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2015-2016学年高中数学必修4分层演练:1章末知识整合(含答案)


若角θ的终边与函数 y=-2|x|的图象重合, 求θ的各三 角函数值.
? ?-2x,x≥0, 分析:由于 y=-2|x|=? ?2x,x<0 ?

的图象为三、四象限

中的两条射线,故可根据三角函数的定义来求解. 解析:∵角θ的终边与函数 y=-2|x|的图象重合, ∴θ是第三或第四象限的角. 若θ为第三象限的角, 取终边上一

点 P(-1, -2), r=|OP|= 5,

从而 sin θ= =-

y r

2 5 x 5 y ,cos θ= =- ,tan θ= =2. 5 r 5 x

若θ在第四象限,可取点 P(1,-2),易得: sin θ=- 2 5 5 ,cos θ= ,tan θ=-2. 5 5

◎规律总结: 三角函数的基本概念是本单元内容的基本部分, 是 研究三角公式、 三角函数图象及性质的出发点, 尽管大纲对本部分内 容难度的要求有所降低, 但同学们仍然要注意考试中对基本概念、 基 本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查,解题的 关键是对有关概念的正确理解和灵活应用.

变式训练
2 ? ?sin πx ,-1<x<0, 1.函数 f(x)=? x-1 ?e ,x≥0, ?

若 f(1)+f(a)=2,

则 a 的所有可能值为( A. 1 B.- 2 2

) C.1,- 2 2 D.1, 2 2

解析: 此题可运用代入排除法. ∵f(1)+f(a)=2, f(1)=e0=1, ∴f(a)=1,选项中提供的 a 的可能值有三个,分别为 1, 2 2 ,- , 2 2
? 2? ? ? ? 2 ?

因此把这三个数代入 f(x)中, 值为 1 的即为所求. f(1)=e0=1, f? ? =e 2 -1, 2

f? ?-
?

?

?π? 2? ? ? ?=1. = sin 2 ? ?2? ?

∴a 的所有可能值为 1,- 答案:C

2 . 2

2.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线 3x+4y=0 上,则 tan α=________.

3 解析:角α的终边在第二象限或第四象限,tan α=- . 4 答案:- 3 4

? π? 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|< ? 2? ?

的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和 最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2). (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)将 f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标 3 不变),然后再将所得的图象向 x 轴正方向平移 π 个单位,得到函数 3

g(x)的图象, 写出函数 g(x)的解析式, 并用五点作图的方法画出 g(x)
在长度为一个周期的闭区间上的图象.

分析:由题目可以获取以下主要信息:①要求的函数的形式是

f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|< ?;②图象与 y 轴交点
?

?

π? 2?

是 (0,1) .③相邻的一个最大值点和最小值点分别是 (x0,2) 和 (x0+ 3 π,-2),其中 x0>0. 解答本题可先由已知求出 A、ω、φ,然后再根据图象变换得到 函数 y=g(x). 解析: (1)由 f(x)=Asin(ωx+φ)在 y 轴上的臷距为 1, 最大值 1 π 为 2,得 1=2sin φ,所以 sin φ= ,φ= . 2 6 又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为 (x0,2)和(x0+3π, -2). 2π 1 所以 T=2[(x0+3π)-x0]=6π,所以ω= = . T 3
?x π? 所以,函数的解析式为 f(x)=2sin? + ?. ?3 6 ? ? π? (2)压缩后函数的解析式为 y=2sin?x+ ?, 6? ?

再平移得 g(x)=2sin?x-
?

?

? π π? π? + ?=2sin?x- ?. 3 6? 6? ?

列表、作图.

x- x

π 6

0 π 6 0

π 2 2π 3 2

π 7π 6 0

3π 2



5π 13π 3 6 -2 0

g(x)

◎规律总结: 三角函数图象是本章的重点内容, 它是研究三角函 数性质的根据, 重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之 间的内在联系. 主要解决两个方面的问题: 一是根据图象写函数解析 式,关键要把握图象与函数性质的关系,从而确定出相关的数值.对 于 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式求解问题:ymax=M,

ymin=m,则 A=

M- m
2

,b=

M+ m
2

.由 T=



ω

求得ω的值;φ的值采取代

入特殊点(顶点或平衡点)坐标法求得. 二是关于三角函数图象的平移 和伸缩, 此类问题关键要搞清在 x 轴方向的左右平移或伸缩是对解析 中的字母 x 而变换. 变式训练 3.函数 y=2cos x,0≤x≤2π的图象和直线 y=2 围成的封闭图 形的面积是( A. 4 C.2π ) B.8 D.4π

解析:如图,由函数 y=cos x 的图象的对称性,知:所求封闭 图形的面积即为图中矩形 OABC 的面积,即 S=2π×2=4π.

