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2011届高三数学第一次模拟测试题3


江门市 2011 年高考模拟考试


1 3

学(理科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 4

0 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 A A. 1
? x | x ? a ? (a

?

2

? 1) i , a ? R , i 是虚数单位

? ,若 A ?

R

,则 a

?

B. ? 1

C. ? 1
? CD ? 0

D. 0 , ( AB
? AD ) ? AC ? 0

⒉若四边形 ABCD 满足 AB A.直角梯形

,则该四边形一定是

B.菱形

C.矩形

D.正方形

⒊某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他 为高收入家庭。 在建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区本次被抽取的总户数为 A. 20 ⒋直线 x
?

B. 24
?
3

C. 30 都是函数
?
3 ,

D. 36 的对称轴,

,x

?

?
2

f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )

且函数 A. ? C. ?

f ( x ) 在区间 [

?
2

] 上单调递减,则

5
? ? ? ?

5

? 6

,?

?

?
2

B. ? D. ?

? 6 ? 3

,? ,?

?
2

? 3 ,? ?

?
2

?
2

6

6

⒌一个底部水平放置的几何体,下半部分是圆柱,
6 6

上半部分是正四棱锥,其三视图如图 1 所示, 则这个几何体的体积 V A. 54 ? C. 66 ? ⒍a 、b 、c 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
? 0 ? 30 ?

正视图

侧视图

B. 69 ? D. 54 ? , ln “
a
? 24

图1 俯视图

、 ln

b

、 ln c 成等差数列”是“ 2 a 、 2 b 、 2 c 成等比数列”

D.既不充分也不必要条件

y

O

x

⒎在平面直角坐标系 xOy 中, ax
? a ? 0 且b ? 0 ? c ? 0

? by ? c ? 0

与 ax 2

? by

2

? c



表示的曲线如图 2 所示,则常数 a 、 b 、 c 之间的关系可能是 A. c C. a B. c
? a ? 0 且b ? 0

且b

? 0

D.A 或 C ( a 是常数) , 的常数 a 有

⒏已知平面区域 D
?P (x0 , y0 ) ? D

? ?( x , y ) | ? 1 ? x ? 2 , ? 1 ? y ? 2 ? , z ? ax ? y
? ax 0 ? y 0 ? 5 2

,记 z

为事件 A ,则使 p ( A ) D. 3 个以上

?

1 8

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知 X ~ N ( ? , ? 2 ) , P ( ?
? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0 . 68



开始 输入 a 1 , a 2 , ?
s ? a1 , i ? 2
i ? i?1

P ( ? ? 2 ? ? X ? ? ? 2 ? ) ? 0 . 95

,某次全市 20000 人

参加的考试,数学成绩大致服从正态分布
N (100 , 100 )

, 人.
s ? 0

则本次考试 120 分以上的学生约有

s ? s ? ai

⒑图 3 是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入
a i ? sin i 11

是 结束 图3

? (i ? N ? )
2

,则输出 i

?



否 输出 i

⒒设抛物线 C : y

? 4x

的准线与对称轴相交于点 P , .
f

过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是 ⒓在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 在映射 象集为四边形
S
/

:( x ,

y ) ? (2 y , 1 ? x)

作用下的
/

A B C D

/

/

/

/

,若

ABCD

的面积

S ?1

,则

A B C D

/

/

/

的面积

?

. (请填写所有真命题的序号) . 增加一个单位时, y 平均增加 1 . 5 个单位.
? ?

⒔以下命题中,真命题的序号是
? ①回归方程 y ? ? 2 ? 1 . 5 x 表示变量 x

②已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,若 m // ? 且 ? ③“若 x 2

,则 m

? ?


2

? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? ? 1 或 x ? 1 ,则 x
? f ( x ) 与函数 y ? g ( x )

? 1” .

④若函数 y
f (a ) ? 2
/

的图象关于直线 y

? x

对称,

f (a ) ? b

,若

,则 g / ( b )

?

1 2



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

⒕ (坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? (0
? ? ? 2?

?x ? 1 ? t ? y ? 2t
? 0

(t ?

R

为参数) 与圆 ?
?

