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2016届高考数学复习 第十章 第七节 统计与统计案例 理(全国通用)


第七节

统计与统计案例

考点一 抽样方法 1.(2015·陕西,2)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如 图所示,则该校女教师的人数为( )

A.167

B.137

C.123

D.93

析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为:110×70%+150×(1-60%)=137.故选 B. 答案 B 2.(2014·湖南,2)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系 统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1, p2,

p3,则(

) B.p2=p3<p1 D.p1=p2=p3

A.p1=p2<p3 C.p1=p3<p2

解析 因为采取简单随机抽样、 系统抽样和分层抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概 率相等,故选 D. 答案 D 3.(2014·广东,6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该 地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量 和抽取的高中生近视人数分别为( )

A.200,20 解析

B.100,20

C.200,10

D.100,10

由题图可知,样本容量等于(3 500+4 500+2 000)×2%=200;抽取的高中生近

视人数为 2 000×2%×50%=20,故选 A.

1

答案 A 4.(2013·湖南,2)某学校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业务爱 好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查, 则宜采用的抽样方 法是( ) B.随机数法 D.分层抽样法

A.抽签法 C.系统抽样法

解析 看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用 分层抽样. 答案 D 5.(2013·陕西,4)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数 为( A.11 ) B.12 C.13 D.14

解析 840÷42=20,把 1,2,?,840 分成 42 段,不妨设第 1 段抽取的号码为 l,则第

k 段抽取的号码为 l+(k-1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令 481≤l+(k-1)·20≤720,
1-l l 得 25+ ≤k≤37- .由 1≤l≤20,则 25≤k≤36.满足条件的 k 共有 12 个. 20 20 答案 B 6.(2013·新课标全国Ⅰ,3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情 况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) B.按性别分层抽样 D.系统抽样

A.简单随机抽样 C.按学段分层抽样

解析 因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜采用分层抽样. 答案 C 7.(2014·天津,9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层 抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科 生中抽取________名学生. 解析 4 ×300=60(名). 20

答案 60 8.(2012·天津,9)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 的.现采用分层抽样的方法 从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取________所学校,中
2

学中抽取________所学校. 150 解析 共有学校 150+75+25=250 所,∴小学中应抽取:30× =18 所,中学中应抽 250 75 取:30× =9 所. 250 答案 18 9 考点二 频率分布直方图与茎叶图 1.(2015·安徽,6)若样本数据 x1,x2,?,x10 的标准差为 8,则数据 2x1-1,2x2-1,?, 2x10-1 的标准差为( A.8 B.15 )

C.16 D.32

解析 法一 由题意知,x1+x2+?+x10=10x,

s1=

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( x10 ? x)2 ] , 10
n

1 则 y = [(2x1-1)+(2x2-1)+?+(2x10-1)] 1 = [2(x1+x2+?+x10)-n]=2 x -1,

n

所以 S2=

1 [(2 x1 ? 1 ? y)2 ? (2 x2 ? 1 ? y)2 ? ? ? (2 x10 ? 1 ? y)2 ] 10



4 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( x10 ? x)2 ] =2s1,故选 C. 10

答案 C 2.(2015·重庆,3)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下: 则这组数据的中位数是( 0 1 2 2 8 2 0 1 A.19 解析 9 5 0 2 B.20 C.21.5 D.23 8 0 3 3 8 )

从茎叶图知所有数据为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间

两个数为 20,20,故中位数为 20,选 B. 答案 B 3.(2014·山东,7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者 的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16, 17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组.如图是根据试
3

验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( )

A.6

B.8

C.12

D.18

解析 由题图可知,第一组和第二组的频率之和为(0.24+0.16)×1=0.40,故该试验共 20 选取的志愿者有 =50 人.所以第三组共有 50×0.36=18 人,其中有疗效的人数为 0.40 18-6=12. 答案 C 4.(2014·陕西,9)设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,?,10),则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为( A.1+a,4 C.1,4 B.1+a,4+a D.1,4+a
2

)

解析 ∵x1,x2,?,x10 的均值 x =1,方差 s1=4,且 yi=xi+a(i=1,2,?,10),∴

y1, y2, ?, y10 的均值 y = (y1+y2+?+y10)= (x1+x2+?+x10+10a)= (x1+x2+?
1 1 2 2 2 2 +x10)+a= x +a=1+a, 其方差 s2= [(y1- y ) +(y2- y ) +?+(y10- y ) ]= [(x1 10 10 -1) +(x2-1) +?+(x10-1) ]=s1=4.故选 A. 答案 A 5.(2013·福建,4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得 到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成 绩不少于 60 分的学生人数为( )
2 2 2 2

1 10

1 10

1 10

4

A.588

B.480

C.450

D.120

解析 由频率分布直方图知 40~60 分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少 于 60 分的学生人数为 600×(1-0.2)=480. 答案 B 6.(2012·陕西,6)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计, 统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲,x 乙,中位数分 别为 m 甲,m 乙,则( )

A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 解析 345 , 16 1 16

B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

x 甲= (41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5+6+8)=

x 乙= (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12+18)=
∴ x 甲<x 乙,又 m 甲=20,m 乙=29, ∴m 甲<m 乙. 答案 B

1 16

457 , 16

7.(2015·江苏,2)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 1 解析 这组数据的平均数为 (4+6+5+8+7+6)=6. 6 答案 6 8.(2015·湖南,12)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 所示: 13 14 15 0 1 0 0 3 1 1 1 2 4 5 6 6 2 2 2 3 2 3 3 3 8 8 3 4 9 4 5 5 5 6 6 7 8

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成 绩在区间[139,151]上的运动员人数是________. 解析 由题意知,将 1~35 号分成 7 组,每组 5 名运动员,落在区间[139,151]的运动
5

员共有 4 组,故由系统抽样法知,共抽取 4 名. 答案 4 9.(2014·江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周 长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测 的 60 株树木中,有________株树木的底部周长小于 100 cm.

