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2012高考数学专题七第21讲:转化与化归思想


第21讲 转化与化归思想

转化与化归思想是指在处理问题时,把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类 已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式. 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽可能是等价转 化,在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化 的等价.常见的转化有:正与反的转化、数与形的转化、相

等与不等的转化、整体与局部的 转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等. 分类讨论思想,函数与方程思想,数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现.常用 的变换方法:分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.

1 1 1. 已知正实数 x、y 满足 + =1,则 x+y 的取值范围是________. x y

1 2.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈?0,2?都成立,则实数 a 的最小值为________. ? ?

3.函数 y=x+ 2-x的值域为________. 4.函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 b 的取值范围是________.

→ → 【例 1】 已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,求PA· PB 的最小值.

【例 2】 若不等式 x2+px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,试求实数 x 的取值范围.

1 1 【例 3】 在数列{an} 中 a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=?3? ? ? 3 (1) 求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2) 若 S1, t (S1+S2 ), 3(S2+S3) 成等差数列,求实数 t 的值.

n+1

(n∈N*).

1 【例 4】 已知函数 f(x)=?a-2?x2+lnx(a∈R). ? ? (1) 当 a=0 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2) 若?x ∈[1,3],使 f(x)<(x+1)lnx 成立,求实数 a 的取值范围; (3) 若函数 f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线 y=2ax 下方,求实数 a 的取值范围.

1. (2011· 福建)设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1 ,F2 ,若曲线 r 上存在点 P 满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 r 的离心率等于________.

?y≥x, ? 2.(2011· 湖南)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
则实数 m 的取值范围为________.

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,

3.(2011· 全国)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, AB=6, 且 BC=2 3, 则棱锥 OABCD 的体积为________.

4.(2011· 湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范 围为________.

A 2 5 → → 5.(2009· 浙江)在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 且满足 cos = , · AB AC 2 5 =3. (1) 求△ABC 的面积; (2) 若 b+c=6,求 a 的值.

6.( 2011· 辽宁)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭 圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两 点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. 1 (1) 设 e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2 (2) 当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由.

(2008· 北京)(本小题满分 13 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,?),λ 是 常数. (1) 当 a2=-1 时,求 λ 及 a3 的值; (2) 数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; (3) 求 λ 的取值范围,使得存在正整数 m,当 n>m 时总有 an<0. 解:(1) 由于 an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,?),且 a1=1. 所以当 a2=-1 时,得-1=2-λ, 故 λ=3.(2 分) 从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(4 分) (2) 数列{an}不可能为等差数列,证明如下: 由 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an 得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在 λ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ, 解得 λ=3. 于是 a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾.所以,对任意 λ,{an}都不可能是等差数列.( 8 分) (3) 记 bn=n2+n-λ(n=1,2, 根据题意可知,1<0 且 bn≠0, λ>2 且 λ≠n2+n(n∈N*), ?), b 即 * 这时总存在 n0∈N ,满足:当 n≥n0 时,bn>0;当 n≤n0-1 时,bn<0. 所以由 an+1=bnan 及 a1=1>0 可知,若 n0 为偶数,则 an0<0,从而当 n>n0 时,an<0;若 n0 为奇数,则 an0>0,从而当 n>n0 时 an>0.( 10 分) 因此“存在 m∈N*,当 n>m 时总有 an<0”的充分必要条件是:n0 为偶数. 记 n0=2k(k=1,2,?),则 λ 满足
2 ? ?b2k=?2k? +2k-λ>0, ? 2 ? ?b2k-1=?2k-1? +2k-1-λ<0.

故 λ 的取值范围是 4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*).( 13 分)


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