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广东省东莞市东莞中学2016届高三第一次月考数学(理)试题


绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A

2015-2016 第一学期教学质量自查 高三理科数学
一、选择题(本题共 12 题,每题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A ? B ? ( A. {0} 2、若复数 z ? A、1-i B. {0,1} C. {?1,

0} ) ) D. {?1, 0,1}

1? i (i为虚数单位),则 z ? ( i B、1+i C、-1-i D、i

3、计算: (cos A、
2 2

?

? sin )(cos ? sin ) ? ( 8 8 8 8

?

?

?


3 2

B、 ?

2 2

C、

3 2

D、 ?

4、运行如图的程序框图,则输出 s 的结果是( 1 25 3 A. B. C. 6 24 4 两类课程至少选一门,则不同选法共有( A、3 B、6 C、9 D、18

) 11 D. 12 )种

5、某校开设 A 类选修课 2 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门。若要求

6、在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好落在 正方形与曲线 y ? x 围成的区域内(阴影部分)的概率为(
A.

y

C

y? x

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

B

7、已知等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 cos? , 前 100 项和

S100 ? 0 ,则 ? ? (
A、 k? ? 不对

) B、 2k? ?

O

A

x

?
3

(k ? Z )

?
3

(k ? Z )

C、 2k? ?

2? (k ? Z ) 3

D、以上都

8、在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 , 则 cos C 的最小值是( A、
1 2



B、 ?

2 2

C、

3 2

D、 ?

3 2

9、设函数 f ( x) ? x | x ? a |, 若函数 f ( x) 在 [3,??) 上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) B、 [?3,0] C、 (0,3] D、 (??,3]

A、 (??,?3]

?x ? 4 y ? 4 ? 10、给定区域 D: ? x ? y ? 4 ,令点集 ?x ? 0 ?

T ? {( x0 , y0 | x0 , y0 ? Z , ( x0 , y0 )是z ? x ? y在D上取得
最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点共确定(
A、3 B、4 C、5 D、6 )条不同的直线

11、若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、 F2 分别是它们的左 右焦点。 设 C1 、C 2 的离心率分别为 e1 、e2 , 若 PF1 ? PF2 ? 0 , 则
1 1 ? 2 ?( 2 e1 e2



A、2 B、3 C、4 D、5 12、某工件的三视图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长 方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用 率为(材料利用率= A. C.
8 9?

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



B. D.

16 9?

4( 2 ? 1)3

12( 2 ? 1)3

?

?

二、填空题(每题 5 分,共 4 题,满分 20 分) 13、在边长为 1 的等边△ABC 中, AB ? BC ? _________________ 14、已知 X ~ B(3, p), E ( X ) ? 2.1, 则 p ? _________________

15、已知 a 则

? ? (sin x)dx , (1 ? ax) 2016 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ?? a2016 x 2016 ,
0

?

a a1 a 2 a3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2016 ? _________________ 2 2 2 2 2016

16、如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2.过点 A 任作一条直线与圆 O:x2+y2=1 相交于 M,N 两点, 下列结论正确的是_______________ ①圆 C 的标准方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 2 ②
| NA | | MA | ? | NB | | MB | | NB | | MA | ? ?2 | NA | | MB | | NB | | MA | ? ?2 2 | NA | | MB |





三、解答题(本题共 8 题,考生作答 6 题,17~21 是必做题,22~24 为选做题, 考生只能选做三题中的一题,并且在相应位置写上所选题号,否则答案无效,若 所多做,只按 22 题计分) 17、本题满分 12 分 在 ?ABC中,角A、B、C对应的边分别为a, b, c. 已知cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC的面积S ? 5 3, b ? 5, 求sin B sin C的值.

18、本题满分 12 分 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,

CD= 2 , ?CDA ? 45? . (1)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 AB=AP,若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线段 AB 的长

19、本题满分 12 分 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记 一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p 0 . (Ⅰ)求 p 0 的值; (参考数据:若 X ~ N (? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)

(Ⅱ)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务, 每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 从甲地去乙 地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车 的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p 0 的概率运 完从甲地去乙地的旅客, 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小, 那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆? 20、本题满分 12 分 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长 分别为 2m ,2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 ,C2 的四个交点按纵 坐标从大到小依次为 A, B, C, D.记 ? ?
S2 .

