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新人教A版必修2第三章《直线与方程》导学案1


三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

§ 3.1.1 直线的倾斜角与斜率
【使用说明】 1、结合问题导学认真预习课本相关页,时间不超过 20 分钟, 2、小组长在课前导学、课上讨论、达标检测环节要发挥引领作用,控制学习节奏,确保每 个人都达标. 【学习目标】 理解直线的倾斜角定义、范围和斜率;掌握过两点的直线斜率计算公式;

能用于解题. 【学习过程】 一、新课导学: (一) 、倾斜角和斜率的概念 探究任务 1(看课本 82--83 页,然后思考并填空)在直角坐标系中,只知道直线上的一点, 能不能确定一条直线呢? 在直角坐标系中,确定直线位置的几何要素有 1、倾斜角的定义是 注:⑴.定义的关键①直线向上方向;②x 轴的正方向;③小于平角的正角. ⑵.当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 度. ⑶.直线倾斜角的范围为 试试:请描出下列各直线的倾斜角

试试:填空: 函数 y=x 的图像的倾斜角为 直线 x=1 倾斜角为

, y=-x 的图像的倾斜角为 ,直线 y=0 倾斜角为

,

探究任务 2:在日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ,则坡度的 公式是怎样的? 0 2、斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α ≠90 ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope). 记 为 . 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 (1)α =0°时,则 k (2)0°<α < 90°,则 k (3)α = 90°,,则 k (4)90 °<α < 180°,则 k (二) 、斜率的公式: 已知直线上两点 p1 ( x1 , y1 ) , p 2 ( x2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 )的直线的斜率公 式: 探究任务 3. 1.已知直线上两点 A(a1 , b1 ), B(a2 , b2 ) 运用上述公式计算直线的斜率时,

与 A 、B 两点坐标的顺序有关吗? 2.当直线平行于 y 轴时,或与 y 轴重合时,上述公式还需要适用吗?为什么?

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三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

二、合作探究 例 1 : (1)已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴ ? ? 30? ; ⑵ ? ? 135? ; ⑶ ? ? 60? ;

⑷ ? ? 90?

(2)已知直线的斜率,求其倾斜角. ⑴k ? 0; ⑵ k ?1; ⑶k ?? 3 ;

⑷ k 不存在.

例 2 :已知 A(3,2), B(?4,1),C (0,?1) ,求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜 角是锐角还是钝角.

三、交流展示 1. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴ A(2,3), B(?1, 4) ; ⑵ A(5,0), B(4, ?2) .

2.画出斜率为 0,1, ?1 且经过点 (1,0) 的直线.

3.判断 A(?2,12), B(1,3), C (4, ?6) 三点的位置关系,并说明理由.

四、达标检测 1. 下列叙述中不正确的是( ). A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0o 或 90? D.若直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan? 2. 经过 A(?2,0), B(?5,3) 两点的直线的倾斜角( ). A. 45? B. 135? C. 90? D. 60? 3. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4. 直线 l 经过二、三、四象限, l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k ,则 ? 为 围 .

角; k 的取值范

5. 已知直线 l1 的倾斜角为 ? 1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 ? 2 为_____

___

.

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§3.1.2 两直线平行与垂直的判定
【学习目标】 熟练掌握两条直线平行与垂直的条件,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系; 【学习过程】 一、课前导学: 1 . 已 知 直 线 的 倾 斜 角 ? (? ? 90? ) , 则 直 线 的 斜 率 为 ;已知直线上两点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 x1 ? x2 ,则直线的斜率为

. ,倾斜角为 . . . .

2.若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为

3.斜率为 2 的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则 a、b 的值分别为 4.已知 l1 , l2 的斜率都不存在且 l1 , l2 不重合,则两直线的位置关系 5.已知一直线经过两点 A(m, 2), B(?m, 2m ? 1) ,且直线的倾斜角为 60? ,则 m ?

