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高一数学重要知识点总结


必修

数学知识总结

必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1)列举法:{a,b,c??} 2)描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于 Q) B(或 B A)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于 Q) 指数函数对称规律: 1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称 3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ M 2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M (n ? R ) . ○ 注意:换底公式 logc b loga b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a 幂函数 y=x^a(a 属于 R) 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系 ○ 起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个 交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 三、平面向量 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的对 角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ a,|λ a|=|λ ||a|,当λ > 0 时, λ a 的方向和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λ a = 0。 设λ 、μ 是实数,那么:(1)(λ μ )a = λ (μ a)(2)(λ μ )a = λ a μ a(3)λ (a ± b) = λ a ± λ b(4)(-λ )a =-(λ a) = λ (-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、 b, 那么|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积或内积, 记作 a?b, θ 是 a 与 b 的夹角, |a|cos θ (|b|cos θ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积 为 0。 a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 质

y函 ? sin 数x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
?
2

R

? k ? ??

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

最 值

时, ymax ? 1 ;当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 2? 期 性 奇 奇函数 偶 性

?

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性

在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上是增函数;在

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对称轴 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对称中心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

无对称轴

必修四 角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴 n
*

的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα 公式二: 设α 为任意角,π α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα 公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα

?

n

终边所落在的

tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα

公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα sin(π cos(π tan(π cot(π /2-α /2-α /2-α /2-α )=cosα )=sinα )=cotα )=tanα )=-cosα )=sinα )=-cotα )=-tanα )=-cosα )=-sinα )=cotα )=tanα

sin(3π cos(3π tan(3π cot(3π sin(3π cos(3π tan(3π cot(3π

/2+α /2+α /2+α /2+α /2-α /2-α /2-α /2-α

(以上 k∈Z)

其他三角函数知识: 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα

平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α ) 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sin(α -β )=sinα cosβ -cosα cos(α +β )=cosα cosβ -sinα cos(α -β )=cosα cosβ +sinα tanα +tanβ tan(α +β )=—————— 1-tanα ?tanβ tanα -tanβ tan(α -β )=—————— 1+tanα ?tanβ

sinβ sinβ sinβ sinβ

倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α =2sinα cosα cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 2tanα tan2α =————— 1-tan^2(α )

半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) 1-cosα sin^2(α /2)=————— 2 1+cosα cos^2(α /2)=————— 2 1-cosα tan^2(α /2)=————— 1+cosα

万能公式 ⒌万能公式 2tan(α /2) sinα =—————— 1+tan^2(α /2) 1-tan^2(α /2) cosα =—————— 1+tan^2(α /2) 2tan(α /2) tanα =—————— 1-tan^2(α /2)

和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α +β α -β sinα +sinβ =2sin—----?cos—--2 2 α +β α -β sinα -sinβ =2cos—----?sin—---2 2 α +β α -β cosα +cosβ =2cos—-----?cos—----2 2 α +β α -β cosα -cosβ =-2sin—-----?sin—----2 2 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ?cosβ =0.5[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ?sinβ =0.5[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ?cosβ =0.5[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ?sinβ =- 0.5[cos(α +β )-cos(α -β )]



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