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2.3(全)离散型随机变量的均值与方差2


离散型随机变量的均值与方差(一)

一.随机变量的分布列.
设离散型随机变量? 可能取的值为 x1 , x2 ,

, xi ,

,

为随机变量? 的概率分布列,简称为? 的分布列.

? 取每一个值 xi (i ? 1, 2, ) 的概率 P(? ? xi ) ?

pi 则称表 xi ? x1 x2 pi P p1 p2

对于离散型随机变量,确定了它的分布列, 就掌握了随机变量取值的统计规律. 在实际应用中,我们还常常希望直接通过数字来 反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期 望与方差.

思考一: 某射手射击所得环数 4 5 6

?

? 的分布列如下:
7 8 9 10

P

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数. 分析:平均环数=总环数?100

由概率可知, 在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P(? ? i ) ? 100 . 所以,总环数约等于 (4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100.
故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.

一般地: 对任一射手,若已知他的所得环数 ? 的分布列,即已 知 P (? ? i )(i ? 0,1,2,

,10), 则可以预计他任意n次射击的

平均环数是 0 ? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? ? 10 ? P(? ? 10) 记为 E? 我们称

E? 为此射手射击所得环数的期望,它刻划了所

得环数随机变量

?

所取的平均值。

思考二: 关于平均的意义, 1.某商场要将单价分别这18元,24元,36元每 公斤的3种糖果按需分3:2:1的比例混合销售, 对混合糖果怎样定价才合理? 2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解 释权数的实际含义吗? 由于平均在每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分 别是第一种1/2kg, 第二种1/3kg,第三种1/6kg, 每公斤这种糖果的价格为: 18 ? 1 ? 24 ? 1 ? 36 ? 1 ? 23
2 3 6

思考二: 关于平均的意义, 1.某商场要将单价分别这18元,24元,36元每 公斤的3种糖果按需分3:2:1的比例混合销售, 对混合糖果怎样定价才合理? 2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解 释权数的实际含义吗? 在混合糖果中任取一颗糖果, 这颗糖果为

第一种糖果的概率为1/2, 第二种糖果的概率为1/3,
第三种糖果的概率为1/6,
1 1 1 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23 每公斤这种糖果的价格为: 2 3 6

数学期望的定义:

x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 E? ? x p ? x p ? ? x p ? ? x p 1 1 2 2 i i n n 为? 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随
?
机变量取值的平均水平.

一般地,随机变量 ? 的概率分布列为

根据定义可推出下面两个结论:

结论1: 若? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b ;
结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np.

结论1: 若? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b
所以, 的分布列为

P(? ? axi ? b) ? P(? ? xi ), i ? 1, 2, 3

? ax1 ? b p1 P

?

ax2 ? b

p2

axi ? b

pi

axn ? b

pn

E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? (axn ? b) pn ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ? pn ) ? aE? ? b 即 E (a? ? b) ? aE? ? b

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)

=np(p+q)n-1=np 期望在生活中的应用广泛,见课本第63~64页例2.例3

练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ P (1)则Eξ= 1 0.5 2.4 3 0.3 . 5.8 5 0.2

(2)若η=2ξ+1,则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是

.

ξ P

4 0.3

7 a
0.1 b=

9 b

10 0.2
0.4.

Eξ=7.5,则a=

练习二

1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从
中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .

2.(1)若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= -4.5 .
(2)E(ξ-Eξ)= 0 .

3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次 的得分ξ的期望为 . 0.7 (详细解答过程见课本例1) 这是一个特殊的二项分布(两点分布)的随机变量 的期望,那么一般地 ,若ξ~B(1,p),则Eξ=? P

例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择 题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题 选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生 甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对 每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和 学生乙在这次测验中的成绩的均值.

思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分 吗?他的均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成 绩大约是90分

例题3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上 有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇 到小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3 种方案: 方案1.运走设备,搬运费为3800元; 方案2.建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 防小洪水

方案3.不采取措施,希望洪水不发生.
试比较哪一种方案好?并说明理由.

思考1.某商场的促销决策:

统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益?万元,则?的分布列

? 10 -4 所以E?=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4 P 0.6 0.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.