? x ? cos ? ? y ? sin ? ? a

, ? 为参数, a 为常数且 a

)相切,则 a


B

⒖(几何证明选讲选做题)如图 4, P 是圆 O 外 一点,直线 PO 与圆 O 相交于 C 、 D , PA 、 PB 是圆 O 的切线,切点为 A 、 B 。若 PC 则四边形 PADB 的面积 S
? ? CD ? 1 ,

P

C

? O
A

D



图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 14 分)如图 5,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680
km



空中 B 处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 ? 角的 方向飞行,在中途 C 处转向与原方向线成 45 o 角的方向直飞到达 B 处.已知
sin ? ? 5 13


C

C

⑴在飞行路径 ? ABC 中,求 tan


?
45
o

⑵求新的飞行路程比原路程多多少 km .
(参考数据: 2 ? 1 . 414 , 3 ? 1 . 732 )
A B

图5

⒘(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机 会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛:答对 3 题者直接进入 决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互 之间没有影响,答题连续两次答错的概率为 .
9 1

⑴求选手甲可进入决赛的概率; ⑵设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试求 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.
D1 C1 B1

⒙(本小题满分 14 分)如图 6, ABCD

? A1 B 1 C 1 D 1 是棱长
A1

为 6 的正方体, E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 上的动点,

D F A

C

图6

E

B

且 AE

? BF


? C1E

⑴求证: A1 F



⑵当 A 1 、 E 、 F 、 C 1 共面时,求: ① D 1 到直线 C 1 E 的距离; ②面 A1 DE 与面 C 1 DF 所成二面角的余弦值.

⒚ (本小题满分 14 分) 已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1 ( ? 1 , 的距离之和为常数,曲线 C 的离心率 e ⑴求圆锥曲线 C 的方程;
? 1 2

0)

、F 2 (1 ,

0)



⑵设经过点 F 2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A 、B , 试证明在 x 轴上存 在一个定点 P ,使 PA
? PB

的值是常数.

⒛ (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?( n ? ⑴求数列 ?a n ? 的通项; ⑵ 设 数 列 ?a n ? 的 前
Sn ? 2
n ?1

N ? ) ,a 1 ? 0

,a n ? 1

? 2an ? n ? 2

n

( n ? 1) .

n

项 和 为

Sn

, 试 用 数 学 归 纳 法 证 明

? (n

2

? 3n ? 4) ? 2



21(本小题满分 14 分)设 y
x 对 ? x1 、 2

? f ( x ) 是定义在区间 ( a , b ) ( b ? a

)上的函数,若

? (a , b) , 都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 | , 则称 y ? f ( x ) 是区间 ( a , b )

上的平缓函数. ⑴试证明对 ? k ⑵若
x2 ? R
? R



f (x) ? x

2

? kx ? 1 都不是区间 ( ? 1 , 1) 上的平缓函数;
? 2

f ( x ) 是定义在实数集 R

上的、周期为 T

的平缓函数,试证明对 ? x 1 、

,|

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 .

理科数学评分参考
一、选择题 CBBA DDAC

二、填空题
2

⒐ 500

⒑ 22

⒒x ?

y ? 1 ? 0 (对一个

3 分,全对 5 分)



⒔①④(正确选项一个 3 分,全对 5 分;错误选项一个扣 3 分,2 个扣 5
分,扣完为止)

⒕2 ?

5 (答 2 ?

5 给 3 分,其他 0 分)



2 3

2

三、解答题 ⒗⑴ sin ?
? 5 13
0

, ? 是锐角,所以 tan ?

?
0

5 12

??1 分, ??2 分, ?
? tan ? ? tan 45
0 0

tan C ? tan[ ? ? (? ? 45 )] ? ? tan( ? ? 45 )
5 ?1 5 12 ? ? ?1
0

1 ? tan ? ? tan 45

??4

分, ?

?

12 1?

17 7

??5 分.

⑵ sin

C ? sin( ? ? 45 ) ?
? AB sin C

17 26

2

??7 分, 由正弦定理 ??11 分, BC

AB sin C

?

AC sin 45
0

?

BC sin ?

??

9 分,得 AC

? sin 45

0

? 520

? 200

2

??13 分,新的飞行 ??14 分.
1 9

路程比原路程多 AC

? BC ? AB ? 520 ? 200

2 ? 680 ? 122 . 8 ( km )

⒘⑴设 选手甲 任答一题,正确的概率为
p ? 2 3

p

,依题意 (1 ?
2 3 )

p)

2

? 8 27

??1 分, ??3 分,甲 、

??2 分,甲选答 3 道题目后进入决赛的概率为 (

3

?

