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湖南省宁远县第一中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学(理)试题


宁远一中 2015 年下期高二第一次质量检测试题 数学试题(理科)
命题:欧阳兴武 满分 150 分 考生须知:
1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

审题:谢明春 时间 120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.命题: “能被 4 整除的数一定是偶数” ,其等价命题( A.偶数一定能被 4 整除 B.不是偶数不一定能被 4 整除 C.不能被 4 整除的数不一定是偶数 D.不是偶数一定不能被 4 整除
2 2.设条件 p: a?0;条件 q ,那么 p 是 q 的( :a ? a ? 0



)条件

A. 充分非必要

B.必要非充分

C.充要

D.既不充分也不必要 )

3.等差数列 ?a n ? 中,若 S10 ? 120,则 a2 ?a 9 ?( A.12 B.24 C.16 D.48

4. 数列 ?a n ? 的通项公式是 a n?

1

n ? 1 ?n

, 若前 n 项和为 10, 则项数 n 为 ? n ? N?
*

( ) A.11

B.99

C.120

D.121

5.等比数列 ?a n ? 的各项均为正数,且 a , a ? a a 18 5 6 4 7? 则 log ( a ? log a ? ? ? log a ? 3 1 3 2 3 10 A.12 B. 10 C. 28 ) D. 2?log 35
2 , 4 , 6

1 4 6.设 x,y 为正数,若 x?y ?1,则 0 ? 最小值为( ) x y 0 A.6 B.9 C.12 D.15 3 8 2 kx ?kx ? ?0对一切实数 x 恒成立,则 k 的范围是( 7.一元二次不等式 2 8 0 A.(-3,0] B.(-3,0) C. (?? D. ?0,??? ,? 3 ] 4 ABC 8.若 ? 满足 a ,则 ? 为 ( )三角形 ABC cos A ? b cos B
2 9



A.等腰

B.等边

C.等腰直角

D.等腰或直角 )

2 2 2 9. 在 ? 中, sin ,则 A 的范围是( A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ABC

A. ( 0 ,

? ] 6

B. [

? ,? ) 6
2

C. ( 0 ,

? ] 3

D. [

? ,? ) 3

2 A.10.设 P , Q 分别为圆 x 和椭圆 ? ?? ? y ? 6 2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P , Q 两点间的 10
C. 7 ? 2 D. 6 2

最大距离是(

)5 2

B. 46 ? 2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2 11.命题“ ? ”的否定是 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

12.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6 则 P 到另一个焦点 49 36

的距离为

? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 , 则 z? 的最大值为 2 x ? 4 y ? x ? 1. ?
2 2 x y ? ?的右焦点 F ?3,0? , 14. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 过 F 点的直线交 E 于 A , B 1 a? b? 0 a b

两点,若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 15.已知椭圆 C:
2 2 x y ? ?, F1 , F2 为其左、右焦点, M 为椭圆上的一 ? ? 1 a? b? 0 2 2 a b

点, ? F 1F 2M的重心为 G ,内心为 I ,且直线 IG 平行 x 轴,则椭圆的离心率为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16. (12 分)已知命题 p : ? , x ? R , cos 2 x ? sin x ? a ? 0
2 x ? R , ax ? 2 x ? a ? 0 命题 q : ? ,命题 p∨q 为真,命题 p∧q 为假. 0 0 0

求实数 a 的取值范围.

17、 (12 分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
6 ,求椭圆的标准方程; 3 (2)已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点 P ?, 1? 、P ? 3 ,? 2 1 ?6, 2? 求椭圆的标准方程.

(1)已知椭圆过 ?3 , 0 ? ,离心率 e ?

18. (12 分) ? 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a 。 ABC ? b cos C ? c sin B (1)求 B . (2)若 b ? 2 ,求 ? 面积的最大值. ABC

19. (13 分) 围建一个面积为 360 要求矩形场地的一面利用旧墙 (长 m2 的矩形场地, 度 30 米,利用的旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要 留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示,已知旧 墙的维修费用为 45 元/ m ,新墙的造价为 180 元 / m ,设利用的旧墙的长度为 x (单位: m), 修建此 矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元) (1)将 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 x

2 a 3 20. (13 分)已知数列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 , a ,数列 ?b n ? 中, b1 ? 1 且点 n ? 1? n? ?bn?1,bn ?在直线 y ?x?1上.
(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?b n ? 的通项公式;

(3)若 c ,求数列 ?bn c n ?的前 n 项和 S n 。 a 3 n? n?

21、 (13 分)已知椭圆 C :

2 2 x y ? ?的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与 ? ? 1 a? b? 0 2 2 a b

长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x ? ? 3上任意一点,过 F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P , Q . ①证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; ②当

TF PQ

最小时,求点 T 的坐标.

宁远一中 2015 年下期高二第一次质量检测试题 数学试题(理科)参考答案
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 D

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

xR ? , x ? x ? 10 ? 11、 ?
2

12.

813、 14

14.

x2 y2 ? ?1 18 9

15.