二、新课导学: 导学问题:两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系? 探究问题 1:特殊情况下的两直线平行与垂直. (画图探究) 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 ,两直线位置关系 是 . (2)当另一条直线的斜率为 0 时, 一条直线的倾斜角为 , 另一条直线的倾斜角为 , 两直线的位置关系是 .
新疆

王新敞
学案

探究问题 2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 . ⑴ 两条直线平行. 思考:如果 l1 // l 2 ,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成 y 立吗? 结论 1: 两条直线有斜率且不重合, 如果它们平行, 那么它们的斜率 ; ?1 反之,如果它们的斜率相等,则它们 ,即 l1 // l2 ? O ⑵ 两条直线垂直. 思考:如果 l1 ? l2 ,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
新疆

l1 l2 ?2
x

王新敞
学案

y

y

y
l2

结论 2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂 直,则它们的斜率 ;反之,如果它们的 斜率互为负倒数,则它们互相 . 1 即 l1 ? l2 ? k1 ? ? ? k2
新疆

l1 ?2
O

l2 ?1
x

l1

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?1
O

?2







王新敞
学案

三、合作探究 例 1: 已知 A(2,3), B(?4,0), P(?3,1), Q(?1, 2) ,试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论.

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例 2:已知 A(1, ?1), B(2, 2), C (3,0) 三点,求点 D 的坐标,使直线 CD ? AB ,且 CB // AD .

例 3:已知 A(5, ?1), B(1,1), C (2,3) ,试判断三角形 ABC 的形状.

四、交流展示 1. 试确定 m 的值,使过点 A(m,1), B(?1, m) 的直线与过点 P(1, 2), Q(?5,0) 的直线 ⑴平行; ⑵垂直

2. 已知点 A(3, 4) ,在坐标轴上有一点 B ,若 k AB ? 2 ,求 B 点的坐标.

五、达标检测 1. 下列说法正确的是( ). A.若 l1 ? l2 ,则 k1 ?k2 ? ?1 B.若直线 l1 // l2 ,则两直线的斜率相等 C.若直线 l1 、 l2 的斜率均不存在,则 l1 ? l2 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行 2. 过点 A(1, 2) 和点 B ( ?3, 2) 的直线与直线 y ? 1 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 ).

3. 经过 (m,3) 与 (2, m ) 的直线 l 与斜率为 ?4 的直线互相垂直,则 m 值为( 7 7 14 14 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5 4. 已知三点 A(a, 2), B(5,1), C (?4, 2a) 在同一直线上,则 a 的值为 5. 顺次连结 A(?4,3), B(2,5), C (6,3), D(?3,0) ,所组成的图形是

).

. .

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§3.2.1 直线的点斜式方程
【学习目标】 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;能正确求直线方程; 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )其中(x1 ? x2 ) 斜率公式为 k ? 1 .

2.已知直线 l1 , l2 都有斜率,如果 l1 // l2 ,则 ;如果 l1 ? l2 ,则 . 3.若三点 A(3,1), B(?2, k ), C (8,11) 在同一直线上,则 k 的值为 . 4.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(1,0), C (3, 2) ,则第四个顶点 D 的坐 标 5.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 二、新课导学: 探究一:设点 P0 ( x0 , y0 ) 为直线上的一定点,那么直线上不同于 P0 的任意一点 P( x, y ) 与直 线的斜率 k 有什么关系? (请和你的小组交流你写的结果,并把下面的内容补充完整.) 1、直线的点斜式方程:已知直线 l 上一点 p0 ( x0 , y0 ) 与这条直线的斜率 k ,设 p ( x, y ) 为直 线 上 的 任 意 一 点 , 则 根 据 斜 率 公 式 , 可 以 得 到 , 当 x ? x0 时 , k ? ⑴ . 点斜式方程是由直线上 定。 (自学课本 P92-P93,小组讨论: ) (1)是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程(1) (2)适合方程(1)的任意一组解 ( x, y ) 为坐标的点是否都在直线 l 上? (3)方程⑴能不能表示过点 p0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 的方程? 思考: ① x 轴所在直线的方程是______ ____; y 轴所在直线的方程是____________ __;

y ? y0 x ? x0

即: 确

及其

②经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是______________; ③经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是______________; ④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线?若不能,请说明哪类直线不能.

