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高中数学三角函数复习专题


高中数学三角函数复习专题
一、角的概念的推广: 正负,范围,象限角,坐标轴上的角; 二、角的集合的表示:
? ①终边为一射线的角的集合: ? ?x x ? 2k? ? ? , k ? Z ?= ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z

?

?

②终边为一直线的角的集合: ? x x

? k? ? ? , k ? Z ; ③两射线介定的区域上的角的集合: ? x 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ④两直线介定的区域上的角的集合: ? 三、任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。 R 为圆弧的半径, l 为弧长。

?

?

?

?

?x k? ? ? ? x ? k? ? ?, k ? Z?;

1 (2) 扇形的面积公式: S ? lR 2

(3) 三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:
sin ? ? y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x
2 2 r= a ? b

P ? r cos ? , r sin ? ? 比 反过来, 角 ? 的终边上到原点的距离为 r 的点 P 的坐标可写为:
如:公式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 的证明 (4)特殊角的三角函数值 α sinα 0 0

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2? 0

cosα

1

1 2
3

0 不存 在

-1

0 不存 在

1

tanα

0

1

0

0

(5)三角函数符号规律:第一象限全正,二正三切四余弦。 (6)三角函数线: (判断正负、比较大小,解方程或不等式等) 如图,角 ? 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,

T

P

o

M

A1 x

垂足为 M,则 过点 A(1,0)作 x 轴的切线,交角终边 OP 于点 T,则 (7)同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1
(8)诱导公试


sin a cos a

②商数关系: tan a ?

sin -?
? -?
? +?

cos

tan

三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前面 加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数值的 符号;即:函数名不变,符号看象限

- sin ?

+ cos? - tan?

+ sin ? - cos ? - tan? - sin ? - sin ? - cos? + tan?

2? -? 2k ? + ?

+ cos? - tan?

+ sin ? + cos? + tan? sin con tan
三角函数值等于 ? 的异名三角函数值,前面 加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数值的 符号;

? ?
2

??

+ cos? + sin ? + cot? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - cot? + cot?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ sin ? - cot?

即:函数名改变,符号看象限:

?? ?? ? ?? ? ? sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? 4? ?4 ? ? 比如 ? 4 ?

?? ? ?? ? cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 4? ? ?4 ?
四.常见三角函数公式: (1)三角函数之间: 倒数关系: sin α csc α =1 , cos α sec α =1 , tan α cot α =1 。 商数关系: tan α =
sin α cos α , cot α = 。 cos α sin α

平方关系: sin 2 α +cos2 α =1 , 1 +tan2 α =sec2 α , 1 +cot2 α =csc2 α 。
2

(2)和差角函数 sin( α ? β) ? sin α cos β ? cos α sin β

sin( α - β) ? sin α cos β - cos α sin β

cos( α ? β) ? cos α cos β - sin α sin β
cos( α - β) ? cos α cos β ? sin α sin β
tan( α ? β) ? tan( α - β) ? tan α ? tan β 1 - tan α tan β tan α - tan β 1 ? tan α tan β

(3)二倍角公式: 利用和差角公式,可以推导出二倍角公式:
sin 2a ? 2 sin a cos a
tan 2a ?
2 2 co2 s a ? c o 2sa ? s i n a ? 1? 2s i n a ? 2 c o 2sa ? 1

2 tan a 1 ? tan 2 a 注意:他们的逆运算也要熟练掌握,此外还要熟练掌握以下变形:

1 ? cos 2α ? 2 cos2 α

1 ? cos 2α ? 2 sin 2 α

1 ? sin 2α ? (sin α ? cosα)2
cos 2 α =

1 ? sin 2α ? (sin α ? cosα)2

1 - cos 2α sin 2α 1 +cos 2α 1 ? cos 2α ? , sin 2 α ? , tan α ? 。 sin 2α 1 ? cos 2α 2 2

注意观察变形时幂和角度的变化。 (4)和差化积公式
sin α ? sin β ? 2 sin sin α - sin β ? 2 cos α?β α-β cos 2 2 α?β α-β sin 2 2

