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2014届惠州市高三第一次调研考试试题(文科数学)


2014 届惠州市高三第一次调研考试试题 数学(文科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答

案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1 1. 已知集合 M ? ? ,2,3?, N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 (
A. M ? N 2. 复数 B. N ? M ) B. ?1 ? i C. 1 ? i

?

?

) D. M ? N ? (1,4)

C. M ? N ? {2,3}

2 等于( 1? i

A. ?1 ? i

D. 1 ? i ) D.16

3. 在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,则 a 4 的值为( A.7 B.8 C.9

4. 某城市修建经济适用房.已知甲、乙、 丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定 各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( A.40 B.36 C.30 ) D.20 )
?| x|

5. 下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2

C. y ? cos x

D. y ? 2 )

6. 已知平面向量 a,b 的夹角为

? ,且 a ? b=3 , a ? 3 ,则 b 等于( 6
C.

A.

3

B. 2 3

2 3 3

D. 2

1

7. 若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是( A. 6 ? 2 3 B.



9 3 2

C. 6 ? 3

D.

3
开始 ) 输入 )

8. 执行如图所示程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出的 k 值是( A. 3
2 2

B. 4

C. 5

D. 6

9. 圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y ? x 相切于第三象限,则 a 的值是( A. 2 B. ?2
3

x
k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

C. ? 2

D. 2

10. 设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a(0 ? a ? 2) 有三个零点 x1 , x2 , x3 , 且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 ) D. x3 ? 2 C. 0 ? x2 ? 1

x ? 23?


二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的, 只计算前一题得分.



输出

k
. 结束

1 11. 在 △ABC 中,若 b ? 3, c ? 1, cos A ? ,则 a = 3
? x?2 ? 12. 不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? x ?1 ?
.

13. 定义映射 f : A ? B ,其中 A ? (m, n) m, n ? R , B ? R ,已知对所有的有序正整数 对 (m, n) 满足下述条件:① f (m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ; ③ f (m ? 1, n) ? n ? f (m, n) ? f (m, n ? 1) ? ,则 f (2, 2) ? .

?

?

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线过圆 C : ? ? 2 2 cos? 的 圆心 C ,且与直线 OC 垂直,则直线的极坐标方程为 . D C

15. (几何证明选讲选做题) 如图示, C、D 是半圆周上的两个三等 分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E ,则 CE 的长 A 为 . O E B

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x . (1)求函数 f (x) 的最小正周期和最小值; (2)若 tan x ?

3 ? ? x , x ? (0, ) ,求 f ( ? ) 的值. 4 2 4 2

17.(本小题满分 12 分) 为调查乘客的候车情况, 公交公司在某站台的 60 名候车 乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟) 作为样本分成 5 组,如下表所示: (1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步 的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 三 四 五 一 二 组别 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5) [5,10)

[10,15)
[15, 20) [20, 25]

18.(本小题满分 14 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 2, E 是棱 CD 上中点, P 是棱 AA1 中点, (1)求证: PD / / 面 AB1 E ; (2)求三棱锥 B ? AB1E 的体积. A B D1

D

E

C

P

C1 B
1

A1

3

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( an , S n ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N * . (1)证明数列 {a n } 为等比数列,并求出其通项; (2)设 f (n) ? log 1 an ,记 bn ? an ?1 ? f (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 和 Tn .
2

20. (本小题满分 14 分) 如图,A, B 是椭圆 率为 ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

的两个顶点, AB ? 5 ,直线 AB 的斜

1 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 平行于 A,B ,与 x, y 轴分别交于点 M、N , 与椭圆相交于 C、D ,证明:△ OCM 的面积等于△ OCM 的面积.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? a( x 2 ? x)( a ? 0, a ? R), h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (1)若 a ? 1, 求函数 h(x) 的极值; (2)若函数 y ? h(x) 在 [1,??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (3)在函数 y ? f (x) 的图象上是否存在不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 使线段 AB 的中 点的横坐标 x0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ' ( x0 ) ?若存在,求出 x0 ; 若不存在,请说明理由.

4

参考答案
一、选择题 题号 答案 【解析】 1. N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ? ?2,3? ,故 M ? N ? {2,3} ,选 C 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C

?

?

2.

2 2(1 ? i ) ? ? 1 ? i ,选 D 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )
3

3. 数列 ?an ? 为 a1 ? 1 , q ? 2 等比数列, a4 ? a1q ? 8 ,选 B 4. 设从乙社区抽取 n 户,则

270 n ,解得 n ? 30 ,选 C ? 360 ? 270 ? 180 90

5. y ? ln x 不是偶函数,y ? cos x 是周期函数, 在区间 (0, ??) 上不是单调递减,y ? x 2 在 区间 (0, ??) 上单调递增,故选 D。 6. a ? b ? a b cos

? ?

? ?

?
6

? 3?

