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山东省威海市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)


2015-2016 学年山东省威海市高二(下)期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.已知复数 z=1+i(i 为虚数单位) ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ﹣z 对应的点位于( D.第四象限 ) )

2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序

正确的是( A.①②③ A.0.1588 B.②①③ C.②③① B.0.1587 D.③②①

①y=sinx(x∈R )是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=sinx(x∈R )是周期函数. 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X<2)=( C.0.1586 D.0.1585 ) )

4.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为( A. B. C. D. )

5.以下四个命题正确的个数(

①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然 数 a,b,c 中至少有两个奇数或都是偶数”; ②在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称; ③在回归直线方程 =﹣0.3x+10 中,当变量 x 每增加一个单位时,变量 ,2)的切线方程为 2x﹣y﹣1=0. D.4 ) ) D.0 C.720 D.480 平均增加 0.3 个单位;

④抛物线 y=x2 过点( A.1 A.6 A.1200 男 爱好 不爱好 合计 40 20 60 B.2 B.4

C.3 C.2 B.960

6.曲线 y=sinx 与 x 轴在区间[﹣π,2π]上所围成阴影部分的面积为( 7.7 个人排成一列,其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是(

8.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 女 20 30 50 合计 60 50 110 ) .当 X2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;当 X2>6.635 时,有

根据上述数据能得出的结论是( (参考公式与数据:X2=

99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 X2<3.841 时认为事件 A 与 B 无关. ) A.有 99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”. 9.有能力互异的 3 人应聘同一公司,他们按照报名顺序依次接受面试,经理决定“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面 试的人比第一个能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”,记该公司录用到能力最强的人的概率为 p,录用到能力中等的人 的概率为 q,则(p,q)=( A. ( , ) B. ( , ) ) C. ( , ) D. ( , ) >1 恒

10.已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣x2,在(1,2)内任取两个实数 x1,x2(x1≠x2) ,若不等式 成立,则实数 a 的取值范围为( A. (28,+∞) ) C.[28,+∞) D. (15,+∞)

B.[15,+∞)

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.设复数 z 满足 z+|z|i=3+9i(i 为虚数单位) ,则 z= 12.函数 y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是 . . . .

13.已知(1+x+ax3) (x+

)5 展开式的各项系数和为 96,则该展开式的常数项是

14.如图所示三角形数阵中,aij 为第 i 行第 j 个数,若 amn=2017,则实数对(m,n)为

15.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 8 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知: ①食物投掷地点有远、近两处; ②由于“萌娃”Grace 年纪小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物; ③所有参与搜寻任务的“萌娃”须被均分成两组,一组去远处,一组去近处. 则不同的搜寻方案有 种.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知( ﹣ )n 的展开式中,第三项的系数为 144.

(Ⅰ)求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和; (Ⅱ)求该展开式的所有有理项. 17.某商场举行抽奖活动,规则如下:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完 全相同;每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,若摸出的白球个数不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)在一次游戏中,求获奖的概率; (Ⅱ)在三次游戏中,记获奖次数为随机变量 X,求 X 的分布列及期望. 18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 + +…+ =an﹣1(n∈N*) ,求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.

19.已知函数 f(x)=x3+ax2﹣a2x+3. (Ⅰ)若 a=2,求 f(x)在[﹣1,2]上的最值; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣ ,1)上是减函数,求 a 的取值范围. (an﹣an+1) ,a1=2,若 bn= .

20.已知数列{an}满足(an+1﹣1) (an﹣1)= (Ⅰ)证明:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)令 cn=

,{cn}的前 n 项和为 Tn,用数学归纳法证明 Tn≥

(n∈N*) .

21.已知函数 f(x)=(x﹣a)2lnx(a 为常数) . (Ⅰ)若 f(x)在(1,f(1) )处的切线与直线 2x+2y﹣3=0 垂直. (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)若 a 非正,比较 f(x)与 x(x﹣1)的大小; (Ⅱ)如果 0<a<1,判断 f(x)在(a,1)上是否有极值,若有极值是极大值还是极小值?若无极值,请说明理由.

