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广西陆川县2017届高三数学6月押轴试题文


广西陆川县 2017 年春季期高三 6 月押轴密卷 文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 0}, B ? {x ? 5 ? x ? 5} ,则( )

A . A? B ? ?
2.已知复数 z 满足

B . A? B ? R

C. B? A
)

D. A? B

z ? 2 ? i ,则复数 z 的共轭复数为( 1? i
C . ?3 ? i

A .3?i

B .3?i

D . ?3 ? i

3.命题“ ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 ”的否定是( )

A.?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 C.?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1

B.?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 D.?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1

4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( )
1
1 1

16 A. ? 3

19 B. ? 3

19 C. ? 12

4 D. ? 3

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an2 ? bn(a, b ? R) 且 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( )

A. 13

B. 35

C. 49

D. 63

6.执行如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值 相等,则这样的 x 值的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3
?

D. 4

7.已知非零向量 a 、 b 满足 a ?

? ?

2 2 ? b ,且 3

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (3a ? 2 b) ,则 a 、 b 的夹角 ( )
A. ? B.

? 2
?x
3

C.

3? 4

D.

? 4
, 要得到函数 f ( x) 的图像,

8 .已知函数 f ( x) ? 2cos( 可将函数 y ? 2cos

() ? ( 3 f ) 且 f1 ? ? ) 的一个对称中心是 (2,0) ,

?x
3

的图像( )

1 2 1 C. 向右平移 个单位长度 2

A. 向左平移 个单位长度

? 个单位长度 6 ? D. 向右平移 个单位长度 6

B. 向左平移

1

9.若双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 2 至多有一个交点, 则双曲线的离 a2

心率的取值范围是( )

A.[ 2, ??)

B.[2, ??)

C.(1, 2]

D.(1, 2]
1 4

10.已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? log 2 an , n ? N ? ,其中 ?bn ? 是等差数列,且 a9 ? a2008 ? , ,则

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2016 ? ( )

A. ? 2016

B.2016

C.log 2 2016

D.1008
)

11.若实数 x, y 满足 0 ? x ? y ,且 x ? y ? 1 ,则下列四个数中最大的是(

A.

1 2

B. x 2 ? y 2

C. 2 xy

D. x

12.已知函数 f ( x) ? (2 ? x)e x ? ax ? a ,若不等式 f ( x) ? 0 恰有两个正整数解,则 a 的取值范围是 ( )

1 A.[ ? e3 , 0) 4

1 B.[? e, 0) 2

1 e C .[ ? e3 , ) 4 2

1 D.[ ? e3 , 2) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 13.如果实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 1, ?





14.在区间 ? ?1,5? 上任取一个实数 b , 则曲线 f ( x) ? x 2 ? 2 x 2 ? 6 x 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角为 钝角的概率为 ▲ 。

15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺。斩本一尺,重四斤。斩末一 尺,重二斤。问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长 5 尺,一头粗,一头细。在粗 的一端截下 1 尺,重 4 斤;在细的一端截下 1 尺,重 2 斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金 杖由细到粗是均匀变化的,其重量为 M。现将该金杖截成长度相等的 10 段,记 i 段的重量为

ai (i ? 1, 2,? ,10),且a1 ? a2 ? ? ,a10 ,若 48ai ? 5M 则 i ?





AB 上,点 F 在棱 C1D1 上,且平面 16. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 3 ,点 E 在棱

B1CF / /平面A1DE 。若 AE ? 1 ,则三棱锥 B1 ? CC1F 外接球的表面积为
_____.





三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2

17.已知锐角 ..?ABC 中内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c ,满足

a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,且 sin 2 C ? 2 3 sin A sin B .
(1)求角 C 的值; (2)设函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
6

) ? cos ?x (? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距

离为 ? ,求 f ( A) 的取值范围.

18.某种产品按质量标准分成五个等级, 等级编号依次为 1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽取 20 件, 对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 2 0.2 3 0.45 4 5

a

b

c

(1)若所抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 3 件,等级编号为 5 的恰有 2 件, 求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级编号为 4 的 3 件产品记为 x1,x2,x3,等级编号为 5 的 2 件产品记为 y1,

y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有
可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120? .点 E 是棱 PC 的 中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求三棱锥 P ? AEF 的体积;
P F D A E C B

20.已知点 P( ? 1 ,

x2 y2 3 )是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点,F1、F2 分别是椭圆 E 的左、 2 a b

右焦点,O 是坐标原点,PF1⊥x 轴.
3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知圆 O: x ? y ? r (0 ? r ? b) ,直线l 与圆 O 相切,与椭圆相交于 A、B 两点,
2 2 2

若 OA ? OB ? 0 ,求圆 O 的方程;

21.已知函数 f ( x) ?

x ?1 ex

(1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若函数 y ? g ( x ) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2, f ( x) ? g ( x) ; (3)若 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证 x1 ? x2 ? 4 。

22.设曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? t
2 ?y ? t

( t 为参数), 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐 标系,曲线 C 2:? sin(? ? (1)求曲线 C1 的极坐标方程;