?⑴ ?⑵ ?⑶ ?⑷

cos α ? cos β ? 2 cos

α?β α-β cos 2 2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ? ?
2

sin

? ? ?
2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? sin ? ? ? sin cos ? cos sin ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? sin ? ? ? sin cos ? cos sin ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 ?
3

两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

?? cos ? ? cos? ? ? ?? cos ? ? cos? ? ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? cos cos ? sin sin ? 2 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? cos cos ? sin sin ? 2 2 ? 2 2 2 2

两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。 (5)积化和差公式 1 sin α cos β ? ?sin( α ? β) ? sin( α - β)? 2
cos α sin β ?
cos α cos β ?

1 ?sin( α ? β) - sin( α - β)? 2
1 ?cos( α ? β) ? cos( α - β)? 2

sin α sin β ? ?

1 ?cos( α ? β) - cos( α - β)? 2

(6)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? a 2 ? b 2 cos( x ? ? )

?? ? ?? ? 例如:sinα ±cosα = 2 sin ?? ? ? = 2 cos ? ? ? ? . 4? 4? ? ? ?? ?? ? ? sinα ± 3 cosα =2sin ? ? ? ? =2cos ? ? ? ? 等. 3? 3? ? ? 五、三角函数的图像和性质: (其中 k ? z )
三角函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[ 2k? ?

y ? sin x
(-∞,+∞) [-1,1]

y ? cos x

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?


T ??

?
2

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]

单调性

单调递增
[2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

(k? ?

, k? ?

?
2

)

单调递增

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(

(k? ,0)

? (k? ? ,0) 2

k? ,0 ) 2

4

零值点

x ? k?
x ? k? ?

x ? k? ?
?
2

?
2

x ? k?

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
y min ? ?1

y min ? ?1

六、.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2) 函数 y ? A tan( ?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 2 2

的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (附上函 数平移伸缩变换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的 ( w ? 1 缩短, 0 ? w ? 1 伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍 ( A ? 1伸长, 0 ? A ? 1 缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴翻折 180°(整体翻折)
5

1 倍 w

(对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧 (偶 函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻 动)

七、解三角形

?1? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 余弦定理: ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac , ? 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

? 3? 推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③
a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4)面积公式:S=
1 SΔABC = ×底 × 高 2 1 1 1 SΔABC = ab sin C = bc sin A = ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 1 1 1 ab*sinC= bc*sinA= ca*sinB 2 2 2

S ΔABC =

abc ( R 为 ΔABC 外接圆半径) 4R

S ΔABC ?

a ?b ?c
2

r ( r 为 ΔABC 内切圆半径)
a +b +c ) 2

S ΔABC ?

p(p - a)(p ? b )(p ? c)?海仑公式(其中 p =

(5)注意:由于三角形中任意角的范围为 0~180 度,当告知 sinA 的值时,A 极可能 时钝角也可能是锐角,需要看是否有其他限制条件。
6

二、练习题 1、 sin 330? 等于 A. ?
3 2

( B. ?
1 2

) C.

1 2

D.

3 2

2、若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角





D. 第四象限角

3、如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长为 ( ) 1 A.sin0.5 B.sin0.5 C.2sin0.5 D.tan0.5 1 4、 在△ABC 中, “A>30°” 是 “sinA>2” 的 ( ) A.仅充分条件 B.仅必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(- b,4), 且 cos ? ? ? , 则b 的值( 5、角 ? 的终边过点
A、3 6、已知
3 4

3 5



B、-3

C、 ? 3

D、5 )

?
2

? ? ? ? , sin(
4 3

?

3 ? ? ) ? ? ,则 tan(?-?)的值为( 2 5

A.

B.

C. ?

3 4

D. ? (

4 3

7、 y ? (sin x ? cos x)2 ?1是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数



B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

8、若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B. 2



) D.2 )

C. 3

π? ? 9、为得到函数 y ? cos ? x ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3? ?