探究二:已知直线 l 的斜率为 k , l 且与 x 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。请写出你的 求解过程. 2、直线的斜截式方程:直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的 ,

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三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

方程 y ? kx ? b 是由直线的

与它在

确定,所以把此方程叫做直线的斜

截式方程。 思考:①截距是距离吗? ②能否用斜截式表示平面内的所有直线?若不能,请说明哪类直线不能. ③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论? ④直线 y ? kx ? b 中 k 的几何意义是 三、合作探究 例 1:一条直线经过点 P (?2,3) ,倾斜角为 45 ,求这条直线的点斜式方程,并在坐标系中 1 画出相应直线的图形. 学法指导:要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件:直线上的已知点和直线的斜率来解 题.
o

, b 的几何意义是

.

变式: ⑴直线过点 P (?2,3) ,且平行于 x 轴的直线方程 1 ⑵直线过点 P (?2,3) ,且平行于 y 轴的直线方程 1 ⑶直线过点 P (?2,3) ,且过原点的直线方程 1 例 2:见课本 P94 例 2

; ; .

学法指导:本题从两条直线平行和垂直的判定条件方面考虑即可。自学课本后,合上书,看 能不能写出来。

四、交流展示 1. 自主完成课本 P95 练习 1、2,写在课本上即可. 2.完自主成课本 P95 练习 3、4,写在课本空白处即可. 3. 求直线 y ? 4 x ? 8 与坐标轴所围成的三角形的面积.

五、达标检测 1. 过点 (4, ?2) ,倾斜角为 135? 的直线方程是( A. 3x ? y ? 2 ? 4 3 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0

).

B. 3x ? 3 y ? 6 ? 4 3 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0

2. 已知直线的方程是 y ? 2 ? ? x ? 1 ,则( ). A.直线经过点 (2, ?1) ,斜率为 ?1 B.直线经过点 (?2, ?1) ,斜率为 1 C.直线经过点 (?1, ?2) ,斜率为 ?1 D.直线经过点 (1, ?2) ,斜率为 ?1 3. 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变化时,所有直线恒过定点( ). A. (0, 0) B. (3,1) C. (1,3) D. (?1, ?3)
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三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

4.求经过点 (1, 2) ,且与直线 y ? 2 x ? 3 平行的直线方程.

§3.2.2 直线的两点式方程
【学习目标】 掌握直线方程的两点式、了解直线的截距式的形式特点及适用范围; 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.直线的点斜式方程是__________________;直线的斜截式方程是__________________. ..... .... 2. 直线过点 (2, ?3) , 斜率是 1, 则直线方程为 纵截距为 ?3 ,则直线方程为 . 3.与直线 y ? 2 x ? 1 垂直且过点 (1, 2) 的直线方程为 ; 直线的倾斜角为 60? , .

4.方程 y ? 1 ? ? 3 x ? 3 表示过点 ______ ,斜率是 ______ ,倾斜角是 ______ ,在 y 轴上 的截距是 ______ 的直线. 5.已知直线 l 经过两点 P (1, 2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方程. 1

?

?

二、新课导学: 探究一:设 直线 l 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,其中 x1 ? x2 , y1 ? y 2 ,则直线 l 斜率是 1 什么?结合前面学过的点斜式写出直线 l 的点斜式方程. (写完后可对照课本 P95,检查自 己写的结果是否正确) 思考:由一个点和斜率可以确定一 条直线的方程,通过对上述问题的解决你能不能想到还 有什么条件可以确定一条直线的方程吗? 考虑后完成下列内容. 1、两点式方程的概念:方程 表示经过两点

P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程, 1
简程两点式(two-point form).方程是由直线上 (自学课本 P95-P96,小组讨论: ) (1) 、两点式适用 范围是什么? (2) 、若点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 中有 x1 1 别是什么? 探究二:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 y 轴的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 . 求 l 的方程.
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确定。

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时过这两点的直线方程分

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(写出你的解题过程后再对照课本 P96 页例 3,看你写的对不对) 学法指导:直线与 x 轴的交点 (a,0) 的横坐标 a 叫做直线在 x 轴的截距,简称横截距;此时 直线在 y 轴上的截距是 b,简称纵截距. 2、 直线的截距式方程: 方程 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 与 确

定,所以把此方程叫做直线的截距式方程,简称截距式。 思考: (1) 、截距式的适用 范围是什么?截距式方程的特点是什么呢? (2) 、两点式与截距式有什么关系呢? x a y b

(3) 、方程

+

= 1 中的 a,b 是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离?

(4) 、到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?