? 2 3 ? b ? 3,? b ? 3 ,选 C 2 3

7. 由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为 3 ,所以正三角形的边长为 2, 所以三棱柱的侧面积为 2 ? 3 ?1 ? 6 ,两底面积为 2 ?

1 ? 2 ? 3 ? 2 3 ,所以表面积为 2

6 ? 2 3 ,选 A.
8. x ? 3, k ? 0; x ? 8, k ? 1; x ? 13, k ? 2; x ? 18, k ? 3; x ? 23, k ? 4; x ? 28 ? 23, k ? 5 ,故选 C 9. d ?

a?0 2

? r ? 1, 解得 a ? ? 2 ,因为圆与直线相切于第三象限,由图可知, a ? 0 ,

故选 C。 10. f ?( x ) ? 3 x ? 4 ,令 f ?( x ) ? 3 x ? 4 ? 0, x ? ?
2

2

2 3 故 3 2 3 3
0 极小值

x
f ?(x ) f (x )

(??,?
+

2 3 ) 3

?

2 3 3
0

(?

2 3 2 3 , ) 3 3
— 递减

(

2 3 ,?? ) 3
+ 递增

递增

极大值

5

又因为 f (?1) ? 3 ? a ? 0 , f (0) ? a ? 0 ,

f (1) ? a ? 3 ? 0 , f (2) ? a ? 0 ,综合以上信息可得
示意图如右,由图可知, 0 ? x2 <1,选 C. 二、填空题 11. 2 2 【解析】 11. 由余弦定理 cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 32 ? 12 ? a 2 1 ? ? , 解得 a 2bc 2 ? 3 ?1 3

12.

1 2

13. 2

14. ? cos ? ?

2

15.

3

?2 2

12. 不等式组表示的可行域如图所示,故面积为 13. 由题意可知, f (1,1) ? 1 , f (1, 2) ? 0 ,

1 1 ?1 ?1 ? 2 2

f (2, 2) ? f (1 ? 1, 2) ? 2( f (1, 2) ? f (1,1)) ? 2(0 ? 1) ? 2
14. 圆 C 的直角坐标方程为 x ? 2 的直线为 x ?

?

?

2

? y 2 ? 2 ,故圆心 C 为

?

2, ,过圆心且与 OC 垂直 0

?

2 ,转为极坐标方程为 ? cos ? ? 2 。
D C

15. 依题意知 Rt ?ABC , ?CAB ? 30? , AB ? 4 ,则 BC ? 2, AC ? 2 3 ,

S ?ABC ?

1 1 AB? ? AC ?BC ,代入解得 CE ? 3 。 CE 2 2

A

O

E

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (1)已知函数即 f ( x) ? 1 ? 1 sin 2 x,
2
?T ?

……………………………2 分

2? ? ? … ………………………………………………………3 分 2

当 2x ?

3? 3? ? 2k? (k ? Z ) 时,即 x ? ? k? (k ? Z ) ,…………4 分 2 4
1 1 ? ( ?1) ? …………………………………………………………6 2 2

f ( x)min ? 1 ?



(2) f (

x 1 ? x 1 ? 1 ? ) ? 1 ? sin(2( ? )) ? 1 ? sin( ? x) ? 1 ? cos x ………8 分 4 2 2 4 2 2 2 2 4 sin x 3 ? , sin 2 x ? cos2 x ? 1, 解得: cos x ? ? ……10 分 由 tan x ? cos x 4 5 4 ? ? x ? (0, ), cos x ? 0 ? cos x ? ….................................................11 分 2 5
所以 f (

?

?

x 1 7 ? ) ? 1 ? cos x ? ……………....................................12 分 4 2 2 5
6

17. 解: (1)由频率分布表可知:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ? (2)设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 1,2; “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件 A .………………………………5 分 所得基本事件共有 15 种,即:

8 ? 32 人.…4 分 15

ab, ac, ad, a1, a 2, bc, bd, b1, b2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 …………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 a1, a 2, b1, b2, c1, c 2, d1, d 2 ,共 8 种,………10 分 由古典概型可得 P ( A) ?

8 , ………………………12 分 15

18.解: (1)取 AB1 中点 Q ,连接 PQ , 则 PQ 为中位线, PQ//

1 A1 B1 ,…………2 分 2

D

E

C

而正方体 ABCD-A1B1C1D1 故 DE //

E 是棱 CD 上中点, ,
A B

1 A1 B1 ,………………4 分 2

? PQ//DE ,所以四边形 PQDE 为平行四边形。
P

Q D1

? PD // QE , ……………6 分
而 QE ? 面 AB1 E , PD ? 面 AB1 E , 故 PD // 面AB1 E ……………………………8 分 A1

C1

B1

(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 ? 面 ABE,故为 BB1 高,BB1=2………10 分

? CD// AB ? S ?ABE ? S ?ABC ? 1 AB ? BC ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 …………12 分
2 2
故 V B ? AB1E ? V B1 ? ABE ?

