ,





, ∴ξ 的概率分布列为:





点评:培养运用从具体到抽象、 从特殊到一般的观点分析问题的能力, 充分体现数学的化归 思想.启发诱导的同时,训练了学生观察和概括归纳的能力. 22.设函数 f(x)=ln(x+1) ,若对任意 x≥1,都有 f(x)≤ax (n∈N )恒成立. (1)求 a 的取值范围; (2)求证:对任意 x≥1, .
n *

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用参数分离可得 x≥1 时,a≥ 调性,求得右边函数的最大值即可; (2)由(1)可得 y=g(x)═
x

=

恒成立,运用导数判断单

在[1,+∞)上单调递减,令 F(x)=e ﹣x,求得

x

导数,判断单调性,可得 g(e ﹣x)≤g(e﹣1) ,化简整理,即可得证. 解答: 解: (1)由已知 x≥1 时,a≥ = 恒成立,

令 g(x)═



则 g′(x)=

[

﹣nln(x+1)],

令 u(x)=

﹣nln(x+1) ,

则 u′(x)=



所以 x≥1 时,u′(x)<0,所以 u(x)在[1,+∞)上单调递减. 所以 x≥1 时,u(x)≤u(1)= ﹣nln2≤ ﹣ln2, 因为 =ln <ln2,所以 u(x)<0.

所以 g′(x)<0,所以 g(x)在[1,+∞)上单调递减. 所以 x≥1 时,g(x)≤g(1)=ln2.所以 a≥ln2. (2)证明:由(1)y=g(x)在[1,+∞)上单调递减, x x 令 F(x)=e ﹣x,则 F′(x)=e ﹣1. x>1 时,F′(x)>e﹣1>0,所以 F(x)在[1,+∞)上单调递增, x 所以 F(x)≥e﹣1,即 e ﹣x≥e﹣1>1, x 所以 g(e ﹣x)≤g(e﹣1) , 所以 ,

所以



点评:本题考查导数的运用:求单调区间,主要考查函数的单调性的运用,不等式恒成立问 题和不等式的证明,注意运用构造函数和参数分离的思想,属于中档题.



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