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2013浙江省高中数学竞赛模拟题一


浙江省高中数学竞赛模拟题一
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.数集{x,x2-x}中 x 的取值范围是( (A)(-∞,+∞) (C)(-∞,2)∪(2,+∞) 2.若 z2+z+1=0,则 z2005 的值是( (A)1 (B)-1 ) (C) ) (C) ? )

姓名:

(B)(-∞,0)∪(0,+∞) (D

)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)

1 3 ± I 2 2

(D)-

1 3 ± i 2 2

3.函数 y=cos4x+sin2x 的最小正周期为( (A)

?
4

(B)

?
2

(D)2 ?

4.随机抛掷一颗 6 个面分别刻有 1,2,3,4,5,6 个点的骰子,其出现(即向上一面)的点 数的数学期望值为( (A)3 ) (B)3.5 (C)4 (D)4.5 y (B)a>0,b>0,c>0 (D) a<0,b>0,c<0 ) (D)5 x2 x1 O x

5.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象如图所示,则下面关于 a, b,c 符号判断正确的是( (A)a>0,b<0,c<0 (C)a<0,b<0,c>0 )

10 1 2 6.611+ C11 610+ C11 69+?+ C11 6-1 被 8 除所得余数是 (

(A)0 7.不等式

(B)2

(C)3 )

| log 1x ? 1 |> 1 的解集是( 3
1 3

(A)( 8.当-

1 ,81) 9 2
≤x≤

(B)(

1 ,27) 3

(C)(

1 ,3)∪(3,27) 3

(D)(

1 ,3)∪(3,81) 9
)

?

?
2

时,函数 f(x)满足 2 f(-sinx)+3 f(sinx)=sin2x,则 f(x)是( (B)偶函数 (C)非奇非偶函数

(A)奇函数

(D)既奇又偶函数

9. P 在双曲线 x2-y2=a2 的右支上, 1、 2 分别为双曲线的左、 点 A A 右顶点, 且∠A2PA1=2∠PA1A2, 则∠PA1A2 为( (A)30° ) (B)27.5° (C)25° (D)22.5°

A E

10.已知正四面体 ABCD 中,AE= 直线 DE 与 BF 所成的角为( )

1 1 AB,CF= CD,则 4 4
B D C F

4 13 3 26 (C)arc cos 26
(A)arc cos

(B)arc cos

3 13 3 13

(D) ? -arc cos

二、填空题(每小题 7 分,共 49 分)

?? x ? 1 (?1 ? x ? 0) 11.函数 f(x)= ? ,则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为_________________. ?? x ? 1 (0 ? x ? 1)
12.数列{an}满足 Sn=n2an,若有 a1=1003,则 a2005 的值为_________________.

? ? ? ? 13.设平面内的两个向量 a 与 b 互相垂直,且| a |=2,| b |=1.又 k 与 t 是两个不同时为零的实 ? ? ? ? ? ? 数,若向量 x = a +(3-t) b 与 y =-k a +t2 b 互相垂直,则 k 的最大值为___________.
14.在某次商品的有奖销售活动中,有 n 人获三等奖(n≥4),三等奖的奖品共有四种,每个三等 奖获得者随意从四种奖品中挑选一种,结果有一种奖品无人挑选的概率是_________________. 15、某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个车牌照中数字 9 至少出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有____________个. 1 1 1 16、若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则 + + 的最小值是_________ 1-a 1-b 1-c 17、已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB、VD 的中点分别为 H 和 K,若过 A、H、 K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为_______________.

18、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 6, 4an?1 ? an?1 ? 4an (n ? 2) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

19、设 f(x)=x2+bx+c(b,c 为常数),方程 f(x)=x 的两个实根为 x1,x2,且满足 x1>0,x2-x1> 1. (1)求证:b2>2(b+2c); (2)若 0<t<x1,比较 f(t)与 x1 的大小.

x2 y2 20、已知椭圆ε : 2+ 2=1(a>b>0), a b 动圆Γ :x2+y2=R2,其中 b<R<a. 若 A 是椭圆ε 上的动点,B 是动圆Γ 上的动点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆Γ 均相切,求 A、B 两点的距离|AB|的最大值.

21. 直角三角形 ABC 中, , F 分别是直角边 AB, AC 上 E 的任意点,自 A 向 BC, CE, EF , FB 引垂线,垂足分别 是 M , N , P, Q 。 证明: M , N , P, Q 四点共圆.