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2015-2016 学年山东省威海市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.已知复数 z=1+i(i 为虚数单位) ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ﹣z 对应的点位于( D.第四象限 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接把复数 z=1+i 代入复数 则答案可求. 【解答】解:∵z=1+i, ∴ ﹣z= = ﹣z 在复平面内对应的点的坐标为: (﹣1, = ) ,位于第三象限.故选:C. ) . ﹣z,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数 ﹣z 在复平面内对应的点的坐标,

则复数

2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ①y=sinx(x∈R )是三角函数; ②三角函数是周期函数; ③y=sinx(x∈R )是周期函数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 【考点】演绎推理的基本方法.

【分析】根据三段论”的排列模式:“大前提”→“小前提”?“结论”,分析 ①y=sin x(x∈R )是三角函数; ②三角函数是周期函数;③y=sin x(x∈R )是周期函数后,即可得到正确的次序. 【解答】解:根据“三段论”:“大前提”→“小前提”?“结论”可知: ①y=sin x(x∈R )是三角函数是“小前提”; ②三角函数是周期函数是“大前提”; ③y=sin x(x∈R )是周期函数是“结论”; 故“三段论”模式排列顺序为②①③,故选 B 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X<2)=( A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,根据对称性,由 P(2≤X≤4)的概率可求出 P(X<2) . 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,P(2≤X≤4)=0.6826, ∴P(2≤X≤3)= P(2≤X≤4)=0.3413, )

∴P(X<2)=0.5﹣P(2≤X≤3)=0.5﹣0.3413=0.1587.故选:B.

4.把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为( A. B. C. D.



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】设 A 表示“第一次抛出的是奇数点”, B 表示“第二次抛出的是奇数点”, 求出 P(A) = = ,能求出在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率. 3 / 11 , P(AB)= , 由此利用 P(B|A)

【解答】解:设 A 表示“第一次抛出的是奇数点”, B 表示“第二次抛出的是奇数点”, P(A)= ,P(AB)= = ,

P(B|A)=

=

=



∴在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为 5.以下四个命题正确的个数( )

.故选:D.

①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然 数 a,b,c 中至少有两个奇数或都是偶数”; ②在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称; ③在回归直线方程 =﹣0.3x+10 中,当变量 x 每增加一个单位时,变量 ,2)的切线方程为 2x﹣y﹣1=0. 平均增加 0.3 个单位;

④抛物线 y=x2 过点( A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用反证法的反射,共轭复数在复平面的位置关系,回归直线方程两个变量的关系,抛物线过某点切线的求法,即可求答案. 【解答】解:对命题进行一一判断: ①用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个奇数”时正确的反设为“自然 数 a,b,c 中至少有两个奇数或都是偶数”,故①正确; ②在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,故②正确; ③在回归直线方程 =﹣0.3x+10 中,当变量 x 每增加一个单位时,变量 ,2)的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 或 4x﹣y﹣4=0. 平均减少 0.3 个单位,故③错误;

④抛物线 y=x2 过点(

取抛物线上一点(x0,y0) , ∵y′=2x,∴抛物线 y=x2 上一点(x0,y0)的切线方程为 y﹣ ∵切线过点( ∴ ,2) ,将点( ,2)代入切线方程, =2x0(x﹣x0) ,

﹣3x0+2=0,

∴x0=1 或 x0=2, 故抛物线 y=x2 过点( 故④错误. 综上,①②正确,故选:B. 6.曲线 y=sinx 与 x 轴在区间[﹣π,2π]上所围成阴影部分的面积为( A.6 B.4 C.2 D.0 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由正弦函数的对称性,结合积分的几何意义,即可求出曲线 y=sinx 与 x 轴在区间[﹣π,2π]上所围成阴影部分的面积. 【解答】解:由正弦函数的对称性,结合积分的几何意义得, S=3 sinxdx=3(﹣cosx) =﹣3(cosπ﹣cos0)=6. ) ) ,2)的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 或 4x﹣y﹣4=0.