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理 由.
y A B

M

N x
C
D

21、本题满分 12 分 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?
x ,其中 x ? 0 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: x ?1

S n ? 2 ? 2an?1 ,
且 a1 ? 1, n ? N ? , (Ⅰ)证明: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ) 令 b1 ? a1 , bn ?
S n ?1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? )a n (n ? 2) , 证明: 数列 {bn } 的前 n 项 n 2 3 n

和为 Tn 满足 Tn ? 2 ? 2 ln n 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点, 且 AB∥CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q。

(Ⅰ)求证:AC2=CQ·AB; (Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

两条曲线的极坐标方程分别为: C1 : ? ? 1 与 C 2 : ? ? 2 cos( ? ? A、B两点 (Ⅰ)写出 C1 的参数方程和 C 2 的普通方程 (Ⅱ)求线段AB的长

?
3

) ,它们相交于

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R,a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1。 (Ⅰ)求证: | a ? b ? c |? 3 ; (Ⅱ)若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? (a ? b ? c) 2 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围。

2015-2016 第一学期教学质量自查 高三理科数学答案
一、选择题 1~6:CBABCB 7~12:CADDAA 二、填空题 1 13、 ? 14、0.7 15、 ? 1 16、①②③④ 2 三、解答题 17、解: (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π , 所以 A ? .
π 3

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

(6 分)

(Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ?

1 2

1 2

3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 . 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ?
b a c a bc 2 20 3 5 sin A ? ? ? . 2 a 21 4 7

(12 分)

18、解: (I)∵ PA ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, 又∵ AB ? AD, PA ? AD ? A, ∴ AB ? 平面 PAD。(4 分)

∴ PA ? AB , (2 分)

又∵ AB ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 PAD。 (6 分) (II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz (如图)
E ? A D . 在平面 ABCD 内, 作 CE//AB 交 AD 于点 E, 则C 在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 ,

CE ? CD ? sin 45? ? 1,

设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t, 所以 E (0,3 ? t ,0), C (1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t,0) ,

??? ? ??? ? CD ? (?1,1,0), PD ? (0, 4 ? t, ?t ).
??? ? ??? ? ?? x ? y ? 0, 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 n ? CD , n ? PD ,得 ? ?(4 ? t ) y ? tx ? 0.
取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,

??? ? 又 PB ? (t,0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得
??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? ? |, 即 cos 60? ?| ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x
4 4 解得 t ? 或t ? 4 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以 AB ? . (12 分) 5 5

19、解: (Ⅰ)由于随机变量 X 服从正态分布 N (800, 502 ) ,故有 ? ? 800 , ? ? 50
P(700 ? X ? 900) ? 0.9544 由 正 态 分 布 的 对 称 性 , 可 得

p0 ? P( X ? 900) ? P( X ? 800) ? P(800 ? X ? 900)

?

1 1 ? P(700 ? X ? 900) ? 0.9772 . 2 2

(5 分)

(Ⅱ)设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x, y 辆,则相应的

第 19 题解答图

营 运 成 本 为 1600 x ? 2400 y .

依 题 意 ,

x, y

还 需 满 足 :

x ? y ? 21, y ? x ? 7, P( X ? 36 x ? 60 y) ? p0 . (6 分)

由(Ⅰ)知, p0 ? P( X ? 900) ,故 P( X ? 36x ? 60 y) ? p 0 等价于 36 x ? 60 y ? 900 . 分)
? x ? y ? 21, ? y ? x ? 7, ? 于是问题等价于求满足约束条件 ? (8 分) ?36 x ? 60 y ? 900, ? ? x, y ? 0,x, y ? N,

(7

且使目标函数 z ? 1600 x ? 2400 y 达到最小的 x, y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12), Q(7,14), R(15,6) .(9 分) 由图可知,当直线 z ? 1600 x ? 2400 y 经过可行域的点 P 时,直线 z ? 1600 x ? 2400 y 在 y 轴上截距
z 最小,即 z 取得最小值. (10 分) 2400

故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. (12 分) 20、解: (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 , 则
S1 ?
S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2 2 2

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1. ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1. 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

(4 分)

1 1 1 1 S1 ? | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2

所以 若

S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1. ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时, 若 S1 ? ? S2 , 则 ? ? 2 ? 1.

(4

分)
y y A

A B

M

O C
D 第 20 题解答图 1

N x

M

O C
D

B

N x

第 20 题解答图 2

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据 对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ?
1 2
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以

1 2

S1 | BD | ? ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . S2 | AB |

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是
| AD | ? ? 1 ? . | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2

, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是
1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m



从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)



令t ?

