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2chapter2(1)向量及其线性运算


Chapter 2(1)

向量及其线性运算

教学要求: 教学要求:
1. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示; 2. 掌握向量的线性运算 掌握向量的线性运算; 3. 掌握单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标 掌握单位向量、方向角与方向余弦、 分解式. 分解式
<

br /> 一. 向量概念
二.向量的线性运算 向量的线性运算

三. 空间直角坐标系
四. 利用坐标作向量的线性 运算
五.向量的模与方向余弦 向量的模与方向余弦

一.向量概念 向量概念
向量:既有大小又有方向的量. 向量:既有大小又有方向的量.

M2 ?

r 向量表示: 向量表示:a 或 M 1 M 2

?M

1

为起点, 为终点的有向线段. 以 M 1 为起点, M 2 为终点的有向线段

向量的模: 向量的大小或长度.记为 向量的模: 向量的大小或长度.

r | a | 或 | M1 M 2 |
单位向量:模长为1的向量. 单位向量:模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

r 零向量: 模长为0的向量. 零向量: 模长为0的向量. 0

自由向量:保持方向不变,模不变, 自由向量:保持方向不变,模不变,可以平行 移动的向量.即与起点无关的向量. 移动的向量.即与起点无关的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量.

r a

r 负向量: 大小相等但方向相反的向量. 负向量: 大小相等但方向相反的向量.? a r r a ?a


r b

向径: 向径:起点在原点的向量 . OM 平行向量与向量共面

二.向量的线性运算 向量的线性运算
1. 加法 (1) 平行四边形法则 平行四边形法则:
特殊地, 若α // β r β r r α r r

β

r

α+β r α

r

r

分为同向和反向

r c

r r r | c |=| α | + | β |

β

α

r

r r r | c |= | α | ? | β |

r c

(2) 三角形法则 三角形法则:

β

r

α+β r α

r

r

β

r

(3) 向量加法的运算规律 向量加法的运算规律: r r r r α + β = β +α. r r r r r r r r r α + β + γ = (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) r r r r r α + 0 = 0 +α = α. r r r r β α + ( ?α ) = 0. Proof:
r r α r r β +α r r r β α+β β r α

α (α + β ) ( β + γ )
r
r

r

r

r

γ

r

(α + β ) + γ

r

r

r

α + (β + γ )

r

r

r

(4) 有限个向量之和,可由三角形法则得到:第一个向 有限个向量之和,可由三角形法则得到: 量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向 量的起点为起点, 量即为多个向量的和. 量即为多个向量的和 2. 减法 减法:



r

β
r c

r

α

r
?β r

β

r

α+β
α
r

r

r

r r r c = α + (?β ) r r =α ?β

α?β

r

r

3. 向量与数的乘法 (1) 定义 定义:

r r 数 λ与向量 α的乘积是一个向量 , 记为λα .
r r r r 当 λ > 0 时, λα与α同向, | λα |= λ | α | r r 当 λ = 0 时, λα = 0为零向量 . r r r r 当 λ < 0 时, λα与α反向, | λα |=| λ | ? | α | r r 当λ = ?1时, ( ?1)α = ?α r α r 1r 2α ? α 2

(2) 向量乘法的运算规律 向量乘法的运算规律: r r 1 ?α = α r r r ( λ? )α = λ ( ?α ) = ? ( λα ) r r r ( λ + ? )α = λα + ?α r r r r λ (α + β ) = λα + λβ r r r r 可见, 可见,若β = kα , 则α // β ; r r r r r r 若α // β , 则?k使得β = kα , (α ≠ 0 ). 使得

(3) 单位向量 单位向量: r ro r ro α 设α 为与任一非零向量 α同向的单位向量 , 则α = r . α r ro 证:可设 α = kα , ( k > 0) r 则 α = k, r r r ro ro α 故 α = α α , ∴α = r .

α

r r 注意:任一非零向量 α的单位向量为 ± α . 注意: r r α ro r = r . 同向时的单位向量记为 α = eα

α

α

三.空间直角坐标系 空间直角坐标系
1. 坐标系的建立
z 竖轴

三个坐标轴的正 方向符合右手系 右手系. 方向符合右手系
即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指

定点 o 横轴 x

?

y 纵轴

π 从正向 x 轴以 角 2
度转向正向 y 轴 时,大拇指的指向 轴的正向. 就是 z 轴的正向

空间直角坐标系

三个坐标面与八个卦限: 三个坐标面与八个卦限:



z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

2. 空间点与有序数组的关系
1? ? ? ←? 1→ 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点 z

R(0,0, z )

B ( 0, y , z )
?

C ( x , o, z )

M ( x, y, z)

o

Q ( 0 , y ,0 )

y

x

P ( x , 0, 0 )

A( x , y ,0)

3. 坐标轴与坐标面上点的坐标的特征 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , 坐标原点 O ( 0,0,0)

4. 关于原点、坐标轴、坐标面对称的点 关于原点、坐标轴、
I( + + + ), II( ? + + ), III( ? ? + ), IV( + ? + )

V ( + + ? ), VI( ? + ? ), VII( ? ? ? ), VIII( + ? ? )
( 0, ,0 ) ( x , y, z ) ←?0?→ ( ? x , ? y, ? z ) ?