即曲线 y=sinx 与 x 轴在区间[﹣π,2π]上所围成阴影部分的面积为 6.故选:A. 7.7 个人排成一列,其中甲、乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是( A.1200 B.960 C.720 D.480 【考点】计数原理的应用. 【分析】本题采用捆绑法和插空法进行排列,由分步计数原理可得结论. 【解答】解:将甲乙看作一个复合元素,和丙插入到剩下四人全排列所形成的 5 个空中的 2 个, 故有 A22A44A52=960,故选:B. 4 / 11

8.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 合 计 40 20 60 女 20 30 50 ) .当 X2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;当 X2>6.635 时,有 合 60 50 110 计

根据上述数据能得出的结论是( (参考公式与数据:X2=

99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 X2<3.841 时认为事件 A 与 B 无关. ) A.有 99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”. 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 根据条件中所给的观测值, 同题目中节选的观测值表进行检验, 得到观测值对应的结果, 得到结论有 99%以上的把握认为“爱 好该项运动与性别有关”. 【解答】解:由题意知本题所给的观测值,X2= ∵7.8>6.635, ∴这个结论有 0.010 的机会说错, 即有 99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关.故选:A. 9.有能力互异的 3 人应聘同一公司,他们按照报名顺序依次接受面试,经理决定“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面 试的人比第一个能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”,记该公司录用到能力最强的人的概率为 p,录用到能力中等的人 的概率为 q,则(p,q)=( A. ( , ) B. ( , ) , ) D. ( , ) ≈7.8

) C. (

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事 件个数,由此能求出结果. 【解答】解:设三人能力分别为强,中,弱,则三人参加面试的次序为: (强,中,弱) , (强,弱,中) , (中,强,弱) , (中,弱,强) , (弱,中,强) , (弱,强,中) , 即基本事件总数 n=6, 按“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面试的人比第一个能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”的规定, 该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有: (中,强,弱) , (中,弱,强) , (弱,强,中) ,共三种情况, ∴该公司录用到能力最强的人的概率 p= = .

该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有: (强,弱,中) , (弱,中,强) ,共二种情况, ∴该公司录用到能力中等的人的概率 q= .故选:D. >1 恒成

10.已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣x2,在(1,2)内任取两个实数 x1,x2(x1≠x2) ,若不等式 立,则实数 a 的取值范围为( A. (28,+∞) )

B.[15,+∞) C.[28,+∞) D. (15,+∞)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求得 x1+1 和 x2+1 在区间(2,3)内,将原不等式移项,可得 >0,

即有函数 y=f(x)﹣x 在(2,3)内递增.求得函数 y 的导数,可得 y′≥0 在(2,3)恒成立,即 a≥2x2+3x+1 在(2,3)内恒成 立,求出函数 y=2x2+3x+1 在[2,3]上的最大值即可. 【解答】解:因实数 x1,x2 在区间(1,2)内, 5 / 11

故 x1+1 和 x2+1 在区间(2,3)内. 不等式 >1 恒成立,即为 >0,

即有函数 y=f(x)﹣x 在(2,3)内递增. 函数 y=f(x)﹣x=aln(x+1)﹣x2﹣x 的导数为 y′= 即 a≥(2x+1) (x+1)在(2,3)内恒成立. 由于二次函数 y=2x2+3x+1 在[2,3]上是单调增函数, 故 x=3 时,y=2x2+3x+1 在[2,3]上取最大值为 28,即有 a≥28, 故答案为[28,+∞) .故选:C. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.设复数 z 满足 z+|z|i=3+9i(i 为虚数单位) ,则 z= 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】设复数 z=x+yi,x、y∈R,代入 z+|z|i=3+9i 中,利用复数相等列出方程组求出 x、y 的值. 【解答】解:设复数 z=x+yi,x、y∈R,代入 z+|z|i=3+9i,得:x+yi+ 由复数相等得 ,解得 x=3,y=4; i=3+9i, 3+4i . ﹣2x﹣1,即有 y′≥0 在(2,3)恒成立.