1 4 BB1 ? S ?ABC ? ………14 分 3 3

19.解: (1)? an ? S n ? 2 …………………………………1 分

? n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 2,? a1 ? 1 ………………2 分
n ? 2 时, an ? Sn ? 2 , an ?1 ? Sn ?1 ? 2 ………………………3 分
两式相减得: an ? an ?i ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an ? an?i ? an ? 0 ,

an 1 ? ,………5 分 an ?1 2

7

? ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项,

1 为公比的等比数列. ………………6 分 2

1 ? an ? ( )n?1 …………………………………………7 分 2

(2) f ( n ) ? log a ? log ? 1 ? 1 n 1 ? ?
2
1

n ?1

2
2

?2?

1 n ? n ? 1 ,则 bn ? f ( n ? 1)an ?1 ? n( ) ,…………9 分 2
3 n

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? 2? 2? 2? ? ? ? ?2?
2 3 4


n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?
2 3 4

②…………………10 分
n n ?1

①-②得: 1 T ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? n ? ? 1 ? n ? 2? ? 2? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 ? 1? n 1? 2 ? ? 2 ? 1? 1 ? 2 ? n ?1 n ?1 n ? 1 n ?1? ?1? ?1? ? ? n ? ? ? ? 1 ? n ? n ? ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? ?
n

……………11 分 …………13 分

?1? ? Tn ? 2 ? (2 ? n ) ? ? ? ……14 分 ?2?

20. (1)解:依题意, A(a,0), B(0, b) , AB ? 整理得 ? ? , ?a 2
?b 1

a 2 ? b2 ,k ? b ?0 ? ? b ? ? 1
0?a a

2

………………………………2 分

? a 2 ? b 2 ? 5. ?

解得 a ? 2 , b ? 1. 所以 椭圆的方程为

………………………………3 分 ………………………4 分
2

x2 ? y 2 ? 1. 4
2

(2)证明:由于 l // AB ,设直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? m ,将其代入 x ? y 2 ? 1 ,消去 y ,
4

整理得 2 x ? 4mx ? 4m ? 4 ? 0 . ………6 分
2 2

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) . 所以 ?
?? ? 16m2 ? 32(m2 ? 1) ? 0, ? x1 ? x2 ? 2m, ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2.

………8 分

证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 由 M (2m,0) , N (0, m) , 则 S1 ? S 2 ? 1 ? | 2m | ? | y | ? 1 ? | m | ? | x | ? | 2 y1 | ? | x2 | ………………10 分 1 2
2 2

因为 x1 ? x2 ? 2m ,所以 | 2 y1 | ? | 2 ? (? 1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | ,…13 分
2
8

从而 S1 ? S2 .

………………………………………14 分

证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 则 S1 ? S 2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD, MN 的中点重合. ………………10 分 因为 x1 ? x2 ? 2m ,所以 x1 ? x2 ? m , y1 ? y2 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? m ? 1 m .
2

2

2

2

2

故线段 CD 的中点为 (m,

1 m) . 2 1 m) .……13 分 2

因为 M (2m,0) , N (0, m) ,所以 线段 MN 的中点坐标亦为 (m, 从而 S1 ? S2 . ………………………………………14 分

21.解: (1) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ………………………………………………1 分
h?( x) ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 1 ? ? ,…………………………………………2 分 x x

故 x ? (0,1) h?( x) ? 0, h( x ) 单调递增;

x ? (1, ??) h?( x) ? 0, h( x ) 单调递减,…………………3 分

x ? 1 时, h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值。……………………………4 分
(2) h( x) ? ln x ? a( x 2 ? x) , h?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) , x

若函数 y ? h( x ) 在 [1, ??) 上单调递增, 则 h?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 对 x ? 1 恒成立…………………………………5 分 x
?( 1 )max ………………6 分 2x ? x
2

1 1 1 ,只需 a a? x ? ? 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x 2 ? x
1

x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ,则 0 ? 2x2 ? x ? 1 , ? 2x 2 ? x ? ? 1 ,………7 分 ? ?max
故 a ? 1 , a 的取值范围为 ?1, ?? ? …………………………………8 分 (3)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,
x ln 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 x2 ………………………9 分 k? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
f ?( x0 ) ? 1 2 ? …………………………………………10 分 x0 x1 ? x2

?

1

?

9

x x1 2( 1 ? 1) x1 2( x1 ? x2 ) x2 ? x2 2 ,整理得 ln ? ………11 分 由 k ? f ?( x0 ) 得 x1 x2 x1 ? x2 ? ?1 x1 ? x2 x1 ? x2 x

ln

2

令t ?

x1 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ?0 (0 ? t ? 1) ,…12 分, u ?(t ) ? , u(t ) ? ln t ? t ?1 t (t ? 1) 2 x2

? u(t ) 在 (0,1) 上单调递增,………………………………………13 分 ? u(t ) ? u(1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 )

?不存在符合题意的两点。…………………………14 分

10


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