三、合作探究 例 1:求过点 P(2, 3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程(结果化成斜截式) 。 上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程,结果如何? 学法指导:要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件:直线上的已知点和直线的斜率来解 题.

变式: ⑴直线过点 P (?2,3) ,且平行于 x 轴的直线方程 1 ⑵直线过点 P (?2,3) ,且平行于 y 轴的直线方程 1 ⑶直线过点 P (?2,3) ,且过原点的直线方程 1

; ; .

例 2:已知三角形的三个顶点 A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2)求 BC、AC 所在直线的 方程,以及该边上中线所在直线的方程. (自己写完后对照课本 P96 页例 4 检查自己写得是否正确) 说明:本题要用到同学们初中学习过的中点坐标公式. 已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,且线段 P P2 的中点坐标是 M ( x, y ) , 1 1 则?

?x ? ?y ?

.此公式为线段 P P2 的中点坐标公式. 1

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四、交流展示 1.自主完成课本 P97 练习 1、2、3,写在课本上即可. 2. 求出下列直线的方程,并画出图形. ⑴ 倾斜角为 45 ,在 y 轴上的截距为 0; ⑵在 x 轴上截距是-3,与 y 轴平行; ⑶在 y 轴上的截距是 4,与 x 轴平行. 五、达标检测 1. 直线 l 过点 (?1, ?1),(2,5) 两点,点 (1002, b) 在 l 上,则 b 的值为( A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 2.直线 y ? ax ? b ( a ? b ? 0 )的图象是(
y
y

0

).

)
y

y

-1

O

x

-1

O

x

O

x

O

1

x

D C A B 3. 在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 ?3 的直线方程

. ,关于 y 轴对称的直线方 .

4. 直线 y ? 2 x ? 1 关于 x 轴对称的直线方程 程 ,关于原点对称的方程

§3.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】 明确直线方程一般式的形式特征; 会把一般式化为斜截式, 进而求斜率和截距; 会把点斜式、 两点式化为一般式. 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.直线的点斜式方程是__________________;直线的斜截式方程是_________________; ..... ....

直线的两点式方程是__________________;直线的截距式方程是_________________ ..... ... 2.已知直线经过原点和点 (0, 4) ,则直线的方程



.

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3.在 x 轴上截距为 ?1 ,在 y 轴上的截距为 3 的直线方程 4.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程 二、新课导学:

. .

探究:任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)是否表示一条直线? 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示吗? 1、直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都可以用一个关于 x, y 的___________表 示; (2)每个关于 x, y 的二元一次方程都表示为__ _________ ______.

2、直线的一般方程:把关于 x, y 的二元一次方程_____________叫做直线的一般式方程, ..... 简称一般式,其中系数 A、B 满足____________. ... 讨论: 问题 1:直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点? 问题 2: B ? 0 时, 当 直线 Ax ? By ? C ? 0 的斜率是 , 直线在 y 轴上的截距为 .

问题3:在方程 Ax + By + C = 0 中, A, B, C 为何值时,方程表示的直线: ①平行于x 轴; ③与x 轴重合; ⑤过原点; ②平行于 y 轴; ④与y轴重合; ⑥与 x 轴、y 轴都相交(重合不算) :

三、合作探究 例 1:已知直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为

1 ,求直线的点斜式和一般式方程. 2

例 2:把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形.
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四、交流展示 1. 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 ⑴ 斜率是 ? ,经过点 A(8, ?2) ; 2 ⑵ 经过点 B(4, 2) ,平行于 x 轴; 3 ⑶ 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2 ⑷ 经过两点 P (3, ?2), P2 (5, ?4) . 1 2.已知直线 5x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则此直线在 x 轴上的截距是______,在 ______,直线的斜率为 ,化成斜截式方程为

y 轴上的截距是
.

3.求下列直线的斜率和在 y 轴上的截距,并画出图形 ⑴ 3x ? y ? 5 ? 0 ; ⑵

x y ? ? 1; 4 5

⑶ x ? 2y ? 0; ⑷ 7x ? 6 y ? 4 ? 0 ; ⑸ 2y ? 7 ? 0.

五、达标检测 1 斜率为 ?3 ,在 x 轴上截距为 2 的直线的一般式方程是( A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. 3x ? y ? 2 ? 0 C. 3x ? y ? 6 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0 2. 若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示一条直线,则( A. A ? 1 B. B ? 0 C. AB ? 0 D. A2 ? B 2 ? 0 ).