选答 4 道、5 道题目后进入决赛的概率分别为
16 2 2 3 1 2 C4 ( ) ( ) ? 3 3 81

1 8 2 2 3 C3 ( ) ? ? 3 3 27

??5 分,所以,选手甲可进入决赛的概率
? 64 81 ? 3) ? 8 27 ? 1 27 ? 1 3

P ?

8 27

?

8 27

?

16 81

??6 分. ??8 分,

⑵ ? 可取 3,4,5??7 分,依题意 P ( ?

1 2 2 1 10 2 2 2 2 1 2 P (? ? 4 ) ? C 3 ( ) ? ? ? C 3 ( ) ? ? ? 3 3 3 3 3 3 27

??9 分, ??10 分,

1 2 2 2 2 1 8 2 2 2 2 1 2 P (? ? 5 ) ? C 4 ( ) ? ( ) ? ? C 4 ( ) ? ( ) ? ? 3 3 3 3 3 3 27

(或 P ( ?

? 5 ) ? 1 ? [ P ( ? ? 3 ) ? P ( ? ? 4 )] ?

8 27

??10 分)

所以, ? 的分布列为:

?
P

3

4
10 27

5

1 3

8 27

??11 分
E? ? 3 ? 1 3 ? 4? 10 27 ? 5? 8 27 ? 107 27

??12 分.

⒙⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系??1 分, A1 ( 6 , 则
F (6 ? m , 6 , 0)

0 , 6)

C 、 1 (0 ,

6 , 6)

, AE 设

? m

, E (6 , 则

m , 0) ,

??2 分,从而 A1 F
? C1F ? 0

? ( ? m , 6 , ? 6 ) 、C 1 E ? ( 6 , m ? 6 , ? 6 ) ??

3 分,直接计算知 A1 F

,所以 A1 F

? C1E

??5 分. ??

E F C ⑵①当 A 1 、 、 、 1 共面时, 因为底面 ABCD

// A1 B 1 C 1 D 1 , 所以 A1 C 1 // EF

6 分,所以 EF 线
C1E
?

// AC

,从而 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点??7 分,设 D 1 到直
h

的 距 离 为
C 1 D 1 ? BC 2
1

, 在

? C 1 D1 E

中 ,

C1E ?

6

2

?6

2

?3

2

? 9



C1E ? h 2

,解得 h

? 4 2

??9 分. ,设平面
A 1 DE

②由①得,
n1 ? ( a , b , c )

E (6 , 3 , 0)



F (3 , 6 , 0 )

的一个法向量为
? ( ? 1 , 2 , 1) ??

, 依题意 ?

? n ? DE ? 6 a ? 3 b ? 0 ? 1 ? n 1 ? DA 1 ? 6 a ? 6 c ? 0 ?

??10 分, 所以 n 1

11 分,同理平面 C 1 DF 的一个法向量为 n 2
A 1 DE

? ( 2 , ? 1 , 1)
| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n 2 |

??13 分,由图知,面
? 1 2

与面 C 1 DF 所成二面角的余弦值 cos ?

?

(即 ?

?

?
3

)??14

分.
2 2 2 2

⒚⑴依题意,设曲线 C 的方程为 分,e
? c a ? 1 2

x a

?

y b

? 1(a ? b ? 0

)??1 分, c
x
2

?1
2

??2

,a

? 2

b ??3 分,

?

a

2

?c

2

?

3

, 所求方程为

?

y

? 1 ??

4

3

4 分. ⑵当直线
AB

不与

x

轴垂直时,设其方程为

y ? k ( x ? 1)

??5 分,由

2 ?x2 y ? ?1 ? 3 ? 4 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

??6 分,得 ( 3 ?
xA ? xB ? 4(k
2

4k )x

2

2

? 8k x ? 4(k
2

2

? 3) ? 0

??7 分,从而 x A

? xB ?

8k

3 ? 4k



? 3)
2

3 ? 4k

??8 分,设 P (t ,
2 2

0)

,则 PA
2

? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B
2

? (k

2

? 1 ) x A x B ? ( t ? k )( x A ? x B ) ? ( k 3t
2

?t ) ?

3t

? 12 ? ( ? 5 ? 8 t ? 4 t ) k
2

2

3 ? 4k
? R

2

? ? 10
135 64

分, 当

? 12 3

?

? 5 ? 8t ? 4t 4

2

t ,?

11 8

时??11 分, ? k 对

PA ,

? PB ? ?

?? ??