所以 z=3+4i.故答案为:3+4i. 12.函数 y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】令 y′<0,在定义域内解出即可. 【解答】解: 令 y′<0,解得 ∴函数 y=x2﹣4lnx . 的单调递减区间是 .故答案为 . 15 . (x>0) , (0, ) .

13.已知(1+x+ax3) (x+

)5 展开式的各项系数和为 96,则该展开式的常数项是

【考点】二项式定理的应用. 【分析】根据(1+x+ax3) (x+ 【解答】解:∵(1+x+ax3) (x+ ∴a=1, (x+ )5 的通项为 Tr+1= , )5 展开式的各项系数和为 96 求得 a=1,再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项. )5 的展开式中各项系数的和为(a+2)×25=96,

令 5﹣2r=0,无整数解;令 5﹣2r=﹣1,r=3;令 5﹣2r=﹣3,r=4; 故常数项为 =15.故答案为:15. (45,41) .

14.如图所示三角形数阵中,aij 为第 i 行第 j 个数,若 amn=2017,则实数对(m,n)为

【考点】归纳推理. 【分析】观察图象找出每行数字的规律,即可使用数列知识解出. 【解答】解:观察图象可发现以下规律: (1)第一行有 1 个数字,第二行有 2 个数字,第三行有 3 个数字,…故可归纳得出第 i 行有 i 个数字; (2)每一行的数字从左到右都是等差为 2 的等差数列; 6 / 11

(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大 1; (4)每一行的最后一个数字都是该行数的平方. ∵442=1936<2017,452=2025>2017,∴2017 是第 45 行的数字, 设第 45 行第 n 个数字为 an,则 a1=1937,d=2,∴an=1937+2(n﹣1)=2n+1935. 令 an=2n+1935=2017,解得 n=41. ∴2015 是第 45 行第 41 个数字,故答案为(45,41) . 15.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 8 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知: ①食物投掷地点有远、近两处; ②由于“萌娃”Grace 年纪小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物; ③所有参与搜寻任务的“萌娃”须被均分成两组,一组去远处,一组去近处. 则不同的搜寻方案有 175 种. 【考点】计数原理的应用. 【分析】分两类,第一类,Grace 参与该项任务,Grace 不参与该项任务,根据分类计数原理即可得到答案. 【解答】解:分两类,第一类,Grace 参与该项任务,从不包含 Grace 的 7 位“萌娃”选 3 位去近处,剩下的 4 位“萌娃”去远处, 故有 C73=35 种, 第二类,Grace 不参与该项任务,从不包含 Grace 的 7 位“萌娃”选 1 位在大本营陪同,剩下的 6 位“萌娃”,平均分配到两处,有 C63=20 种, 故有 7×20=140 种 根据分类计数原理,不同的搜寻安排方案共有 35+140=175.故答案为:175 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知( ﹣ )n 的展开式中,第三项的系数为 144.

(Ⅰ)求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和; (Ⅱ)求该展开式的所有有理项. 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (Ⅰ)依题意,利用二项式的通项公式可求得 n 的值; (Ⅱ)只需令 【解答】解: (Ⅰ) ( ∈Z,r=0,3,6,9,从而可求得展开式中的有理项. ﹣ )n 的展开式的通项为 Tr+1=Cnr(﹣2)r , (0≤r≤n,且 r∈N) .

由题意可知:第三项的系数为 Cn2(﹣2)2=144, 即 n(n﹣1)=72,解得 n=9. ∴该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为 28=256. (Ⅱ)∵( ﹣ )9 的展开式的通项为 Tr+1=C9r(﹣2)r ∈Z, , (0≤r≤9,且 r∈N) .