).

3. 若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在 x 轴上的截距为 3,则 m 的值是________ 4. 直线 2 x ? y ? 7 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b ,则 a ? b ? 5. 直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ?2 ? 0 平行,则 m ?
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. .

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§ 3.3.1 两条直线的交点坐标
【学习目标】 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标;体会判断两直线相交中的数形结合思想. 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.直线的点斜式方程是__________________;直线的斜截式方程是_________________; ..... ....

直线的两点式方程是__________________;直线的截距式方程是_________________ ..... ...



直线的一般式方程是_________________ ...



2.经过点 A(1, ?2) ,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线 3.点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线? 4.平面直角系中两条直线的位置关系有几种? 二、新课导学: 探究一: 直线上的点与其方程 Ax ? By ? C ? 0 的解有什么样的关系?那如果两直线相交于 一点 A( a, b) ,这一点与两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有何关系? 看下表,并填空。 几何元素及关系 点A 直线 l 点 A 在直线 l 上 直线 l1 与 l 2 的交点 A 探究二: 如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? 代数表示 A(a,b)

l :Ax+By+C=0

探究三:如何利用方程判断两直线的位置关系?
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三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

两直线是否有公共点,要看它们的方程是否有公共解。因此,只要将两条直线 l1 和 l 2 的方 程联立,得方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

1.若方程组无解,则 l1 与 l 2 2.若方程组有且只有一个解,则 l1 与 l 2 3.若方程组有无数解,则 l1 与 l 2 三、合作探究 例 1:求下列两直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标.

变式:判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. ⑴ l1 : x ? y ? 0 , l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ; ⑵ l1 : 3x ? y ? 0 , l2 : 6 x ? 3 y ? 0 ; ⑶ l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 .

问题:请同学们观察例 1 中的三组直线,讨论下面的问题,并写出你们的结论. 和直线 Ax ? By ? C ? (A,B不同时为 ) 0 0 平行的直线可表示为 和直线 Ax ? By ? C ? (A,B不同时为 ) 0 0 垂直的直线可表示为 . .

例 2: 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方 程. 变式:将例 2 中的“平行”改为“垂直”呢?

四、交流展示 1.自主完成课本 P104 练习 1、2,写在课本上即可. 2. 直线 5 x ? 4 y ? 2m ? 1 ? 0 与直线 2 x ? 3 y ? m ? 0 的交点在第四象限,求 m 的取值范围.

五、达标检测 1. 两直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0, l2 : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点坐标为( 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ( , ) B. ( , ? ) C. (? , ? ) D. (? , ) 2 4 2 4 2 4 2 4

).

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三中高一数学导学案——新人教 A 版必修二第三章《直线和方程》

2. 两条直线 3x ? 2 y ? n ? 0 和 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的位置关系是( A.平行 B.相交且垂直 C.相交但不垂直 D.与 n 的值有关

).

3. 已知集合 M ? ?( x, y) / x ? y ? 2?, N ? ?( x, y) / x ? y ? 4?,那么集合 M ? N 为( A {3,–1} B 3,–1 C (3,–1) D {(3,–1)} .

)

4. 已知点 A(5,8), B(4,1) ,则点 A 关于点 B 的对称点 C 的坐标

5. 已知直线 l1 的方程为 Ax ? 3 y ? C ? 0 ,直线 l2 的方程为 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若 l1 , l2 的交点在 y 轴上,求 C 的值.

§3.3.2 两点间的距离
【学习目标】 掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题,体会数形结合的优越性. 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.直线 mx ? y ? m ? 0 ,无论 m 取任意实数,它都过点 . 2.若直线 l1 : a1 x ? b1 y ? 1 与直线 l2 : a2 x ? b2 y ? 1 的交点为 (2, ?1) ,则 2a1 ? b1 ? 3.当 k 为何值时,直线 y ? kx ? 3 过直线 2x ? y ?1 ? 0 与 y ? x ? 5 的交点? 二、新课导学: 探究: 1、求 B(3,4)到原点的距离是多少? .

