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江苏省扬中市第二高级中学2014-2015第一学期高二数学周练习(十二)


扬中市第二高级中学高二数学周练习(十二)
1. 若函数 f ( x) ? 2x 2 ? 1 的图象上一点 (1, 1) 及邻近一点 (1+△x,1+△y) ,则
3 2 2.物体的运动方程是 s ? ? t ? 2t ? 5 ,则物体在 t=3 时的瞬时速度为

姓名

?y ==__________ ?x
<

br />1 3

3.已知函数 f(x)=f′( )sinx+cosx,则 f( )=________. 4.如果函数

π 2

π 4

f ( x) ? ax3 ? x2 ? x ? 5在(??, ??) 上单调递增,则 a 的取值范围为

5. y ?

x 的单调递减区间为 ln x

6.直线 y = kx 与曲线 y ? 2e x 相切,则实数 k = 7.设函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ?1) x 2 ? k 2 ? 1在区间 (0, 4) 上是减函数,则 k 的取值范围是 .

8.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. 9.已知函数 y ? f ( x) 及其导函数 y ? f ' ( x) 的图象所示, 则曲线 y ? f ( x) 在点 P 的切线方程是 .

10. 已知 f ( x), g ( x) 满足 f (5) ? 5, f ' (5) ? 3, g (5) ? 4, g ' (5) ? 1, 则函数 y ?

f ( x) ? 2 的图象在 x=5 处的切线方程为 g ( x)



11. 已知双曲线 E 的中心为原点, 若以右焦点为圆心, 3 为半径的圆与双曲线 E 渐进线相切, 且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,则该双曲线的渐进线方程为

x2 y 2 12.如图,已知椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b B 是它的下顶点, F 是其右焦点, BF 的延长 线 与椭圆及 其右准线分别交于 P 、 Q 两点,若 点 P 恰好是 BQ 的中点,
则此椭圆的离心率是
2 2

y P O B F

Q

x



13.设 F 是椭圆

第 12 题 x y ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2,3,…) , 7 6

使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为

1

14.如图,一个圆锥形容器的高为 a , 内装有一定量的水.如果将容器倒置,这 时所形成的圆锥的高恰为 则图 2-①中的水面高度为

a (如图 2-②) , 2
. 2-①

a

2-②

15.求下列直线的方程:
3 2 (1)曲线 y ? x ? x ? 1 在 P(-1,1)处的切线;

2 (2)曲线 y ? x 过点 P(3,5) 的切线。

16.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ?
3 2

2 时,都取得极值. 3

(1) 求 a , b 的值;(2)若 f ( ?1) ?

3 ,求 f ( x ) 的单调区间和极值; 2

2

17.如图:在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角 形,棱 EF∥BC 且 EF=

(Ⅰ)证明:FO∥平面 CDE, EO ? CD; (Ⅱ)设 BC= 3 CD,证明:EO⊥平面 CDF.

1 BC. 2

F

E

A

D

O B C

(第 17 题)

18.如图, E 、 F 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 的中点,沿 EF 将 ?AEF 折起到 ?A ' EF 的位置,连结 A ' B 、 A ' C , P 为 A ' C 的中点. (1)求证: EP // 平面 A ' FB ; A' (2)求证:平面 A ' EC ? 平面 A ' BC ; P (3)求证: AA ' ? 平面 A ' BC .
E A C

F

B

3

x2 y2 2 19.如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,点 A 是椭圆的左顶点,过点 2 a b A 斜率为 k 的直线与椭圆另交于点 Q ,交 y 轴于 R .(1)若椭圆的短轴长为 6,求点 A 到右
4 2 ,求椭圆的标准方程; 3 | AQ | ? | AR | (3)若过原点 O 斜率为 k 的直线交椭圆于 P ,求证: 是常数。 | OP |2
准线的距离; (2)若 k ? 1 , AQ ?

20.如图,在平面直 角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点 4 2

的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC, 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k .(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k =2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; y (3)对任意 k >0,求证:PA⊥PB.

P M A

O N

B

x

4

参考答案: π π π π π 1. 4 ? 2?x ;2.3;3.解析:f′(x)=f′( )cosx-sinx,∴f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 2 π π π π 即 f′( )=-1,∴f(x)=-sinx+cosx,f( )=cos -sin =0.答案:0; 2 4 4 4

1,e) 4. [ ,?? ) ;5. (0,1)和( ;6、2e;7. k ?
8.解析 ∵f(x)=x +3ax +3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x +6ax+3(a+2). 令 3x +6ax+3(a+2)=0,即 x +2ax+a+2=0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值, ∴方程 x +2ax+a+2=0 有两个不相等的实根. 即 Δ=4a -4a-8>0,∴a>2 或 a<-1. 答案 a>2 或 a<-1;
2 2 2 2 2 3 2