?
3

) ?1

(2)若曲线 C1 与曲线 C 2 相交于 A、B,求弦 AB 的长;

23.选修 4-5:不等式选讲 (1)设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a | ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值 范围; (2)已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3 z ? 1 ,求

3 2 1 ? ? 的最小值. x y z

数学参考答案(文科) 一.选择题(共 1 2 小题,每小题 5 分,计 60 分.) 1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 A

4

17.(Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C 所以 cos C ?
2

c2 4ab

............. .......2 分
2

又因为 sin C ? 2 3 sin A sin B ,则由正弦 定理得: c ? 2 3ab ,.........4 分

c2 2 3ab 3 ? 所以 cos C ? ,所以 C ? .............6 分 ? ? 4ab 4ab 2 6
(Ⅱ) f ( x) ? sin(?x ? 由已知

?
6

) ? cos ?x ? 3 sin(?x ?

?
3

)

2?

?
?
6

? ? , ? ? 2 ,则 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?
,B ?

?
3

) .............9 分

因为 C ?

5? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? . 6 3 2 2 2 4? 3 ,所以 ? ? f ( A) ? 0 3 2
......12 分

所以 ? ? 2 A ?

?
3

?

18.解:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35. 3 因为抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15. 20 2 等级编号为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1, 20 从而 a=0.35-b-c=0.1. 所以 a=0. 1,b=0.15,c=0.1. (2)从产品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为: (x1,x2)(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,

y2),共 10 种.
设事件 A 表示“从 5 件产品中任取两件, 其等级编号相同”, 则 A 包含的基本事件为: (x1, x2), (x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共 4 种, 4 故所 求的概率为 P(A)= =0.4. 10

5

19.(1)∵底面 ABCD 是菱形,∴ AB / / CD ,又∵ AB ? 面 PCD , CD ? 面 PCD , ∴ AB / / 面 PCD ,又∵ A , B , E , F 四点共面,且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF , ∴ AB / / EF ; (2) V P ? AEF ? V E ? PAF ? 20.解:(1) (1)
2

1 1 1 1 1 3 1 VC ? PAF ? VC ? PAD ? VP ? ADC ? ? ? ?4? 3 ? 2 4 4 4 3 4 4

x2 y2 ? ?1 4 3
2 2

(2)设圆 O : x ? y ? r ;由 OA ? OB ? 0 可设 A( ?1 cos ? , ?1 sin ? ) , 则 B (? ? 2 sin ? , ? 2 cos ? )

? 1 cos 2 ? sin 2 ? ? ? 2 ? 4 3 1 1 1 1 7 ? ?1 ? ? ? 由条件得: ? ,? 2 ? 2 2 2 4 3 12 ? ? 1 sin ? cos ? 1 2 ? ? ? 2 ?? 4 3 ? 2
由 r ? | AB |?

?1 ? 2 ,得: r 2 ?
12 7

?1 2 ? 2 2 12 ? 2 2 7 ?1 ? ? 2

所求圆 O: O : x 2 ? y 2 ?

21.(1)由 f ?( x) ?

2? x ?0? x?2 ex

? f ( x) 在 (??,2) 单调递增,在 (2,??) 单调递减 ;
f ( x) max ? f (2) ? e ?2 ,无极小值;
(2) g ( x) ?

3? x x ?1 1 记 h( x) ? x ? 4 ( x ? 2)e x 4? x e e e

h ?( x) ? ( x ? 2)(e x ? 4 ?
? h ?( x) ? h ?(2) ? 0
即命题成立;

1 ) ,知 h ?( x) 在 (2,??) 单调递增, ex
h( x) 在 (2,??) 单调递增,? h( x) ? h(2) ? 0

(3)证:由(2)知当 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 , x2 不可能在同一单调区间, 不妨设 x1 ? 2 ? x2 ,由(2)知 f ( x2 ) ? g ( x2 ) 又 g ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (4 ? x2 )

? x2 ? 2 ? 4 ? x2 ? 2 且在 (??, 2) 为增函数
6

? x1 ? 4 ? x2 即 x1 ? x2 ? 4
22.解:(1) C1 : y ? x
2

(2) C 2 : y ? 3 x ? 2 ? 0

2 ? ?y ? x 由? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ? y ? 3x ? 2 ? 0

?| AB |? 1 ? 3 ? 3 ? 8 ? 2 11
23.(1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a |?| x ? 2 ? x ? a |?| a ? 2 | ∵原命题等价于 f ( x) min ? 3 , | a ? 2 |? 3 ,? a ? ?5或a ? 1 . (2)由于 x, y, z ? 0 ,所以 5分

3 2 1 3 2 1 ? ? ? ( x ? 2 y ? 3 z )( ? ? ) x y z x y z

?( x

3 2 1 2 ? 2y ? 3z ) ? ( 3 ? 2 ? 3) 2 ? 16 ? 8 3 x y z

当且仅当

x 2 y 3z ? ? ,即 x : y : z ? 3 : 3 :1 时,等号成立. 3 2 1 x y z

10 分



3 2 1 ? ? 的最小值为 16 ? 8 3 . x y z

7


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