要求该展开式中的有理项,只需令 ∴r=0,3,6,9,

∴展开式中的有理项为:T1=C90(﹣2)0x3=x3;T4=C93(﹣2)3x﹣1=﹣672x﹣1; T7=C96(﹣2)6x﹣5=﹣5376x﹣5;T10=C99(﹣2)9x﹣9=﹣512x﹣9. 17.某商场举行抽奖活动,规则如下:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全 相同;每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,若摸出的白球个数不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)在一次游戏中,求获奖的概率; (Ⅱ)在三次游戏中,记获奖次数为随机变量 X,求 X 的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)设在一次游戏中获奖为事件 A,利用互斥事件概率计算公式能求出获奖的概率.

7 / 11

(Ⅱ)由题意可知:一次游戏中获奖的概率为 出 X 的分布列和 E(X) .

,三次游戏,相当于进行三次独立重复试验,X 可能取的值为 0,1,2,3,由此能求

【解答】解: (Ⅰ)设在一次游戏中获奖为事件 A, 则 P(A)= = .… ,

(Ⅱ)由题意可知:一次游戏中获奖的概率为

三次游戏,相当于进行三次独立重复试验,X 可能取的值为 0,1,2,3.… P(X=0)=(1﹣ P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=( X 的分布列为: X P … ∴E(X)= = .… 0 1 2 3 )3= .… )3= ,… = = ,… ,…

18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 + + …+ =an﹣1(n∈N*) ,求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)由等差数列的通项公式、前 n 项和公式,等比中项的性质列出方程组,求出 a1、d 的值,代入等差数列的通项公式即 可求出 an; (Ⅱ)由(Ⅰ)化简已知的式子,令 n 取 n﹣1 代入化简得到另外一个式子,两个式子相减后求出 bn,代入 nbn 化简,利用错位相减 法和等比数列前 n 项和公式求出 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)依题意得, …

解得

,… … ,

∴an=a1+(n﹣1)d=3+2(n﹣1)=2n+1 (Ⅱ)由(I)得,

当 n≥2 时,



两式相减得,

,则 bn=2?3n(n≥2)…

当 n=1 时满足上式, 所以 bn=2?3n(n∈N*) ,∴nbn=2n?3n(n∈N*) , Tn=2?31+4?32+6?33+…+2n?3n, ∴3Tn=2?32+4?33+6?34+…+2n?3n+1,… 8 / 11

两式相减得,﹣2Tn=2?31+2?32+2?33+…+2?3n﹣2n?3n+1 =2(31+32+33+…+3n)﹣2n?3n+1 = ∴ Tn = ﹣2n?3n+1=(1﹣2n)?3n+1﹣3,… .…

19.已知函数 f(x)=x3+ax2﹣a2x+3. (Ⅰ)若 a=2,求 f(x)在[﹣1,2]上的最值; (Ⅱ)若 f(x)在(﹣ ,1)上是减函数,求 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于函数的不等式,求出函数的单调区间,求出函数的最值即可; (Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,得到关于 a 的不等式,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x3+2x2﹣4x+3, ∴f′(x)=3x2+4x﹣4, 令 f′(x)=0,得 x=﹣2 或 x= ∵﹣2?[﹣1,2], ∴f(x)在[﹣1,2]上的最值只可能在 f(﹣1) ,f( 而 f(﹣1)=8,f( )= ,f(2)=11, )= . ) ,f(2)取得, .

∴f(x)max=f(2)=11,f(x)min=f( (Ⅱ)f′(x)=(3x﹣a) (x+a) , ①当 a>0 时,由 f′(x)<0,得﹣a<x< 所以 f(x)在(﹣a, )上单调递减,



则必有

,∴a≥3,

②当 a<0 时,由 f′(x)<0,得 所以 f(x)在(

<x<﹣a,

,﹣a)上单调递减,

必有

,∴a≤﹣



③当 a=0 时,函数 f(x)在 R 上是单调递增函数,不满足 f(x)在(﹣ ∴综上,所求 a 的取值范围为(﹣∞, ]∪[3,+∞) .

