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一些常用函数的曲线图及应用简说


一、正弦余弦曲线: 正弦曲线公式为: A 为波幅(纵轴) ,ω 为(相位矢量)角频率=2PI/T,T 为周期,t 为时间(横轴) , θ 为相位(横 轴左右) 。

周期函数:正余弦函数可用来表达周期函数。 例如,正弦和余弦函数被用来描述简谐运动,还可描述很多自然现象,比如附着在弹簧上的物 体的振动,挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动一维投影

。 三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。 这些函数有作为图像的特征波模式, 在描述循环 现象比如声波或光波的时候很有用。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。 1、函数 y=sinx 的图象:叫做正弦曲线。 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份。把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份。 (预备:取自 变量 x 值—弧度制下角与实数的对应) 。 第二步:在单位圆中画出对应于角
0,

?

? ? 6 , 3 , 2 ,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列表” ).

把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点就是正 弦函数图象上的点(等价于“描点” ) 。 第三步:连线。用光滑曲线把正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的 图象。

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的 距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x(x?R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终 点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象。

2、余弦函数 y=cosx 的图象:叫做余弦曲线。

? 根据诱导公式,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 2 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象。

3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) :
? 3? 正弦函数 y=sinx,x?[0,2π ]的图象中,五个关键点是: (0,0) 、 ( 2 ,1) 、 (?,0) 、 ( 2 ,-1) 、

(2?,0) 。
? 3? 2 余弦函数 y=cosx,x?[0,2π ]的图象中,五个点关键是: (0,1) 、 ( ,0) 、 (?,-1) 、 ( 2 ,0) 、

(2?,1) 。 讲解范例: 例 1:作下列函数的简图:①y=1+sinx,x∈[0,2π ];②y=-COSx。 探究: 如何利用 y=sinx, x?[0, 2π ]的图象, 通过图形变换 (平移、 翻转等) 来得到①y=1+sinx, x?[0,2π ]的图象;②y=sin(x- π /3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 探究:如何利用 y=cosx,x?[0,2π ]的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=-cosx, x?[0,2π ]的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 探究:如何利用 y=cosx,x?[0,2π ]的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=2-cosx, x?[0,2π ]的图象? 小结:先作 y=cosx 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象,再将 y=-cosx 的图象向 上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 4、周期函数定义:对于函数 f(x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有: f(x+T)=f(x)那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 说明:y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2(一般称为周期) ;从图象上可以看出 y=sinx,x?R; y=cosx,x? R 的最小正周期为 2π ; 要点:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期
T? 2? |? |

例题讲解:求该函数的周期:y=sin(2x+π /4)+2cos(3x-π /6) 。 解:y1=sin(2x+π /4)最小正周期 T1=?,y2=2cos(3x-π /6) 最小正周期 T2=2π /3。 ∴T 为 T1,T2 的最小公倍数? ∴T=?(2π ) 。 例题讲解:求该函数的周期并作图:y=|sinx|。 解:T=?,作图:

练习:求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x

② y ? sin 2 x ③

1 ? y ? 2sin( x ? ) 2 6 , x?R。

5、周期函数的奇偶性:从图象上可看出函数 y=cosx 是偶函数,函数 y=sinx 是奇函数。 6、周期函数的单调性:

? ? 正弦函数在每一个闭区间[- 2 +2kπ , 2 +2kπ ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1; ? 3? 在每一个闭区间[ 2 +2kπ , 2 +2kπ ] (k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1。
余弦函数在每一个闭区间[ (2k-1)π ,2kπ ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ , (2k+1)π ] (k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1。 7、周期函数的有关对称轴:y=sinx 的对称轴为 x= 练习:①写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴;
y ? sin( x ? k? ?

?
2 k∈Z;y=cosx 的对称轴为 x= k? k∈Z。

?



4 的一条对称轴是 (

)

) 。 A、 x轴

B、 y轴

C、 直线

x?

?
4

D、 直线

x??

?
4

例题讲解:判断下列函数的奇偶性:①

f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 2 1 ? sin x ? cos x ;② f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x ); 。

例题讲解:函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是( ) ;对称中心是( 例题讲解:不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ①
sin( ?

) 。

?
18

) ? sin( ?

?

10 ;②

)

cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4 。

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 3 的单调递增区间; 例题讲解:求函数

思考:你能求

y ? sin(

?
3

?

1 x) 2

x ? [?2? ,2? ]

的单调递增区间吗?