( x , y, z ) ←? → ( x , ? y, ? z ) ?
ox轴

( x , y, z ) ←? → ( x , y, ? z ) ?
xoy

( x , y, z ) ←? →( ? x , y, ? z ) ?
oy轴

yoz ( x , y, z ) ←? →( ? x , y, z ) ?

( x , y, z ) ←? →( ? x , ? y, z ) ?
oz轴

( x , y, z ) ←? →( x , ? y, z ) ?
zox

5. 向量的坐标分解式

z


γ = OM = OP + PN + NM
= OP + OQ + OR r r r = xi + yj + zk
→ → →

r







R
?M ( x , y , z )

P o

Q
N

y

称为向量γ 的坐标分解式 的坐标分解式. r r r r xi , yj , zk 分别叫做γ在ox, oy, oz轴上的分向量; r x, y, z 分别叫做 在ox, oy, oz轴上的坐标或投影 γ . r r r r ∴γ = xi + yj + zk = ( x, y, z) r r r 其中i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) 称为基本单位向量.

x

四. 利用坐标作向量的线性 运算 → 1. 设 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ), 求 M1 M 2 的分解式 z M2
M1
? ?→ ?→ ?→ ? ? M1 M 2 = OM 2 ? OM1

o

y

x r r r r r r = ( x2 i + y2 j + z2 k ) ? ( x1i + y1 j + z1k ) r r r = ( x2 ? x1 ) i + ( y2 ? y1 ) j + ( z2 ? z1 ) k

= ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

r r r r r r 2. α + β = ( x1i + y1 j + z1k ) + ( x2 i + y2 j + z2 k ) r r r = ( x1 + x2 )i + ( y1 + y2 ) j + ( z1 + z2 )k r = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) r r r r r r α ? β = ( x1i + y1 j + z1k ) ? ( x2i + y2 j + z2k ) r r r = ( x1 ? x2 )i + ( y1 ? y2 ) j + ( z1 ? z2 )k r = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ) r r r r r r kα = k ( x1i + y1 j + z1k ) = ( kx1 )i + ( ky1 ) j + ( kz1 )k r
= ( kx1 , ky1 , kz1 )

r

r

ex1 设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点, 为两已知点, 而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分
AM 、MB ,使它们的值的比等于某数λ (λ ≠ ?1) ,


AM





求分点的坐标 = λ ,求分点的坐标.
z

MB

为直线上的点, Solution. 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点,

AM = { x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 } MB = { x2 ? x , y2 ? y , z 2 ? z }

B A M

o

y

x

由题意知: 由题意知: AM = λMB

{ x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 } = λ { x2 ? x , y2 ? y , z2 ? z }, x1 + λ x2 x ? x1= λ ( x2 ? x ) ? x = , 1+ λ y ? y1= λ ( y2 ? y ) ? y = y1 + λ y2 , 1+ λ z ? z1 = λ ( z2 ? z ) ? z = z1 + λ z2 , 1+ λ 为中点时, M 为有向线段 AB 的定比分点 M 为中点时, 定比分点. x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x= , y= , z= . 2 2 2

五.向量的模与方向余弦 向量的模与方向余弦
1. 向量的模 由右图及勾股定理可知: 由右图及勾股定理可知

z
R
2

γ = OM = OP + OQ + OR
2 2

r

?M ( x , y , z )

∴γ =

r

P o

Q

y

x + y +z
2 2

2

N

x

即为向量的模的坐标表示式. 即为向量的模的坐标表示式

从而有 M1 M 2 =

( x2 ? x1 )

2

+ ( y2 ? y1 ) + ( z2 ? z1 )
2

2

空间两点间距离公式

ex2 求证以 M 1 (4,3,1)、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 为顶点的三角形是一个等腰三角形

Solution:

M 1 M 2 = (7 ? 4)2 + (1 ? 3)2 + ( 2 ? 1)2 = 14,
2

M 2 M 3 = (5 ? 7)2 + ( 2 ? 1)2 + ( 3 ? 2)2 = 6,
2

M 3 M 1 = (4 ? 5)2 + ( 3 ? 2)2 + (1 ? 3)2 = 6,
2

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 .

结论成立. 结论成立

ex3 设 P 在 x 轴上, 轴上, 它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为到 的距离的两倍, 的坐标. 点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍 , 求点 P 的坐标

轴上, 点坐标为 设 Solution. 因为 P 在 x 轴上, P点坐标为( x ,0,0),

PP1 = x + (
2

2) + 3 =
2 2
2 2

x 2 + 11,

PP2 =

x + ( ? 1) + 1 =
2

x 2 + 2,

Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
? x = ±1, 所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

2. 两向量的夹角 r r r r r r 设向量 α , β交于O点, α与β的夹角就是指 α与β正

r∧ r r 向之间不大于 π的夹角.记为(α , β ) = ( β , α ) = ? ,

∧r

β

r

且0 ≤ ? ≤ π .