答案:D

4.要得到函数 y=cos?2x-
?

?

π? ?的图象,只要将函数 y=sin 2x 4?

的图象(

) π 个单位 8 π 个单位 4 B.向右平移 D.向右平移 π 个单位 8

A.向左平移 C.向左平移

π 个单位 4

? ? π? π? 解 析 : y = sin 2x = cos ?2x- ? = cos 2 ?x- ? , 而 y = 2? 4? ? ?

cos?2x-
?

?

? ? π? π? π? π ?=cos 2?x- ?=cos 2?x+ ?- .故选 A. 4? 8? 8? 2 ? ?

答案:A

π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|< 的 2
? ? 3 图象在 y 轴上的截距为 1,在相邻两最值点(x0,2)和?x0+ ,-2?(x0 2 ? ?

>0)上,f(x)分别取得最大值和最小值. (1)求 f(x)的解析式.
?21 23? (2)在区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?请说明理由. 4? ?4

3? T ? 3 2π 解析:(1)∵A=2, =?x0+ ?-x0= ,∴T=3,即 =3,ω 2? 2 ? 2 |ω | >0,∴ω= 2π . 3

?2π ? x+φ?.把点(0,1)代入,得 2sin φ=1.而 这时 f(x)=2sin? ? 3 ?

|φ|<

?2π π? π π x+ ?. ,∴φ= ,∴f(x)=2sin? 6? 2 6 ? 3

?21 23? ? ?2π π? 2π π ?11π ,4π?, x+ ?∈ (2)∵x∈? , ?, ∴ x + ∈? sin? 4? 6? 3 6 ? 3 ?4 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?- 2 ,0?, ? ? ?2π ?21 23? π? x+ ?≠±1, 故 sin? 即在区间? , ?上不存在 f(x)的对称 6? 4? ? 3 ?4

轴. ◎规律总结: 三角函数的图象和性质密不可分, 在解决三角函数 的综合问题时, 应借助于图象特征, 充分利用三角函数的有关性质进 行求解.如单调区间、最值、周期性、对称性等问题.

变式训练
? 3 π? 5.求函数 y=sin?- x+ ?的单调递增区间. 4? ? 2

解析:方法一

3 π 令 t=- x+ ,则 y=sin t,因为 t 是 x 的一 2 4

次递减函数,故应取 y=sin t 的减区间才符合要求.由已知得 2kπ π 3π + ≤t≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 即 2kπ+ ∴- π 3x π 3π ≤- + ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 4 2

4k 5 4k 1 π- π≤x≤- π- π,k∈Z. 3 6 3 6

? 3 π? ∴y=sin?- x+ ?的单调递增区间是 4? ? 2 ? 4k 5 4k 1 ? ?- π- π,- π- π?,k∈Z. 6 3 6 ? ? 3

方法二

y=-sin? x- ?,令 u=sin? x- ?,则 y=-u,故
?2 ?2

?3

π? 4?

?3

π? 4?

?3 π? π 3 π 应取 u=sin? x- ?的减区间才符合要求, 故有 2kπ+ ≤ x- ≤ 4? 2 2 4 ?2

2kπ+ ∴

3π ,k∈Z. 2

4kπ π 4kπ 7π + ≤x≤ + ,k∈Z, 3 2 3 6

?3 π? ∴y=-sin? x- ?的单调递增区间是 4? ?2 ?4kπ π 4kπ 7π? ? ?,k∈Z. + , + 2 3 6 ? ? 3

注:两种形式,结果一致.

?3π ? ,0?对 6. 已知函数 f(x)=cos ωx(ω>0), 其图象关于点 M? ? 4 ?

称,且在区间?0,
?

?

π? ?上是单调函数,求ω. 2?

?3π ? ,0?对称. 解析:∵f(x)关于? ? 4 ? ?3π ? ?3π ? +x?=-f? -x?, ∴f? ? 4 ? ? 4 ? ?3π ? ?3π ? +x?+f? -x?=0, 即 f? ? 4 ? ? 4 ? ?3π? 3ωπ 3ω π ?=0.∴cos 令 x=0 得 f? =0. π=kπ+ ,k∈Z. 4 4 2 ? 4 ?

2 ∴ω= (2k+1),k=0,1,2,… 3
? π? 2 2 当 k=0 时,ω= ,f(x)=cos x 在?0, ?上是单调减函数. 2? 3 3 ? ? π? 当 k=1 时,ω=2,f(x)=cos 2x 在?0, ?上是单调减函数. 2? ?

当 k≥2 时,ω≥

? π? 10 ,f(x)在?0, ?上不再是单调函数. 2? 3 ?

2 ∴ω= 或ω=2. 3

一、数形结合的思想和方法
? π? 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|< ? 2? ?