12 分;当 AB 13 分,对 t 上的点 P (
11 8

? x

轴时,直线 AB 的方程为 x

? 1,x A ? xB ? 1, y A ( y B ) ? ?

3 2

?

11 8

, PA

? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B ? 135 64

9 64

?

9 4

? ?

135 64

,即存在 x 轴

, 0)

,使 PA

? PB

的值为常数 ?

??14 分.

⒛⑴(方法一)由 a n ? 1 分,所以
an 2
n ?1

? 2an ? n ? 2
a n ?1 2
n?2

n


?

a n ?1 2
n

?

an 2
n ?1

? n


?

an 2
n ?1

?

a n ?1 2
n?2

? n ? 1 ??2

? (

an 2
n ?1

?

)? (

a n ?1 2
n?2

a n?2 2
n?3

)?? ? (

a2 2

a1 2
0

) ? a 1 ??3

分,

? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 1 ??4

分, ?
n

n ( n ? 1) 2

,an

? 2

n?2

? n ( n ? 1)

??5 分.

(方法二)由 a n ? 1

? 2an ? n ? 2
n?2

得an

? 2 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2
2

n ?1


n ?1

a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ( n ? 2 ) ? 2
2
n?2

??1 分,2 a n ?1

? 2 a n?2 ? (n ? 2) ? 2

??3 分, ??,
? 2
n?2

a2 ? 2

n ?1

a1 ? 1 ? 2

n ?1

, 累加得 a n

? [( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 1] ? 2

n ?1

? n ( n ? 1)

??5 分. ⑵n
? 1 时,左边 S 1 ? a 1 ? 0

,右边 2 n ?1 ? ( n 2

? 3 n ? 4 ) ? 2 ? 1 ? (1 ? 3 ? 4 ) ? 2 ? 0



左边=右边,命题成立??7 分; 设n
? k (k ? N ? )

时,命题成立,即 S k ? ?

? 2

k ?1

? (k

2

? 3k ? 4) ? 2

??8 分,则 分 ,

S k ?1 ? S k ? a k ?1

9

? 2
k

k ?1

? (k

2

? 3k ? 4) ? 2 ? 2
2

k ?1

? k ( k ? 1) ? 2 ( k
k

2

? k ? 2) ? 2

2 ? [( k ? 1) ? 3 ( k ? 1) ? 4 ] ? 2

,从而 n

? k ? 1 时,命题成立??11
? 2
n ?1

分.

综上所述,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n

? (n

2

? 3n ? 4) ? 2

??12 分.

21.⑴ ? x 1 、 x 2 若
k ? 0

? ( ? 1 , 1) , | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 ? k | ? | x 1 ? x 2 | ??1 x1

分。

,则当



x2 ? (

1 2

, 1)

时,

x1 ? x 2 ? k ? 1

??2 分,从而

| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | x 1 ? x 2 | ??3

分;
1 2 ) 时, x 1 ? x 2 ? k ? ? 1 , | x 1 ? x 2 ? k |? 1 ??4

若k

? 0

,则当 x 1 、 x 2

? (?1 , ?

分,从而 | 区间 ( ? 1 ,

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | x 1 ? x 2 | ,所以对任意常数 k
1) 上的平缓函数??5

, f (x)

? x

2

? kx ? 1 都不是

分. 时, |
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 |? 1 ??6

⑵若 x 1 、 x 2 分;②当
f (0) ? f (2)

? [ 0 , 2 ] ,①当 | x 1 ? x 2 |? 1

| x 1 ? x 2 |? 1

时,不妨设 ?

0 ? x1 ? x 2 ? 2

,根据

f (x)

的周期性, ,

?

7



| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | f ( x 1 ) ? f ( 0 ) ? f ( 2 ) ? f ( x 2 ) |? | f ( x 1 ) ? f ( 0 ) | ? | f ( 2 ) ? f ( x 2 ) |

??9 分, ? |

x 1 | ? | 2 ? x 2 |? x 1 ? 2 ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? x 1 ) ? 1 ??11

分,所以对 ? x 1 、

x 2 ? [ 0 , 2 ] ,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 ??12

分.

对 ? x 1 、 x 2 ? R , 根 据 f ( x ) 的 周 期 性 (且 T ? 2 ) ,存 在 p 1 、 p 2 ? [ 0 , 2 ] , 使
f ( x 1 ) ? f ( p 1 ) 、 f ( x 2 ) ? f ( p 2 ) ,从而 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | f ( p 1 ) ? f ( p 2 ) |? 1 ??14 分.


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