α
?

r

α

r

β

r

?

r 当α // β时, 若同向 ? = 0;若反向 ? = π . , , r
类似地,可定义向量与坐标轴以及坐标轴间的夹角 类似地,可定义向量与坐标轴以及坐标轴间的夹角.

3. 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影

?

A
u

A′

过点 A 作轴u 的垂直 平面, 平面,交点 A′ 即为点 上的投影. A 在轴u上的投影

空间一向量在轴上的投影
B A

A′

B′

已知向量的起点 A 和终点B 在 轴 u 上的投影分别为 A′, B ′ 那 u 么轴 u 上的有向线段 A′B′ 的 上的投影. 值,称为向量在轴u 上的投影

→ ? r ? A′B′ , A′B′ 与 u 同向 ? → → r ? r AB = A′B′ = ? ? A′B′ , A′B′ 与 u 反向 Pr ju ? 0, A′ = B′ ? ? ?

关于向量的投影定理1 关于向量的投影定理1 投影定理

向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pr ju AB =| AB | cos ? 轴与向量的夹角的余弦:
证 Pr ju AB = Pr ju′ AB =| AB | cos ?

A
A′

?

B
B′′

B′

u′ u

注意: 注意:

π (1) 0 ≤ ? < , 投影为正; 投影为正; 2 ( 2) < ? ≤ π, 投影为负; 投影为负; 2 π ( 3) ? = , 投影为零; 投影为零; 2

r c
r a

π

r b

u

(4) 相等向量在同一轴上投影相等; 相等向量在同一轴上投影相等; (5) 在同一轴上投影相等的两个向量不一定相等 在同一轴上投影相等的两个向量不一定相等.

u

关于向量的投影定理2 关于向量的投影定理2 投影定理
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 ( 该轴上的投影之和. 可推广到有限多个) 该轴上的投影之和. 可推广到有限多个) r r r r Pr j (α + β ) = Pr jα + Pr jβ .
C

A
A′

α

r
B B′

β

r
C′

u

Pr j ( kα ) = k Pr jα .

r

r

4. 向量ρ=( =(x,y,z)的方向余弦的坐标表示式 ) r 方向角: 非零向量 ρ 的方向角:α 、β 、 γ 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

z
由投影定理可知
? M2 γ M1 ? α β

向 量 的 方 向 余 弦

o
x

0 ≤ α ≤ π, 0 ≤ β ≤ π,
0 ≤ γ ≤ π.

x = Pr jox ρ =| ρ | cos α r r y = Pr joy ρ =| ρ | cos β y r r z = Pr joz ρ =| ρ | cos γ

r

r

向量方向余弦的坐标表示式

当 x + y + z ≠ 0时,
2 2 2

cos α = cos γ =
2

x x + y +z z
2 2 2

, .

cos β =

y x + y +z
2 2 2

,
2

x + y +z
2 2
2

2

方向余弦的特征

cos α + cos β + cos γ = 1
r

ρ = ( ρ cosα, ρ cos β , ρ cosγ )
r ρ ro ρ = r = {cos α , cos β , cos γ }. |ρ|

r

r

r

r r r r ex4 求平行于向量 a = 6i + 7 j ? 6k 的单位向量
的分解式. 的分解式

Solution:

r 所求向量有两个, 同向, 所求向量有两个,一个与 a 同向,一个反向

r Q | a |= 6 2 + 7 2 + ( ?6)2 = 11, r a 6r 7 r 6 r 0 ∴ a = r = i + j ? k, | a | 11 11 11
或为

r 6r 7 r 6 r a ? r =? i ? j + k. |a| 11 11 11

ex 5.设有向量 P1 P2 ,已知 P1 P2 = 2, 它与x轴和y轴的夹角 分别为 和 , 如果P1的坐标为(1,0, 3), 求P2的坐标. 3 4
Solution. 设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ





π

π

1 π α = , cos α = , 3 2

π 2 β = , cos β = , 4 2

Q cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1,

1 ∴ cos γ = ± . 2

2π π . 设 P2 的坐标为 ( x , y , z ), ?γ= , γ= 3 3
x ?1 x ?1 1 cosα = ? x = 2, ? = P1 P2 2 2
y?0 y?0 2 cos β = ? ? y = 2, = P1 P2 2 2
z?3 z?3 1 ? z = 4, z = 2, ? cos γ = =± 2 P1 P2 2

P2 的坐标为 ( 2, 2 ,4), ( 2, 2 ,2).

r r r r r r r r ex 6.设m = 3i + 5 j + 8 k , n = 2i ? 4 j ? 7 k , r r r r r r r r p = 5 i + j ? 4k , 求向量a = 4m + 3n ? p 在x轴上的投影及在 y轴上的分向量 .
Solution:

r r r r Q a = 4m + 3n ? p r r r r r r r r r = 4( 3i + 5 j + 8k ) + 3( 2i ? 4 j ? 7 k )? (5i + j ? 4k )
r r r = 13i + 7 j + 15k ,

∴在 x 轴上的投影为 a x = 13 ,

r 在 y 轴上的分向量为7 j .

The end


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