2、在平面直角坐标系中,任意两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 间的距离是多少? 1 (自学课本 P104-P105 内容,了解两点间距离公式的推导原理,在下面写出大致的推导过 程,并把不明白的地方用红笔标注出来)

B 两点间的距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的任意两个点,
则 AB = 特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 三、合作探究 例 1:已知点 A(8,10), B(?4, 4) 求线段 AB 的长及中点坐标.
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变式:已知点 A(?1, 2), B(2, 7) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 PA 的值. (写完后,打开课本 P105,检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法,写出来) 学法指导:设 P(x,0)将 PA ? PB 转化为关于 x 的方程求解。

例 2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 学法指导:先建立适当的坐标系,用坐标表示有关变量,然后进行代数运算,最后把运算结 y 果“翻译”成几何关系. D(b,c) C(a+b,c)

A(0,0)

x B(a,0)

四、交流展示 1.自主完成课本 P106 练习 1、2,写在课本上即可. 2. 已知点 A(1, 2), B(3, 4), C (5,0) ,求证: ?ABC 是等腰三角形.

3.已知点 A(4,12) ,在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13,求点 P 的坐标.

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五、达标检测 1. 两点 A(?1,3), B(2,5) 之间的距离为( A. 2 3 B. 13 C. 11

).

D. 3 )三角形.

2. 以点 A(?3,0), B(3, ?2), C (?1, 2) 为顶点的三角形是( A.等腰 B.等边 C.直角 D.以上都不是

3. 直线 a x +2 y +8=0,4 x +3 y =10 和 2 x - y =10 相交于一点,则 a 的值( A. ?2 B. 2 C. 1 D. ?1 4.求在数轴上,与两点 A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.

).

§3.3.3-3.3.4 点到直线的距离及两平行线距离
【学习目标】 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;会求两平行线距离 【学习过程】 一、课前导学: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论)
新疆

王新敞
学案

B 1.两点间的距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的任意两个点,
则 AB = 2. 已知平面上两点 A(0,3), B(?2,1) , AB 的中点坐标为 则 3.点 B(3,4)到 x 轴的距离是 二、新课导学: 探究一:思考下列问题后,小组讨论,交流你的心得. 问 题 1 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 如 果 已 知 某 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 直 线 方 程 ,到 y 轴的距离是 ,AB 间的长度为 。 .

l : Ax ? By ? C ? 0 中,如果 A ? 0 ,或 B ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P
到直线 l 的距离呢?并画出图形来.

问 题 2 : 在 平 面 直 角 坐标 系 中 , 如 果 已 知 某 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 直 线 l 的 方 程 是

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l : Ax ? By ? C ? 0 , 又怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?写出必要

的推导过程(参考课本 P106-P107 内容,理解推导距离公式所用的等面积法)

1、点到直线的距离公式:已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离 为: .

注意:⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离; (2)在运用公式时,直线的方程要先化为一般式. (3)当 A=0 或 B=0 时,可以使用公式或数形结合来求距离.

探究二:两条平行直线间的距离:夹在两条平行直线间公垂线段的长. 问题 3:求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离. 学法指导:在两直线中任意一条上任取一个点,借助点到直线的距离公式来求解.

2、两平行直线间的距离公式:已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 ,l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则 l1 与 l2 的距离为 d ? 三、合作探究 例 1:求点 P(?2,3) 到下列直线的距离: (1)2 x ? y ? 10 ? 0; (2)3x ? 2
C1 ? C2
新疆

王新敞
学案

A2 ? B 2

(请仿照问题 3 的求解方法,写出此公式的推导过程)

变式: 已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0; l 2 : 4 x ? 6 y ? 15 ? 0, l1与l 2 是否平行?若平行, l1 ,l 2 求 间的距离.

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注意:应用此公 式应注意如下两点: (1)把直线方程化为一般式方程; (2)使两平行直线的方程 x, y 的系数相 等. 例 2:已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积 学法指导: 在求底边上的高时要先求出底边所在直线的方程, 再用点到直线间的距离公式求 高.

四、交流展示 1.自主完成课本 P108 练习 1、2,写在课本上即可. 2.自主完成课本 P109 练习,写在课本上即可. 3. 分别求出点 A(0, 2), B(?1,0) 到直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离.