二、正切余切曲线: 1、正切函数的图象,称“正切曲线” 。

余切函数的图象,称“余切曲线” 。

通过把正切函数图像向左平移 π /2,然后把 x 和-x 互换就可以得到余切函数的图像,也就是说

cotx=tan(-x+π /2) ,性质和正切函数的性质基本一样。 2、正切函数的性质

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ?; (1)定义域: ?
(2)值域:R。观察:当 x 从小于
k? ?

?
2

?k ? z ?



x? ?? k? ?

? ??? 。 2 时, tan x ??

?

当 x 从大于 2

? k? ?k ? z ?



x? ??

?
2

? k?

?? ?? 。 时, tan x ?

(3)周期性:最小正周期 T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan (- x) = - tanx 知,正切函数是奇函数;
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 2 2 ? ? (5)单调性:在开区间 内,函数单调递增。在整个定义域上不具有单调性。

(6)正切曲线是由被相互平行的直线 。
? 13? tan? ? 例题讲解:比较 ? 4

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

所隔开的无穷多支曲线组成的。对称中心为

? ? 17? ? tan? ? ?与 ? 5

? ? ? 的大小

王新敞
奎屯

新疆

2? ? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ?? ? ? tan? ? tan? ? 0? ? , y ? tan x在? 0, ? ? ? ? t an ? ? ? tan 5 , 4 5 ? 4 ? ? 2 ? 内单调递增, 4, ? 5 ? 解:

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?。

?? ?? ? ? y ? 3tan ? x ? ? y ? tan ? 3x ? ? 5? ; 6? 。 ? ? 例题讲解:求下列函数的周期: (2)
3、余切函数的性质 (1)定义域: ;

(2)值域:R。当 x→2k π 时,y→∞;当 x→( 2k+1 ) π 时,y→-∞; (3)周期性:最小正周期 T ? ? ; (4)奇偶性:由 cot (- x) = - cotx 知,余切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间 内,函数单调递减。在整个定义域上不具有单调性。

(6)余切曲线是由相互平行的 x=k π ( k ∈Z)直线隔开的无穷多支曲线所组成的。图像关于原点 对称,实际上所有的零点都是它的对称中心。中心对称为 。

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质检测题 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1.下列说法只不正确的是 ( ) 。 A、正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; B、余弦函数当且仅当 x=2kπ ( k∈Z) 时,取得最大值 1; C、余弦函数在[2kπ ,2kπ +π ]( k∈Z)上都是减函数; D、余弦函数在[2kπ -π ,2kπ ]( k∈Z)上都是减函数 2、y=sin(xπ )的单调增区间是( 3 (k∈Z) ) 。 π 5π ,2kπ + 6 6

π 5π A、[kπ - ,kπ + ] 6 6 7π π C、[kπ , kπ ] 6 6 3、函数 y=sinx

B、[2kπ -

](k∈Z)

(k∈Z)

D、[2kπ -

7π π ,2kπ ] (k∈Z) 6 6

π 2π ( ≤x≤ ) 的值域是( 6 3 B、[ 1 ,1] 2 C、[ 1 3 , 2 2

) 。 3 ,1] 2

A、[-1,1]

]

D、[

4、对于函数 y=sin(π -x) ,下面说法中正确的是( ) 。 A、函数是周期为 π 的奇函数 B、函数是周期为 π 的偶函数 C、函数是周期为 2π 的奇函数 D、函数是周期为 2π 的偶函数 5、已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是( ) 。 A、a<b<c B、c<b<a C、b<c<a D、b<a<c ? 6、下列函数中,最小正周期为 的是( ) 。 2 x A、 y ? sin x B、y=4cosx C、 y ? tan D、 y ? cos 4 x 2 二、填空题(6、9 题各 6 分,7 题每空 2 分,8 题每空 4 分,共 28 分) 7、函数 y= 1 的定义域____________。 sinx

π 8、函数 y=cos(2x+ ),当 x=______时,ymin=_______;当 x=_____时,ymax=_____________。 3 π x 9、函数 y=2tan( - )的定义域是_____________,周期是_____________。 3 2 10、y=sin(3x-π /2)的周期是__________________。 三、解答题(每题 12 分,共 36 分) 11、用“五点法”画出函数 y= sinx+2, x∈[0,2π ]的简图。 12、求函数 y=cos2x-4cosx+3 的最值。 13、求函数y=sin( 1 π x+ ),x∈[-2π ,2π ]的单调区间。 2 3