解析 60×(0.015+0.025)×10=24. 答案 24 10.(2015·新课标全国Ⅱ,18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别 随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户 的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率. 解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

6

通过茎叶图可以看出, A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均 值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (2)记 CA1 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; 记 CA2 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; 记 CB1 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; 记 CB2 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”; 则 CA1 与 CB1 独立,CA2 与 CB2 独立,CB1 与 CB2 互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.

P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)
=P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2). 16 4 10 8 16 由所给数据得 CA1,CA2,CB1,CB2 发生的频率分别为 , , , ,故 P(CA1)= ,P(CA2) 20 20 20 20 20 = 4 10 ,P(CB1)= , 20 20 8 20 10 16 8 20 20 20 4 20

P(CB2)= ,P(C)= × + × =0.48.
考点三 变量间的相关关系及统计案例 1. (2015·新课标全国Ⅱ, 31)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位: 万吨)柱形图.以下结论不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
7

解析 从 2006 年, 将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较, 得到 2008 年二氧化硫排 放量与 2007 年排放量的差最大,A 选项正确; 2007 年二氧化硫排放量较 2006 年降低了很多,B 选项正确; 虽然 2011 年二氧化硫排放量较 2010 年多一些,但自 2006 年以来,整体呈递减趋势,即 C 选项正确;自 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D 选项错误,故选 D. 答案 D 2.(2015·福建,4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 根据上表可得回归直线方程 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ? ? ? ? ? = x+ ,其中 =0.76, =y- x.据此估计,该 y b a b a b
)

社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 C.12.0 万元

B.11.8 万元 D.12.2 万元

解析 回归直线一定过样本点中心(10,8),∵

? ? ? =0.76,∴ =0.4,由 =0.76x+0.4 y b a

得当 x=15 万元时, 答案 B

? =11.8 万元.故选 B. y

- 3.(2014·重庆,3)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3,y=3.5, 则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ^ A.y=0.4x+2.3 ^ C.y=-2x+9.5 ^ D.y=-0.3x+4.4 )

^ B.y=2x-2.4

解析 由变量 x 与 y 正相关知 C、D 均错,又回归直线经过样本中心(3,3.5),代入验证 得 A 正确,B 错误.故选 A. 答案 A 4.(2014·湖北,4)根据如下样本数据

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0
8

解析 把样本数据中的 x,y 分别当作点的横、纵坐标,在平面直角坐标系 xOy 中作出散 点图,由图可知 b<0,a>0.故选 B. 答案 B 5.(2011·湖南,4)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的 列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n(ad-bc)2 由K= 算得, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) K2=
110×(40×30-20×20) ≈7.8. 60×50×60×50
2

附表:

P(K2≥k) k
参照附表,得到的正确结论是( )

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 ∵K ≈7.8>6.635, ∴有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,即犯错误的概率不超过 1%. 答案 C 6.(2015·新课标全国Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣 传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一 些统计量的值.
2

9

x

y

w

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (?i ? ? )2
i ?1

8

? ( x ? x )?
i ?1 i

8

? (? ? ?)
i ?1 i

8

( yi ? y)
1.6 1 469

( yi ? y)
108.8

46.6

563

6.8

289.8

18 表中 wi= xi,w= ?wi. 8i=1 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为:

^ β =

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i 1

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ?u . ,a

2



(1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程

类型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于

? d

? (? ? ? ) ? ( y ? y)
i ?1 i i

8

2

? (? ? ? )
i ?1 i

8

?

2

108.8 =68, 1.6

? ? =563-68×6.8=100.6, ? = y -d c
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ? y =100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 ? y =100.6 +68 x. (3)①由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

? y =100.6+68 49=576.6,
年利润 z 的预报值

? =576.6×0.2-49=66.32. z
① 根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值
10

? =0.2(100.6+68 x)-x z
=-x+13.6 x+20.12. 13.6 所以当 x= =6.8,即 x=46.24 时,z^ 取得最大值. 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 7.(2012·辽宁,19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查, 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料你是否认为 “体育迷” 与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次 抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). 附:K (χ )=
2 2

体育迷

合计

10

55

n(n11n22-n12n21)2 , n1+n2+n+1n+2 P(K2(χ 2)≥k) k
0.05 0.01 3.841 6.635



(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联

表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

11

n(n11n22-n12n21)2 K2(χ 2)= n1+n2+n+1n+2
= = 100×(30×10-45×15) 75×25×45×55 100 ≈3.030. 33
2

因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽 1 取一名“体育迷”的概率为 . 4

? 1? 由题意 X~B?3, ?,从而 X 的分布列为 ? 4?
X P E(X)=np=3× = , D(X)=np(1-p)=3× × = .
1 3 9 4 4 16 1 3 4 4 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

12


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