在一个周期内的简图如右图所示,则函数的解析式为________, 方程 f(x)-lg x=0 的实根个数为______.

解析:根据图中的特殊点,可确定 f(x)解析式中的特定系数 A、

ω、 φ.研究方程 f(x)-lg x=0 的实数根即是研究函数 y=f(x)与 y
=lg x 图象的交点个数. 显然 A=2. 由图象过(0,1)点则 f(0)=1, 1 π π 即 sin φ= ,又|φ|< ,则φ= . 2 2 6
?11π ? ?11π? ?=0,即 ,0?是图象上的点,则 f? 又? ? 12 ? ? 12 ? ?11π ?11π ? π? ω+ ?=0,由图象可知,? ,0?是图象在 y 轴右侧 sin? 6? ? 12 ? 12 ?

部分与 x 轴的第二个交点. ∴ 11π π ω+ =2π. 12 6

? π? ∴ω=2,因此所求函数的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? ? π? 如图,在同一坐标系中作函数 f(x)=2sin?2x+ ?和函数 y=lg 6? ?

x 的示意图.

因为 f(x)的最大值为 2,令 lg x=2,得 x=100,令 <100(k∈Z),得 k≤30(k∈Z),而

11 π+kπ 12

11 π+31π>100,所以在区间 12

?11 ? 17 (0,100]内有 31 个形如? π+kπ, π+kπ?(k∈Z,0≤k≤30)的 12 ?12 ?

区间,在每个区间上 y=f(x)与 y=lg x 的图象都有 2 个交点,故这
?11π ? ,100? 上 有 2 × 31 = 62 个 交 点 , 另 外 在 两个函数图象在? ? 12 ? ? 11 ? ?0, π?上还有 1 个交点, 所以方程 f(x)-lg x=0 共有实根 63 个. 12 ? ?

答案:f(x)=2sin?2x+
?

?

π? ? 6?

63 个

◎规律总结: 自觉应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的 重要思想方法. 本章中的数形结合通常有两种形式: 一是利用单位圆 解决角的范围或三角不等式问题; 二是利用三角函数图象求方程解的 个数问题,或已知方程解的个数,求方程中的字母参数的范围问题.

变式训练 7.已知函数 y=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y

=k 有且仅有四个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

解析:y=sin x+2|sin x|
?3sin x,x∈[0,π], ? =? ? ?-sin x,x∈[π,2π].

观察图象可知,0<k<1,所以 k 的取值范围是(0,1).

二、分类讨论的思想 已知- 1 2 π π ≤β< , 3sin2α-2sin2β=2sin α, 试求 sin2 6 4

β- sin α的最小值.
分析:本题注意隐含条件对结果的制约作用. 解析:∵- π π ≤β< , 6 4

1 2 1 ∴- ≤sin β< ,0≤sin2β< , 2 2 2 ∴0≤2sin2β<1. ∵2sin2β=3sin2α-2sin α,

∴0≤3sin2α-2sin α<1,
2 ? ?3sin α-2sin 即? 2 ?3sin α-2sin ?

α≥0, α-1<0.

2 1 解得 ≤sin α<1 或- <sin α≤0. 3 3 1 ∴y=sin2β- sin α 2 1 1 = (3sin2α-2sin α)- sin α 2 2 1? 3 3? = ?sin α- ?2- . 2? 8 2?
?2 ? 当 sin α∈? ,1?时,y 是增函数. ?3 ?

2 1 ∴当 sin α= 时,ymin=- ; 3 3
? 1 ? 当 sin α∈?- ,0?时,y 是减函数, ? 3 ?

∴当 sin α=0 时,ymin=0. 1 1 综上,函数 y=sin2β- sin α的最小值为- . 2 3 ◎规律总结: 在三角运算中, 有关三角函数所在象限符号的选取、 三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题要注意分类 讨论. 变式训练 8.函数 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈ R). (1)求 g(a)的值.

1 (2)若 g(a)= ,求 a 的值及此时 f(x)的最大值. 2

解析:(1)由 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x =1-2a-2acos x-2(1-cos2x) =2cos2x-2acos x-(2a+1) =2(cos x- ) - -2a-1. 2 2 ①若-1≤ ≤1,则当 cos x= 时,f(x)min=- -2a-1; 2 2 2 ②若 >1,则当 cos x=1 时,f(x)min=1-4a; 2 ③若 <-1,则当 cos x=-1 时,f(x)min=1, 2 1,a<-2, ? ? a 因此 g(a)=?- -2a-1,-2≤a≤2, 2 ? ?1-4a,a>2.
2

a

2

a2

a

a

a2

a a

1 (2)∵g(a)= . 2 1 1 a2 ∴若 a>2,则有 1-4a= ? a= ,矛盾;若-2≤a≤2,则有- 2 8 2 1 -2a-1= ? a=-1 或 a=-3(舍). 2
? 1? 1 1 ∴当 g(a)= 时, a=-1, 此时 f(x)=2?cos x+ ?+ , 故当 cos 2? 2 2 ?

x=1 时,f(x)max=5.