? ?1 n 2 (? 2 t 2 ? 1) ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . ? (? ? 1) a (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1 ?

n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时, 存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . (12 分)

解法 2: 如图 2, 若存在与坐标轴不重合的直线 l, 使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ?
1 2
| ?ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 因为

1 2

S1 | BD | ? ??. S2 | AB |

x ? ?1 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 x ? ?1 | AB | B 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 xB 2 k 2 xB 2 x A 2 ? xB 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 x B 2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? ?0, , ,两式相减可得 a2 m2 a2 n2 a2 m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ? 因为 k 2 ? 0 ,所以由 从而 1 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 )

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) x ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 a ( ? xB ? x A ) xB

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . (12 分)

21、解: (Ⅰ)由题知, f ?( x) ?

1 1 x , ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

∵ x ? 0 ∴ f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 [0,??) 上单调递增, (1 分) ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 (2 分) (Ⅱ)由题知,当 n ? 1 时, a1 ? 1, (3 分) 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 2an?1 ? an ∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 ∴ an ?
1 2 n ?1 1 的等比数列(4 分) 2

(5 分)

1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, S n ? 2 ? ( ) n ?1 , b1 ? a1 ? 1 2 ∴当 n ? 2 时, 1 2 ? ( ) n?2 S 1 1 1 1 1 1 1 2 bn ? n?1 ? (1 ? ? ? ? ? )an ? (1 ? ? ? ? ? ) n?1 n 2 3 n n 2 3 n 2 2 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ) n ?1 (6 分) n 2 3 n ?1 n 2

∴当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 2 ? ln1 ? 2

(7 分)

当 n ? 2 时, 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? [ ? (1 ? ) 1 ] ? [ ? (1 ? ? ) 2 ] ? ? ? [ ? (1 ? ? ? ? ? ? ) n ?1 ] 2 2 2 3 2 3 2 n 2 3 n ?1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2( ? ? ? ? ) ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ) ? 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? 2 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? (? n ?1 ) 3 2 n ?1 2 n 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2( ? ? ? ? ) ? (1 ? n?1 ) ? ( 2 ? 2 3 n 2 2 2

1?

1 1 ? n ?3 1 1 1 2 2 ? 1 ) ??? ? )? ( 3 ? 1 1 2 3 2 22 1? 1? 2 2
n?2

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( n ?1 ? n ?2 ) ? (? n ?1 ) ? 1 ? 2( ? ? ? ? ) ? (1 ? n ?1 ) ? (? n ?1 ) ? (? n ?1 ) ? ? ? n ?1 2 n 2 2 3 n 2 2 3 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (? n ?1 ) ? (? n ?1 ) ? 2 ? 2( ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ) n ?1 ? 2 ? 2( ? ? ? ) n ?1 2 n 2 2 3 n 2 3 n 2 2 3 n

(10 分) 由(Ⅰ)知, f ( x) ? 0 在 [0,??) 上恒成立,∴ 令x ?
x ? ln( x ? 1) 1? x

1 1 1 , n ? 2 ,则 ? ln(1 ? ) (11 分) n ?1 n n ?1

∴ 1 1 1 1 1 1 2 3 n ? ? ? ? ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) ? ln( ? ? ? ? ) ? ln n 2 3 n 2 ?1 3 ?1 n ?1 1 2 n ?1
1 1 1 ∴ Tn ? 2 ? 2( ? ? ? ? ) ? 2 ? 2 ln n 2 3 n

∴ Tn ? 2 ? 2 ln n (12 分) 22、解: (Ⅰ)
? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

………5 分 (Ⅱ)
AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
AP 为圆 O 切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3







AQ
16 3 3





O ………10 分



线

? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ?

? x ? cos? 23、解: (Ⅰ) C1 普通方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,故它的参数方程为 ? ? y ? sin ?
∵ C 2 : ? ? 2 cos( ? ?

?
3

)

∴ C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0

(5分)

2 2 ? 1 3 ?x ? y ? 1 (Ⅱ)由 ? 2 ,得A(1,0) ,B (? ,? ) 2 2 2 ? ?x ? y ? x ? 3 y ? 0

1 3 2 ∴ | AB |? (1 ? ) 2 ? (0 ? ) ? 3 2 2

(10分)

24、解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c)2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ∴? 3 ? a?b?c ? 3 所以 | a ? b ? c |? 3 ………5 分 ………7 分

2 (Ⅱ)同理,(a ? b ? c)2 ? [12 ? (?1) ? 12 ](a2 ? b2 ? c2 ) ? 3

若不等式 | x ?1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c)2 对一切实数 a, b, c 恒成立,
3 3 则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) 2 2

………10 分


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