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(新课程)高中数学《2-1-2-2 椭圆方程及性质的应用》评估训练 新人教A版选修1-1


高中新课程数学(新课标人教 A 版)选修 1-1《2-1-2-2 椭圆方程及 性质的应用》评估训练
双基达标 (限时 20 分钟) 1.(2011·厦门高二检测)椭圆 + =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的 12 3 中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是( A.± 3 4 B.± 3 2 ). C.± 2 2 3 D.± 4

/>
x2

y2

解析 由条件可得 F1(-3,0),PF1 的中点在 y 轴上, 3 3 ∴P 坐标(3,y0),又 P 在 + =1 的椭圆上得 y0=± ,∴M 的坐标(0,± ),故选 A. 12 3 2 4 答案 A 2.如图所示,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率为 ( ).

x2

y2

1 A. 5 C. 5 5

B. D.

2 5 2 5 5

解析 由条件知,F1(-2,0),B(0,1),∴b=1,c=2, ∴a= 2 +1 = 5,∴e= = 答案 D 3.已知椭圆 + =1 的上焦点为 F,直线 x+y-1=0 和 x+y+1=0 与椭圆分别相交于点 3 4
2 2

c a

2 5



2 5 . 5

x2 y2

A,B 和 C,D,则 AF+BF+CF+DF=(
A.2 3 B.4 3

). C.4 D.8

解析 如图,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点, 连接 AF1、FD.由椭圆的对称性可知,四边形 AFDF1 (其中 F1 为椭圆的下焦点)为平行四边形, ∴AF1=FD,同理 BF1=CF,

1

∴AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8. 答案 D 4.直线 y=x+2 与椭圆 + =1 有两个公共点,则 m 的取值范围是________. m 3

x2 y2

?y=x+2, ? 解析 由?x2 y2 消去 y, ? m + 3 =1 ?
整理,得(3+m)x +4mx+m=0. 若直线与椭圆有两个公共点,
?3+m≠0, ?m≠-3, ? ? 则? 解得? 2 ? ? ?Δ =(4m) -4m(3+m)>0, ?m<0或m>1.
2

由 + =1 表示椭圆知,m>0 且 m≠3. m 3 综上可知,m 的取值范围是(1,3)∪(3,+∞). 答案 (1,3)∪(3,+∞) 1 2 2 5.椭圆 x +4y =16 被直线 y= x+1 截得的弦长为________. 2

x2 y2

?x +4y =16, ? 2 解析 由? 1 消去 y 并化简,得 x +2x-6=0. y= x+1, ? 2 ?
设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=-2,x1x2=-6. ∴弦长|MN|= (x1-x2) +(y1-y2) = = = 答案 1 1 2 2 (x1-x2) +( x1- x2) 2 2 5 2 [(x1+x2) -4x1x2] 4 5 (4+24)= 35. 4 35
2 2 2

2

2

x 4 2 2 6.已知直线 l:y=kx+1 与椭圆 +y =1 交于 M、N 两点,且|MN|= .求直线 l 的方程. 2 3
解 设直线 l 与椭圆的交点

M(x1,y1),N(x2,y2),

?y=kx+1, ? 2 2 由?x2 消 y 并化简,得(1+2k )x +4kx=0, 2 ? 2 +y =1, ?
2

4k ∴x1+x2=- 2,x1x2=0. 1+2k 4 2 32 2 2 由|MN|= ,得(x1-x2) +(y1-y2) = , 3 9 32 2 2 ∴(1+k )(x1-x2) = , 9 32 2 2 ∴(1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= . 9 4k ?2 32 2 ? 即(1+k )?- . 2? = 9 ? 1+2k ? 化简,得 k +k -2=0,∴k =1,∴k=±1. ∴所求直线 l 的方程是 y=x+1 或 y=-x+1. 综合提高 (限时 25 分钟) 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是
4 2 2

x2 y2 a b

6 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA,MB 分别交椭圆于 3 ).