思考2. 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8 元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢.这场 赌博对你是否有利?

1 1 1 1 E? ? ? 8 ? ? ? ?3? ? ? 0 ? ? . 6 2 3 6
随着赌博场次增加,设赌者盈利.

学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b;

(2)若ξ~B(n,p),则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

作业:课本 P64 至 P65 练习 2,3,4,5 课本 P69 习题 A 2。3

课外思考:
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元

你动心了吗?

离散型随机变量的方差
前面,我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为

ξ P

x1 p1

x2 … xk … xn p2 … pk … pn

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xk pk ? … ? xn pn 为 ξ 的数 学期望,简称期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征 数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的 平均数、均值.但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画.

问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下:
?1 8 9 10 ?2 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 显然两名选 ∵ E?? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 手的水平是不同

E?2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 的,这里要进一步 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. (你赞成吗?为什么?)

对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 或标准差来刻画的.
一组数据的方差: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x



1 2 2 S ? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? n
2

? ( xn ? x ) ]
2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..

方差定义

离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量?的概率分布列为:

?

x1

P

p1
2

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn
? ( xn ? E? )2 pn

2 D ? ? ( x ? E ? ) p1 ? 则称 1 n

? ?? ? D ? ? ( xi ? E? ) pi 为随机变量?的方差. 称
i ?1

? ( xi ? E? )2 pi ?

为随机变量?的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。
2 ? 记忆方法: “三个的” 即E ? (? ? ?? ) ? ? ? D?

练习一下

练习1.已知随机变量?的分布列 0 1 2 3 4 ? P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D?和σ?. 解:E? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

D? ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? (2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? (3 ? 2)2 ? 0.2 ? (4 ? 2)2 ? 0.1 ? 1.2

?? ? D? ? 1.2 ? 1.095
2.若随机变量?满足P(?=c)=1,其中c为常 数,求E?和D?. E?=c×1=c D?=(c-c)2×1=0

根据期望的定义可推出下面两个重要结论: 结论1: 若? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b ;

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np. 那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论 : (1) 若? ? a? ? b, 则 D? ? ?

(2)若ξ~B(n,p),则 Dξ= ?

可以证明,对于方差有下面两个重要性质:

⑴ D(a? ? b) ? a D? ⑵ 若? ~ B( n, p),则 D? ? npq
2

(其中q ? 1 ? p)
特别的是X服从两点分布,则DX=pq

练习:

D
?1 P0.3 2 0.7

99

50 100

25

5

10

3、有一批数量很大的商品,其中次品占1%,现 从中任意地连续取出200件商品,设其次品数为 X,求EX和DX。 2,1.98
4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数 X的均值,方差和标准差. 3.5, 2.92, 1.71

刚才问题再思考 : 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下:

?1 8 P

9

10

?2 8

9

10

0.2 0.6 0.2 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 解:∵ E?? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 如果对手在 E?2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 8环左右,派甲. ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 又∵ D?? ? 0.4, D? 2 ? 0.8, 环左右,派乙.
∴甲射击水平更稳定.
再看一例 例2

例题1:甲乙两人每天产量相同,它们的 次品个数分别为???,其分布列为 ? P 判断甲乙两人生产水平的高低? 期望值高,平均值大,水平高 0 0.1 1 0.5 2 0.4

方差值小,稳定性高,水平高
? P 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2

E?=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 E?=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3

D?=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2 -1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21
D?=0.41

结论:甲乙两人次品个数的平均值相等, 但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高。

例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X1/元

获得相应职位的 概率P1
乙单位不同职位月 工资X2/元

0.4 1000

0.3 1400

0.2

0.1

1800 2200

获得相应职位的 概率P2

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? , DX2 ? 112000 , EX 2 ? 1400 DX1 ? 40000 解:EX 1 ? 1400
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.

选做作业: 思维挑战:

3.若随机变量?服从二项分布,且E?=6,

D ?=4,则此二项分布 是 。 设二项分布为? ~B(n,p) ,则

E?=np=6

D?=np(1-p)=4
作业:课本 69 页 A 组第 1,4 题

n=18 p=1/3
B 组 1,2


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