1 3

1 ; 3

9. x ? y ? 2 ? 0 ;10. y ? 14. (1 ?
3

1 1 5 3 3 x ? ; 11、 y ? ? 3x .12、 ;13.[ ? ,0) ? (0, ] ; 16 16 10 10 3

7 )a ; 2 15. (1) x ? y ? 2 ? 0 ; (2) 2 x ? y ? 1 ? 0,10x ? y ? 25 ? 0 .
2 2 2 b 16.解: (1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0.由题设,x=1,x=- 为 f ′(x)=0 的解.- a=1- , = 3 3 3 3 2 2 1 1 1×(- ).∴a=- ,b=-2.经检验得:这时 x ? 1 与 x ? ? 都是极值点. (2)f (x)=x3- 3 2 2 3 1 3 1 x2-2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1.∴f (x)=x3- x2-2 x+1. 2 2 2 2 2 x (-∞,- ) (- ,1) (1,+∞) 3 3 f ′(x) + - + 2 2 2 ∴ f (x)的递增区间为(-∞,- ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) .当 x=- 时,f 3 3 3 2 49 1 (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- . 3 27 2 17.设 CD 的中点为 G,连接 OG、EG, ………………1 分 显然 EF∥OG 且 EF=OG. ∴四边形 FOGE 是平行四边形, ………………2 分 FO ? ECD ∴FO∥EG,∵EG ? 平面 ECD, 面 . ………………4 分 ∴FO∥平面 CDE. ………………5 分 又 CD⊥OG,CD⊥EG, OG, EG ? 面 EOG, ………………7 分 ∴ CD ? 面 EOG, OE ? 面 EOG, ………………9 分

5

∴ EO ? CD. (Ⅱ)EF=OG=

………………10 分
F E

1 3 BC= CD, 2 2

而△CDE 是正三角形∴EG=

3 CD, 2

A

D

11 分
O G

∴平行四边形 FOGE 是菱形 B ∴EO⊥FG, ∵CD⊥EO,FG 与 CD 相交, CD, FG ? 面 CDF , ∴EO⊥平面 CDF. 18.略. 19、解: (1)由题意知: 2b ? 6 ,所以 b ? 3 因为 e ?

……… 12 分 ………………13 分
C

c 2 c2 1 a 2 ? b2 1 2 ,所以 ? ? 2 ? ? ? a 2 a 2 a2 2 2 2 a ?6 所以 a ? 3 2, c ? 3 ,右准线方程为 x ? c 所以点 A 到右准线的距离为 6 ? 3 2 ……………………………………………………4 分 a 2 ? b2 1 a2 2 ? b ? (2)由(1)知 ,所以 a2 2 2 过点 A 且斜率为 1 的直线 AQ 的方程为 y ? x ? a
x2 y2 ? 2 ? 1 即 x2 ? 2 y 2 ? a2 ,得 3x2 ? 4ax ? a 2 ? 0 2 a a 2 a ? a? 4 2 所以 x ? ?a 或 ? ,所以 AQ ? 2 ?a ? ? ? ? ? ?a?2 3 3 ? 3?
代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………10 分 所以椭圆的标准方程为 4 2 (3)由题意知:直线 AQ 的方程为 y ? k ? x ? a ?
2 2 2 2 2 2 2 2 代入椭圆方程 x ? 2 y ? a ,得 2k ? 1 x ? 4ak x ? 2k ? 1 a ? 0

所以 xA xQ

? 2k ?

2

? 1? a 2

?

?

2k 2 ? 1

,因为 xA ? ?a ,所以 xQ

? ? 2k ??

2

? ? 1? a

2k 2 ? 1
2

2 2 2 又因为直线 OP 的方程为 y ? kx ,代入椭圆方程 x ? 2 y ? a ,得 xP ?

a2 2k 2 ? 1

所以

AQ ? AR OP
2

?

1 ? k 2 xA ? xQ ? 1 ? k 2 xA ? xR

?

1 ? k xO ? xP
2

?

2

?

? 2 ,所以原命题得证 16 分

6

20. 【答案】解: (1)由题意知, a ? 2, b ?

2 ,故 M( ?2, 0 ), N( 0, ? 2 ) 。
2 )。 2

∴线段 MN 的中点的坐标为 (?1,?

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,

2 2 ? 2。 又直线 P A 过坐标原点,∴ k ? ?1 2 ?

x 2 4x 2 2 ? ? 1 ,解得 x ? ? , 3 4 2 4 0? 4? ?2 4? ? 2 ?2 ? 3 ?1。 ∴ P ? , ? , A ? ? , ? ? ,于是 C ? , 0 ? ,直线 AC 的斜率为 2 2 3? ?3 3? ? 3 ?3 ? ? 3 3 2 4 2 ? ? 2 3 3 3 2 2 ∴直线 AB 的方程为 x ? y ? ? 0 。∴ d ? 。 ? 3 3 2
(2) 直线 PA 的方程为 y ? 2 x , 代入椭圆方程得

2 x2 y2 ? ? 1, (3) 证明: 将直线 PA 的方程为 y ? kx 代入 解得 x ? ? 。 4 2 1 ? 2k 2 2 记? ? ,则 P ? ? , ?k ? , A ? ?? , ? ?k ? ,于是 C ? ? , 0? 。 1 ? 2k 2 0 ? ?k k k ? ,直线 AB 的方程为 y ? ( x ? ? ) , ∴直线 AB 的斜率为 2 ??? 2 代 入 椭 圆 方 程 得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0 , 解 得
x?

? (3k 2 ? 2)
2? k2


,或 x ? ? ? 。

B(

? (3k 2 ? 2)
2? k2

,

?k 3
2? k2

)









线

PB









k1 ?

? ?k 1 2? k2 ?? 。 2 k ? (3k ? 2) ?? 2 2?k ∴ k1 k ? ?1 ,所以 PA⊥PB。

?k 3

7


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