三、指数函数:形如 y=kax 的函数,k 为常系数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。 指数函数按恒定速率翻倍, 可以用来表达形象与刻画发展型的体系, 比如金价 2001 年以来的牛市轨迹 基本就是指数方程曲线。 特例:应用到值 x 上的这个函数可写为 exp(x) 。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数, 就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还叫做欧拉数。 即函数: 定义于所有的 a>0,和所有的实数 x。它叫做底数为 a 的指数函数。注意这个 先前确立的定义于所有实数上的函数 的存在。 注意上述等式对于 a=e 成立, 因为 的定义依赖于

指数函数可“在加法和乘法之间转换”,在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:

它们对所有正实数 a 与 b 和所有实数 x 与 y 都是有效的。

1、定义:指数函数的一般形式为 y=a^x(a>0 且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种。它是定义 在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。 指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x) 。还可以等价的写为 e, 这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。 指数函数对于 x 的负数值非常平坦,对于 x 的正数值迅速攀升,在 x 等于 0 的时候等于 1。在 x 处的切线的斜率等于此处 y 的值乘上 lna。即由导数知识:d(a^x)/dx=a^x*ln(a) 。 x 作为实数变量 x 的函数,y=e 的图像总是正的(在 x 轴之上)并递增(从左向右看) 。它永不触 及 x 轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以 x 轴是这个图像的水平渐近线) 。它的反函数是自然对 数 ln(x) ,它定义在所有正数 x 上。 有时, 尤其是在科学中, 术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的函数, 这里的 a 叫做“底数”, 是不等于 1 的任何正实数。一般又为底数为欧拉数 e 的指数函数。 2、指数函数图像的性质: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,指代一切实数(-∞,+∞) ,这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1,对于 a 不大于 0 的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考 虑,同时 a 等于 0 函数无意义一般也不考虑。

(2)指数函数的值域为大于 0 的实数集合。R 值域: (0,+∞)对于一切指数函数 y=a^x 来讲。 他的 a 满足 a>0 且 a≠1,即说明:①y≠0②y>0。所以值域为(0,+∞) 。 (3)函数图形都是下凸的。 (4)a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中(当然不能等于 0) ,函数 的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,并且永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点,若 y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) 。 (8)显然指数函数无界。 (9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 (10)当两个指数函数中的 a 互为倒数时,两个函数关于 y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶 性。 (11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。 3、指数函数底数的平移: 对于任何一个有意义的指数函数: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会 向右平移。 在 f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。 即“上加下 减,左加右减”。 4、底数与指数函数图像:

(1)由指数函数 y=a^x 与直线 x=1 相交于点(1,a)可知:在 y 轴右侧,图像从下到上相应的底 数由小变大。 (2)由指数函数 y=a^x 与直线 x=-1 相交于点(-1,1/a)可知:在 y 轴左侧,图像从下到上相应 的底数由大变小。 (3) 指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为: 在 y 轴右边“底大图高”; 在 y 轴左边“底 大图低”。 4、幂的大小比较: 比较大小常用方法: (1)比差(商)法; (2)函数单调性法; (3)中间值法:要比较 A 与 B 的大 小,先找一个中间值 C,再比较 A 与 C、B 与 C 的大小,由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小。 比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。 例如:y1=3^4,y2=3^5,因为 3 大于 1 所以函数单调递增(即 x 的值越大,对应的 y 值越大) ,因为 5 大于 4,所以 y2 大于 y1。 (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减;3 大于 1,所以函数 图像在定义域上单调递增,在 x=0 是两个函数图像都过(0,1)然后随着 x 的增大,y1 图像下降,而 y2 上升,在 x 等于 4 时,y2 大于 y1。 (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如: ①对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与 0、1 的大小)进 行分组,再比较各组数的大小即可。 ②在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小) ,就可