1 2

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本题满分 12 分) 【解析】由命题 p 得 a≥-cos2x-sinx=2sin x-sinx-1=2(sinx因为 sinx∈[-1,1],
2 2

1 2 9 )- , 4 8

所以当 sinx=-1 时,(2sin x-sinx-1)max=2,所以命题 p:a≥2,
2

由命题 q 得:当 a≤0 时显然成立;当 a>0 时,需满足Δ=4-4a >0, 解得 0<a<1,所以命题 q:a<1, 因为命题 p∨q 为真,命题 p∧q 为假,所以命题 p 和 q 一真一假, 若命题 p 真 q 假,则 a≥2;若命题 p 假 q 真,则 a<1, 综上,实数 a 的取值范围是(-≦,1)∪[2,+≦).

17. (本题满分 12 分)解 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,∵a=3, b2=a2-c2=9-6=3, ∴椭圆的标准方程为

6 c = ,∴c=6,从而 3 a

x2 y2 ? ?1 9 3 c 6 6 2 2 当椭圆的焦点在 y 轴上时,∵b=3, ? ,∴ (a ? b ) / a ? ∴a2=27. a 3 3 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ? ?1 9 27 x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为. ? ?1 ? ?1 9 3 9 27
(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程, 则 36m+n=1, ① 9m+4n=1, ② ①②两式联立,解得 m ?

1 1 x2 y2 , n ? ∴所求椭圆方程为 ? =1. 45 5 45 5

18.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB, 所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC≠0, 所以 tanB=1,解得

B?

?
4

(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos

?
4

,即 4=a2+c2- 2 ac,由不等式得 a2+c2≥2ac,当且仅当 a=c 时,

取等号,所以 4≥(2- 2 )ac,解得 ac≤4+2 2 所以△ABC 的面积

为.

1 ? 2 ac sin ? (4 ? 2 2 ) ? 2 ? 1 所以△ABC 面积的最大值为 2 +1. 2 4 4

19.(本小题满分 13 分): (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 360 2 , 所以 y=225x+ ? 360(0 ? x ? 30) x x
360 2 ? 2 225 ? 360 2 ? 10800 x 225 x ? 360 2 x ,即 x=24 时等号成立.

(II)? x ? 0,? 225 x ?

? y ? 225 x ?

360 2 ? 360 ? 10440 . 当且仅当 x

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 20.解: (1)由 an+1=2an+3 得 an+1+3=2(an+3),所以{an+3}是首项为 a1+3=4,公比为 2 的等比数列. 所以 an+3=4×2 =2 ,故 an=2 -3. (2)因为(bn+1,bn)在直线 y=x-1 上,所以 bn=bn+1-1 即 bn+1-bn=1,又 b1=1, 故数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 bn=n. (3)cn=an+3=2 -3+3=2 ,故 bncn=n·2 . 所以 Sn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2
3 4 n+1 2 3 4 n+1 n+1 n+1 n+1 n-1 n+1 n+1

故 2Sn=1×2 +2×2 +…+(n-1)×2 +n×2 相减得-Sn=2 +2 +2 +…+2 -n×2
2 3 4 n+1 n+2

n+2

n 4 2 ? 1 ? ? n2 ? n2 ? ? ?? n2 ?? 1n 2 ? 4 ? ? 21 ? ,

所以 Sn=(n-1)2 +4.

n+2

21、 (13 分)

解、 (1)依条件

?c ? 2 2 ? ? ?a ? 6 a ? 3 b ? ? ? 2 ?b ? 2 ?a2 ?b2 ? c2 ? 4 ? ?
2 2



x y ? ?1 2 所以椭圆 C 的标准方程为 6 (x (x 3 ,m ), P(x 1, y 1) , Q 2, y 2) ,又设 P Q 中点为 N 0, y 0), (2)设 T(? (? 2 ,0 ),所以直线 P Q 的方程为: x? m y? 2 ①因为 F ,
? ?? ? 16m2 ? 8(m2 ? 3) ? 24(m2 ? 1) ? 0 ? 4m ? ? y1 ? y2 ? 2 x ? m y ? 2 ? m ?3 ? ?2 2 2 2 ? ( m ? 3 ) y ? 4 m y ? 2 ? 0 ? x y ?2 ? 1 y1 y2 ? 2 ? ? ? ? 6 2 m ?3 ? ,? ? , y1 ? y2 2m ?6 于是, y0 ? ? 2 , x0 ? my0 ? 2 ? 2 2 m ?3 m ?3 ? 6 2 m m N ( 2 , 2 ) kOT ?? ?kON m ?3 m ?3 .因为 3 所以 , 所以 O , N , T 三点共线,
即 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) .
2 2 4 ( m ? 1 ) 2 2 | P Q || ?? y y | m ? 1 ? m ? 1 2 1 2 2 F |? m? 1 m ? 3 ② |T , ,
2 2 |T F | m ? 1 m ? 3 ? ? 2 2 |P Q | 2 4 ( m ? 1 ) 2 2 4 ( m ? 1 ) m ? 1 2 2 1?x( x ? 1 ) m ? 3 所以 ,令 m ? , 2 |T F | x? 2 1 2 3 ? ? ( x ?) ? | P Q | x 3(当且仅当 x2 ? 2 时取“ ? ” 26 x 26 则 ) ,

|TF | 2 3 ,? 1 ). 所以当 | P Q | 最小时, x ? 2 即 m ? 1或 ? 1 ,此时点 T 的坐标为 (?3,1) 或 (?



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