22、试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍 数.

DDBBB、DDADA. 二、11. [ ?1,? ) ? (0,1] ; 12. 3(3+ 3) 16、 2 17、 5 2 a 6
1 2

1 ; 2005

13.1;

14. 4(

3 n 1 n 3 ) -12( ) + n ?1 . 15、4168 4 2 4

18、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 6, 4an?1 ? an?1 ? 4an (n ? 2) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . (1)因为 a1 ? 1, a2 ? 6, 4an?1 ? an?1 ? 4an (n ? 2) ,所以
an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ), a2 ? 2a1 ? 4 ? an?1 ? 2an ? 4 ? 2n?1 an?1 an a 1 1 1 ? n ? 1 ? n ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? ? an ? (n ? ) ? 2n n ?1 n 2 2 2 2 2 2 n ?1 ? an ? (2n ? 1) ? 2 ?

(2)由(1)知:
Sn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ???? ? (2n ? 3) ? 2n?2 ? (2n ?1) ? 2n?1



① ?2 :
2Sn ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ???? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n



① ? ②:
? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ??? ? 2 ? 2 n ?1 ? (2 n ? 1) ? 2 n 22 (1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 1? 2 ? S n ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ? 1?


Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3(n ? N ? ) .
19、(1)略;(2) f(t)>x1 20、解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=kx+m

? 2 ?y1=kx12+m 因为 A 既在椭圆上,又在直线 AB 上,从而有?x1 y1 ? a2 + b2 =1 ?
将(1)代入(2)得:(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0

(1) (2)

由于直线与椭圆相切,故△=(2kma2)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=0 ka2 从而可得:m2=b2+a2k2,x1=- m 同理,由 B 既在圆上又在直线 AB 上, 可得:m2=R(1+k2),x2=- kR2 m (4) ……10' (3) ……5'

R2-b2 k(a2-R2) 由(3)(4)得:k2= 2 ,x2-x1= m a -R2 ∴|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2
2 2 2 2 2 2 m2 k(a -R ) (a -R ) R -b = 2· = ·2 2 R m R a -R2

(a2-R2)(R2-b2) 2 2 a2b2 = =a +b -R2- 2 2 R R ab =(a-b)2-(R- )2≤(a-b)2. R 即|AB|≤a-b,当且仅当 R= ab时取等号. 所以,A、B 两点的距离|AB|的最大值为 a-b. ……20' ……15'

21.直角三角形 ABC 中, E , F 分别是直角边 AB, AC 上的任意点,自 A 向 BC, CE, EF , FB 引 垂线,垂足分别是 M , N , P, Q 。 证明: M , N , P, Q 四点共圆. 证明:? A, E , N , P 共圆,??CNP ? ?EAP ? ?AFP,? A, N , M , C 共圆,

??CNM ? ?CAM ,



A, B, M , Q



圆 , ??MQB ? ?MAB, 由 A, P, Q, F 共 圆 , 得

?PQB ? ?FAP. 所以

?MNP ? ?MQP ? (?CNM ? ?CNP) ? (?MQB ? ?PQB) ?

(?CAM ? ?AFP) ? (?MAB ? ?FAP) ? (?CAM ? ?MAB) ? (?AFP ? ?FAP)
? 90? ? 90? ? 180?. 故 M , N , P, Q 共圆.
22、试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍 数. 解:首先,我们可以指出 12 个连续正整数,例如 994,995,?,999,1000,1001,?,1005, 其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数,因此, n ? 13 。 再证,任何连续 13 个正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数 a ,称 如下 10 个数所构成的集合: Aa ? {10a,10a ? 1,?10a ? 9}为一个“基本段” ,13 个连续正整数, 要么属于两个基本段,要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中 必有连续的 7 个数,属于同一个基本段;当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ?1 时,其中 必有连续 10 个数同属于 Aa .现在设 ak ak ?1 ?a1a0

ak ak ?1 ?a1 (a0 ?1),?ak ak ?1 ?a1 (a0 ? 6) 是

属于同一个基本段的 7 个数,它们的各位数字之和分别是

? a , ? a ? 1,?, ? a ? 6, 显然,这
i ?0 i i ?0 i i ?0 i

k

k

k

7 个和数被 7 除的余数互不相同,其中必有一个是 7 的倍数.因此,所求的最小值为 n ? 13.


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