以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异 小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向(例如:a〉1 且 x〉0,或 0〈a〈1 且 x〈0) 时,a^x 大于 1,异向时 a^x 小于 1。 例题讲解:下列函数在 R 上是增函数还是减函数?说明理由。 ①y=4^x。 因为 4>1,所以 y=4^x 在 R 上是增函数。 ②y=(1/4)^x。 因为 0<1/4<1,所以 y=(1/4)^x 在 R 上是减函数。 5、分式化简的方法与技巧: (1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分。 (2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母。 (3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破。 (4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化。 6、指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系: (1)曲线沿 x 轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞,+∞) 。 (2)曲线在 x 轴上方,而且向左或向右随着 x 值的减小或增大无限靠近 X 轴(x 轴是曲线的渐近 线) 〈=〉函数的值域为(0,+∞) 。 (3)曲线过定点(0,1) 〈=〉x=0 时,函数值 y=a0(零次方)=1(a>0 且 a≠1) 。 (4)a>1 时,曲线由左向右逐渐上升即 a>1 时,函数在(-∞,+∞)上是增函数;0<a<1 是,曲 线逐渐下降即 0<a<1 时,函数在(-∞,+∞)上是减函数。 四、幂函数:是形如 f(x)=xa 的函数,a 可以是自然数,有理数,也可以是任意实数或复数。

下图是幂函数自上至下:x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8。

注意到上图中 a 值有分数的情形,这个就是分形数学的源头。分数维意味着两个量 x,y 之间存在 着幂函数关系,即 y=axb。而这里的 b 可以不是正整数。 五、对数函数曲线:从纯数学的观点来看,恒等式 , 在两种意义上

是基本的。首先,其他算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的 加法群之间的同构。对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。 1、对数函数:一般地,如果 a(a 大于 0,且 a 不等于 1)的 b 次幂等于 N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,读作以 a 为底 N 的对数,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。一般地,函数 y=log(a)X, (其中 a 是常数,a>0 且 a 不等于 1)叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数, 可表示为 x=a^y。因此指数函数里对于 a 的规定,同样适用于对数函数。

2、对数的公理化定义:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要 保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于 0 且不为 1。 一般地,如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次幂等于 N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 log (a) (N)=b,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。底数则要>0 且≠1,真数>0。 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当 a〉0,a≠1 时,a^b=N→b=logaN。由这个关 系,可以得到关于对数的如下结论:负数和零没有对数;loga1=0;logaa=1(a 为常数) 。 思考:对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1?答:在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是 会有相应 b 的值的。 但是, 根据对数定义: logaa=1; 如果 a=1 或=0 那么 logaa 就可以等于一切实数 (比 如 log11 也可以等于 2,3,4,5,等等) ;另外,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果 a<0, 那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等 于 4,另一个等于-4) 。 对数函数的常用简略表达方式: ①log(a) (b)=log(a) (b) ; ②lg 常用对数,以 10 为底:lg(b)=log(10) (b) ; ③ln 自然对数,以 e(无限不循环小数,约为 2.718281828454590)为底:ln(b)=log(e) (b) 。 3、对数的运算性质:当 a>0 且 a≠1 时,M>0,N>0,那么: (1)log(a) (MN)=log(a) (M)+log(a) (N) ; (2)log(a) (M/N)=log(a) (M)-log(a) (N) ; (3)log(a) (M^n)=nlog(a) (M) , (n∈R) ; (4)log(a^k) (M^n)=(n/k)log(a) (M) , (n∈R) ; (5)换底公式:log(a) (N)=log(b) (N)/log(b) (a)= lnN/lna=lgN/lga, (b>0 且 b≠1) ; (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) , 证明: 设 a=n^x 则 a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b) (n^x) =n^(log(b)a) ;

(7)对数恒等式:a^log(a)N=N,log(a)a^b=b; (8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式) : ①log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M; ②log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M; ③log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M; ④log(以 n 次根号下的 a 为底) (以 n 次根号下的 M 为真数)=log(a)M; log(以 n 次根号下的 a 为底) (以 m 次根号下的 M 为真数)=(m/n)log(a)M。 ⑤log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 对数与指数之间的关系:当 a>0 且 a≠1 时,a^x=N,x=㏒(a)N。log(a^k) (M^n)=(n/k)log (a) (M) , (n∈R) 。 4、对数函数图像的性质:

可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形,因为它们互为反 函数。 (1) 对数函数的定义域为大于 0 的实数集合,值域为全部实数集合(显然对数函数无界) 。 (2)函数图像总是通过(1,0)点。 (3)a>1 时,为单调增函数,并且上凸;0<a<1 时,函数为单调减函数,并且下凹。 (4)为非奇非偶函数,不是周期函数,无对称性,无最值。负数和 0 没有对数。 (5)两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。也就是说:若 y=logab(其中 a>0,a≠1,b>0) : ①当 0<a<1, 0<b<1 时,y=logab>0; ②当 a>1, b>1 时,y=logaab>0; ③当 0<a<1, b>1 时,y=logab<0; ④当 a>1, 0<b<1 时,y=logab<0。


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