A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1·k2 的值为(
1 A. 2 1 B.- 2 1 C. 3 1 D.- 3

解析 设点 M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1), 则 y =b -
2 2

b2x2 2 2 b2x2 1 2 ,y1=b - 2 , a a

y-y1 y+y1 y2-y2 b2 c2 1 所以 k1·k2= · = =- 2= 2-1= x-x1 x+x1 x2-x2 a a 1 e2-1=- ,即 k1·k2 的值为- .
答案 D → x2 2 8.已知椭圆 C: +y =1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若FA 2 → → =3FB,则|AF|=( A. 2 ). B.2 C. 3 D.3 1 3 1 3

解析 设点 A(2,n),B(x0,y0). 由椭圆 C: +y =1,知 a =2,b =1, 2 ∴c =1,即 c=1,∴右焦点 F(1,0). → → ∴由FA=3FB,得(1,n)=3(x0-1,y0).
2

x2

2

2

2

3

4 1 ∴1=3(x0-1)且 n=3y0.∴x0= ,y0= n. 3 3

x 1 4 2 1 2 2 将 x0,y0 代入 +y =1,得 ×( ) +( n) =1. 2 2 3 3
→ 2 2 2 解得 n =1,∴|AF|= (2-1) +n = 1+1= 2.所以选 A. 答案 A 9. (2011·北京东城检测)已知 F1、 2 为椭圆 + =1 的两个焦点, F1 的直线交椭圆于 A、 F 过 25 9

2

x2

y2

B 两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.
解析 由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由 a =5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案 8 10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直 线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点

x2 y2 a b

M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.
解析 直线 A1B2 的方程为

x
-a

+ =1,直线 B1F 的方程为 +

y b

x c

y
-b

=1,二者联立,得

T?

? 2ac ,b(a+c)?, a-c ? ?a-c ?
2 2

? ac ,b(a+c)?在椭圆x +y =1(a>b>0)上, 则 M? ? a2 b2 ?a-c 2(a-c)?
∴ (a+c) 2 2 2 2+ 2=1,c +10ac-3a =0,e +10e-3=0,解得 e=2 7-5. (a-c) 4(a-c)

c2

2

答案 2 7-5 11.已知过点 A(-1,1)的直线与椭圆 + =1 交于点 B、C,当直线 l 绕点 A(-1,1)旋转 8 4 时,求弦 BC 中点 M 的轨迹方程. 解 设直线 l 与椭圆的交点 B(x1,y1),C(x2,y2), 弦 BC 中点 M(x,y), 则 + =1, 8 4

x2 y2

x2 y2 1 1

① ②

x2 y2 2 2
8

+ =1. 4

②-①,得( - )+( - )=0. 8 8 4 4
4

x2 x2 2 1

y2 y2 2 1

∴(x2+x1)(x2-x1)+2(y2+y1)(y2-y1)=0. 当 x1≠x2 时,



x1+x2
2

=x,

y1+y2
2

=y,

y2-y1 y-1 = , x2-x1 x+1 y2-y1 =0. x2-x1

又∵③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)· ∴2x+2·2y·

y-1 2 2 =0,化简得 x +2y +x-2y=0. x+1

当 x1=x2 时,由点 M(x,y)是线段 BC 中点, ∴x=-1,y=0,显然适合上式. 总之,所求弦中点 M 的轨迹方程是 x +2y +x-2y=0. 12.(创新拓展)如图所示,点 A、B 分别是椭圆 + =1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右 36 20 焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值. 解 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).
2 2

x2

y2

? x + y =1, ? 由已知得?36 20 ?(x+6)(x-4)+y2=0. ?
3 2 则 2x +9x-18=0, 即得 x= 或 x=-6. 2 3 5 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 3. 2 2

2

2

?3 5 ? ∴点 P 的坐标是? , 3?. ?2 2 ?
(2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0), |m+6| 则 M 到直线 AP 的距离是 , 2 |m+6| 于是 =|m-6|,又-6≤m≤6,解得 m=2, 2 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d,有

5

d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2
4 9 2 = (x- ) +15, 9 2 9 由于-6≤x≤6.∴当 x= 时,d 取最小值 15. 2

5 9

6


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