π π A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 6 6 5π 5π C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示,则该函数的表达式是(
y
2
? π 4

)
7

o 3? 4

x

? ) 4 ? C. y = 2sin ( 2 x ? ) 8
A. y = 2sin(x?

? ) 4 ? D. y = 2sin (2x + ) 8 x ? 11、函数 y ? ? cos( ? ) 的单调递增区间是( 2 3
B. y = 2sin(x +
4 2 ? ? A. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ? 2 8 ? ? C. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ?



4 2 ? ? B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ? 2 8 ? ? D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ?

12、 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 A ? A.1 B.2 C. 3 ? 1

?
3

, a ? 3, b ? 1 , 则c ? (



D. 3 )

13、在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( A.
3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

14、 在 △ ABC 中, 已知 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 3 sin A sin C , 则 ?B 的大小为 (
A. 150? B. 30 ? C. 120? D. 60 ?



15、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

16、若 sin ? ? cos? ? 2 ,则 sin ? cos ? ?

.

1 2

17、已知函数 f ( x) 是周期为 6 的奇函数,且 f (?1) ? 1 ,则 f (?5) ?



18、在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 x2 y2 sinA+sinC + =1 上,则 =________. 25 9 sinB 19、函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域 ___________ n? (n ? N * ), 则f( 1 ) ? f(2) ? f (3) ? f (4)... ? f (100 ) ? _________ 20、已知 f ( x) ? sin 4 π 21、关于函数 f(x)=4sin(2x+3 ) (x∈R),其中正确的命题序号是___________.
8

π (1)y=f(x )的表达式可改写为 y=4cos(2x-6 ); (2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数; π (3)y=f(x ) 的图象关于点(-6 ,0)对称; π (4)y=f(x ) 的图象关于直线 x=-6 对称; 22、给出下列四个命题,则其中正确命题的序号为 (1)存在一个△ABC,使得 sinA+cosA=1 (2)在△ABC 中,A>B ? sinA>sinB
k? ,k ?Z } 2 (4)在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象与函数 y=x 的图象有三个公共点

_________

(3)终边在 y 轴上的角的集合是{ ? | ? ?

? (5)函数 y ? sin( x ? ) 在[0, ? ]上是减函数 2

23、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? , 2 5

??? ? ??? ? AB ? AC ? 3 .

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

24、已知函数 f ( x) =2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) .
? ?? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值; ? 2?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

历年高考题:
25.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 .(1)求 f ( x ) 的最小正周期; 2 6 0 ? ? (2)求 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的最大值和最小值。 0 6 4 9 0 1 ? 26.若?∈(0, ),且 sin2?+cos2?= ,则 tan?=4 2 4 2 3 f ( a ) ? 11 f ( x ) ? x cos x ? 1 . 27.设函数 若 ,则3f (?a) ? .
9

?

28. ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 29. (18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.)

12 。 13

??? ? ??? ?

设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( 30. 曲线 y ? sin x ? cos x 2 4
A. ?

?

?



1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

31. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

32.(本小题满分 14 分 )在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
33. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a , b , c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

?

C . 2

34.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a ,则

b ? a

10

参考答案:1-5BCABA
1 16、 2

6-10BDBCB
5 18、 4

11-15CBBAB

17、-1

19、 [?

?
3

? 2k? ,

4? ? 2k? ] 3

20、 1 ? 2

21、(1)(3) 22、 (1)(2)(4)
A 5 3 4 A 2 5 sin ? cos A ? , sin A ? 23、 (1)由 cos ? 得 , 2 5 5 5 2 5 ??? ? ??? ? 因 AB ? AC ? 3 ,所以 bc=5,故 S?ABC ? 2

(2)由(1)bc=5,且 c=1,所以 b=5, 由余弦定理易得 a ? 2 5

24、 (Ⅰ)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 6
所以 函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

? ?? ?? ? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值为-1. ? 2? ?2?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

?. 6?

11

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? . 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? . 6 ? 3 6 ? ?4 2?

12


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