五、达标检测 1. 求点 P ( ?5, 7) 到直线 12 x ? 5 y ? 3 ? 0 的距离( ) 14 28 A. 1 B. 0 C. D. 13 13 2. 点(0,5)到直线 y=2x 的距离是( A ) D

5 2

B

5

C

3 2

5 [ 2
)

3.已知点 ?a,2?(a ? 0) 到直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a 的值等于( A. 2 B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

4. 两条平行直线 3x+4y-2=0,3x+4y-12=0 之间的距离为________________. 5. 在坐标平面内, 与点 A(1, 2) 距离为 1, 且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 条.

§3《直线与方程》小结与复习
【学习目标】掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式;直线的方程的几种形式及其相互转化, 及直线方程知识的灵活运用;两直线位置关系的判定,点到直线的距离公式及其公式的运 用. 【学习过程】 一、课前知识归类: (不看书,自己回忆上节课学的内容,并填空,写完后和本组同学讨论) 1.直线的倾斜角与斜率
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(1)直线的倾斜角与斜率的关系是

( ? ? 900 ) .直线倾斜角的范围是 .

.

(2)直线过 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )(x1 ? x2 ) 两点的斜率公式为: k ? 1 2.两直线垂直与平行的判定: (1)对于不重合的两条直线 l1 ,l 2 ,其斜率分别为 k1 , k 2 ,则有:

l1 // l 2 ?

; l1 ? l 2 ?

. ;当一条直线斜率为 0,

(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时,这两条直线 另一条直线斜率不存在时,两条直线 . 3.直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程形式 适用条件 不表示 不表示 不表示 不表示 和

的直线 的直线 的直线 的直线

一般式

Ax ? By ? c ? 0 ( A2 ? B 2 ? 0)

注意:求直线方程时,要灵活选用多种形式. 4.距离公式: 两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 之间的距离公式是: P P2 |? (1) | 1 1 (2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? c ? 0 的距离公式是: d ? . .

( 3 ) 两 条 平 行 线 l : Ax ? By ? c1 ? 0, l : Ax ? By ? c2 ? 0 间 的 距 离 公 式 是 : . 二、合作探究题型 题型一:直线的倾斜角与斜率问题 例1 已知坐标平面内三点 A(?1,1), B(1,1), C(2, 3 ? 1) .

d?

(1)求直线 AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角. (2)若 D 为 ?ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率 k 的变化范围. 学法指导:解答本题可借助图形,第(1)问利用斜率公式求斜率,由斜率与倾斜角的关系 求倾斜角.第(2)问可借助图形直观观察得直线 CD 斜率 k 的取值范围.

题型二:直线的平行与垂直问题 例2 已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求下列直线 l ? 的方程, l ? 满足 (2)过 (?1,3) ,且与 l 垂直.
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(1)过点 (?1,3) ,且与 l 平行;

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学法指导:解答本题可先求出 l 的斜率,然后由平行(垂直)的条件得所求直线的斜率,再 由点斜式写方程;也可由两直线平行(垂直)的方程特征,设出方程,再由待定系数法求 解.

题型三:直线的交点、距离问题 例 3 已知直线 l 经过点 A ( 2,4) ,且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得

的线段的中点 M 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程. 学法指导:已知直线 l 过点 A (2,4), 要求直线 l 的方程,只需求另外一点或直线 l 的斜率即 可.

题型四:直线方程的应用 例4 已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 . (1) 求证: 不论 a 为何值, 直线 l 总经过第一象限;

(2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围. 学法指导:解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程,然后指明直线恒过第一象限内的 某点可证得第一问;第二问可先画出草图,借助图形,然后用“数形结合”法求得.

三、达标检测 1. 若直线过点 (1,2), (4,2 ? 3), 则此直线的倾斜角是( (A) 30
0

).

(B) 45 (C) 60

0

0

(D) 90

0

2.过点 (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( (A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 5 ? 0 (C) x ? 2 y ? 5 ? 0 3.已知点 (3, m) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? (
3 3 D. 3 或 ? 3 3 4.已知 P(3, a) 在过 M (2, ?1) 和 N (?3, 4) 的直线上,则 a ?

). (D) x ? 2 y ? 7 ? 0 ).

A. 3

B. ? 3

C. ?

.

5.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ? 0 . ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑵若 l1 ? l2 ,试求 a 的值

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