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必修二3.3.1两条直线的交点坐标[1]


讨论下列二元一次方程组解的情况:

?x ? y ? 1 ? 0 ?1?? ?x ? y ?1 ? 0
? x ? y ? 1 ? 0 ?2?? ? ? x ? y ?1 ? 0

一组解

? x?0 ? ? y ? ?1

无数组 无解

?x ? y ? 1 ? 0 ?3?? ?x ? y ?1 ? 0

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相 交, 如 何 求 这 两 条 直 线 交 的 点 坐 标?

几何元素及关系

代数表示

点A
直线 l

A(a, b)

l : Ax ? By ? C ? 0

点 A在直线 l上

Aa ? Bb ? C ? 0

A a ? B b ? C ? 0 ?A x ? B y ? C ? 0 ? 1 1 1 1 1 1 直线 l1与直线 l2的交点 A ? ? A a? ?B B b ? C2 ? ?0 0 2x ?A ? 2 22y ? C2

例1:求下列两条直线的交点:

l1:3x+4y-2=0;
l2:2x+y+2=0.
解:解方程组

3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0



x= -2 y=2

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

练习:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
x= 2 x-2y+2=0 得 y=2 解:解方程组 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 y= x

一、两条直线的交点:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
(1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交; (2)若方程组无解, 则l1// l2; (3)若方程组有无数解, 则l1与l2重合.

讨论下列二元一次方程组解的情况:

?x ? y ? 1 ? 0 ?1?? ?x ? y ?1 ? 0
? x ? y ? 1 ? 0 ?2?? ? ? x ? y ?1 ? 0

? x?0 一组解 ? 相交 ? y ? ?1

无数组 无解

重合 平行

?x ? y ? 1 ? 0 ?3?? ?x ? y ?1 ? 0

归纳小结:如何根据两直线的方程系数之间 的关系来判定两直线的位置关系?

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

B2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

A2

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 A1 B1 l1与l2 相交 ?
l1与l2平行 l1与l2重合

练习:判断下列各组直线的位置关系:

?1?l1  : 2x ? y ? 7 ? 0
l2 : x ? y ? 1 ? 0

相交

?2,3?

?2?l1  : x ? 2 y ?1 ? 0
l2   : 2x ? 4 y ? 2 ? 0

重合

?3?l1  : x ? y ?1 ? 0
l2 : x ? y ? 1 ? 0

平行

练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 问当m为何值时,直线l1与l2: (1)相交,(2) 平行,(3) 垂直

变式: 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行 的直线方程.

当?变化时, 方程 3 x ? 4 y ? 2 ? ? ( 2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形? 图形有何特点?

二、共点直线系方程:
经过直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为:

( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

??为待定系数?
此直线系方程 少一条直线l2

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (1)过点(2,1)
解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0 ?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0
? (1 ? ? )2 ? (? ? 2)1 ? (4 ? 2? ) ? 0 ? ? ? ?4
所以直线的方程为:x ? 2 y ? 4 ? 0

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0
?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0

1? ? 3 1? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? 11 ?k ? ? ? ?2 ? ?2 4
所以直线的方程为: 4x ? 3 y ? 6 ? 0

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (3)和直线2x-y+6=0平行
解: (3) 设经过二直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0
?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0

1? ? 1? ? ?? ? 2 ?? ? 1 ?k ? ? ? ?2 ? ?2
所以直线的方程为:2 x ?

y?2?0

课堂小结
1.两条直线交点与它们方程组的解之间 的关系. 2.求两条相交直线的交点及利用方程组 判断两直线的位置关系.



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