三、函数与方程的思想
? π π? 是否存在α∈?- , ?,β∈(0,π),使等式 sin(3π 2? ? 2 ?π ? - α ) = 2cos ? -β? , 3cos( - α ) =- 2cos( π+ β ) 同时成 ?2 ?

立?若存在,求出α、β的值;若不存在,则请说明理由. 分析:本题属探索性问题,应将α、β满足的关系当作条件,从 而去求α、β;因条件式较繁琐,故先化简,再求出α与β的一个三 角函数值和其范围,进而求角.
? ?sin α= 2sin β, 解析: 由条件得? ? ? 3cos α= 2cos β.

① ②

①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2, 1 ∴sin2α= . 2 又∵α∈?- ∴α= 将α=
?

π π? , ?, 2? ? 2

π π 或α=- . 4 4 π 代入②, 4 3 ,又β∈(0,π), 2

得 cos β= ∴β=

π ,代入①可知符合. 6 π 代入②, 4

将α=-

得 cos β= ∴β=

3 ,又β∈(0,π), 2

π ,代入①可知不符合. 6 π π ,β= 满足条件. 4 6

综上可知,存在α=

◎规律总结:函数、方程、不等式三者密不可分.在三角中,已 知条件等式,求一个三角函数值的问题,常采用方程的思想,把某一 三角函数看做未知数,解三角方程.在求角的问题时要注意两点:一 是求一个三角函数值,二是求该角的范围.

变式训练
? ? π? π? 9.设有函数 f(x)=asin?kx+ ?和 g(x)=btan?kx- ?(a>0, 3? 3? ? ?

b>0,k>0).若它们的最小周期之和为 π,且 f? ?=g? ?,f? ?
?2? ?2? ?4? ?π? =- 3g? ?+1.求两函数解析式. ?4?

3 2

?π?

?π?

?π?

分析: 欲求两个函数解析式, 只需利用两个函数的周期和两个函 数对应两个值的关系,用特定系数法求解. 解析:由题意
?



k



π 3π = ,得 k=2. k 2
? ? ?

π π π π a sin?2× + ?=btan?2× - ?, ? ? ? 2 3? 2 3? ? 由? ? ? π π? π π? ? ? ? 2 × + 2 × - ?+1, a sin =- 3 b tan ? ? ? 4 3? 4 3? ?

? ?a=2b, 解得? ? ?a=-2b+2,

1 得 a=1,b= . 2

? ? π? π? 1 因此 f(x)=sin?2x+ ?,g(x)= tan?2x- ?. 3? 3? 2 ? ?

四、转化与化归的思想 求函数 f(x)= sin xcos x 的最大值和最小值. 1+sin x+cos x

解析:设 sin x+cos x=t,则 sin xcos x=

t2-1
2

,t∈[- 2,

t2-1 ?(t+1)??t-1? 2]且 t≠-1, 则 f(x)= = = 2?(1+t)? 2?(1+t)? t- 1
2 ,t∈[- 2, 2]. π 2- 1 (k∈Z)时,f(x)的最大值为 . 4 2

解得 x=2kπ+

3 2+ 1 当 x=2kπ- π(k∈Z)时,f(x)的最小值为- . 4 2 ◎规律总结:在三角函数式中,若同时含有 sin α±cos α与 sin αcos α, 可利用换元的思想, 将三角问题转化为代数问题来解 决. 变式训练
? ?a,a≤b, 10.定义运算 a ? b=? ? ?b,a>b, ? π? 5 令 f(x)=(cos2x+sin x)? ,且 x∈?0, ?,求函数 2? 4 ?

f?x- ?的最
?

?

π? 2?

大值.

解析:设 y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1=
? 1? 5 -?sin x- ?2+ , 2? 4 ?

∵x∈?0,
?

?

π? 5 ?,∴0≤sin x≤1,∴1≤y≤ ,即 1≤cos2x+sin x 2? 4

5 ≤ . 4
? π? 根据新定义的运算,可知 f(x)=cos2x+sin x,x∈?0, ?, 2? ?

∴f ?x-
?

?

? π? π 1? 5 ?=-?sin?(x- )?- ?2+ = 2? 2 2? 4 ?

? ?π ? 1? 5 -?cos x+ ?2+ ,x∈? ,π?, 2? 4 ? ?2 ?

∴函数 f ?x-
?

?

π? 5 ?的最大值为 . 2? 4


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