,1)上是减函数,

20.已知数列{an}满足(an+1﹣1) (an﹣1)= (Ⅰ)证明:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)令 cn=

(an﹣an+1) ,a1=2,若 bn=



,{cn}的前 n 项和为 Tn,用数学归纳法证明 Tn≥

(n∈N*) .

【考点】数学归纳法;等差关系的确定.

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【分析】 (Ⅰ)由(an+1﹣1) (an﹣1)= 2 的等差数列. (Ⅱ)由数学归纳法和分析法即可证明.

(an﹣an+1)得



=2,继而得到{bn}是首项为 b1=

=1,公差为

【解答】解: (Ⅰ)由(an+1﹣1) (an﹣1)= 即 bn+1﹣bn=2, ∴{bn}是首项为 b1=

(an﹣an+1)得



=2,

=1,公差为 2 的等差数列. = ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1,cn= ①当 n=1 时,则有 T1=1 有 T1≥ =1 成立; 成立, ≥ + ,

②假设当 n=k 时,不等式成立,即 Tk≥ 则当 n=k+1 时,Tk+1=Tk+ck+1= 欲证 只须证 即证 故有 Tn≥ + ≥ , +1≥k+1, ≥k,即证 (n∈N*) . ≥

,即证 1≥0,而此式成立

故当 n=k+1 时,不等式也成立.

21.已知函数 f(x)=(x﹣a)2lnx(a 为常数) . (Ⅰ)若 f(x)在(1,f(1) )处的切线与直线 2x+2y﹣3=0 垂直. (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)若 a 非正,比较 f(x)与 x(x﹣1)的大小; (Ⅱ)如果 0<a<1,判断 f(x)在(a,1)上是否有极值,若有极值是极大值还是极小值?若无极值,请说明理由. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ) (i)求出 f(x)的导数,根据切线的斜率是 f′(1)=﹣ =1,解出 a 的值即可;

(ii)求出 f(x)的表达式,作差,得到 x2lnx﹣x(x﹣1)=x(xlnx﹣x+1) ,令 g(x)=xlnx﹣x+1,根据函数的单调性求出 g(x) 的最小值 g(1)=0,得到 g(x)≥0 恒成立,从而求出 f(x)与 x(x﹣1)的大小即可; (Ⅱ)求出 f′(x)=(x﹣a) (2lnx+ ) ,令 F(x)=2lnx+1﹣ ,求出 F(x)的导数,根据函数的单调性求出函数的极值即可. ) ,

【解答】解: (Ⅰ) (ⅰ)f(x)定义域是(0,+∞) ,f′(x)=(x﹣a) (2lnx+ ∵直线 2x+2y﹣3=0 的斜率为:k=﹣1, ∴f(x)在(1,f(1) )处的切线的斜率﹣ 即 f′(1)=(1﹣a) (2ln1+ ∴a=0 或 a=2; (ⅱ)由(ⅰ)知,a=0,∴f(x)=x2lnx, ∵x2lnx﹣x(x﹣1)=x(xlnx﹣x+1) , ∴令 g(x)=xlnx﹣x+1,g′(x)=lnx, 当 x>1 时,g′(x)>0,当 0<x<1 时,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, g(x)min=g(1)=0,∴g(x)≥0 恒成立, 即 f(x)≥x(x﹣1) ; =1,

)=(1﹣a)2=1,

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(Ⅱ)f′(x)=(x﹣a) (2lnx+ 令 F(x)=2lnx+1﹣ ,F′(x)=

) , >0,

∴F(x)在(a,1)上单调递增,又 F(1)=1﹣a>0,F(a)=2lna<0, 所以在(a,1)上必存在 x0,使 F(x0)=0, 又 x﹣a>0,∴当 x∈(a,x0) ,f′(x)<0,x∈(x0,1) ,f′(x)>0, ∴f(x)在(a,x0)单调递减,在(x0,1)单调递增, ∴x=x0 是 f(x)的极值点,且为极小值.

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