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山西省大同市第一中学2015-2016学年高二10月月考数学试题


2015~2016 学年度第一学期 10 月月考

高二年级数学
命题人:安震海 审核人:唐希明

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项 中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若 a ? b ,则下列选项一定成立的是
2 2 (A) a ?

b

(B) ac ? bc

(C)

1 1 ? a b

(D) ac 2 ? bc 2

(2)总体由编号为 00 , 01 , 02 , ?, 19 的 20 个个体组成,利用下面给出的随机数表从 20 个个 体中选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第一行的第 5 列数字开始由左到右依次选定两个数 字,则选出来的第 5 个个体编号为 78 32 16 04 95 92 72 34 08 49 14 35 07 82 43 40 63 36 42 23 03 48 20 69 97 69 28 38 01 74 98 81

(A)01 (A) 5,?1 (B) 4,?6 (C) 1,?3 (D)无正确答案

(B)07

(C)08

(D)20

(3)右边程序执行完的结果是

a?2 b?3 a ? a ?b b ? a?b PRINT a ? b, a ? b END

? x?2 ? (4)已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
(A) 0 (5)函数 y ? (A) (0,2) (B) 2 (C) 3

(D) 4

x ? (2 ? x) 的定义域是
(B) [0,2] (C) (?? ,0) ? (2,?? ) (D) (?? ,0] ? [2,?? )

(6)银川唐徕回民中学高中部从已编号(1~36)的 36 个班级中,随机抽取 9 个班级进行卫 生大检查,用系统抽样的方法确定所选的第一组班级编号为 3,则所选择第 8 组班级的编号是 (A)11 (B)27 (C)31 (D)35 (7)执行右图所示程序框图,若输入的 m, n 分别为 18,30,则输出的结果是 (A)0 (B)2 (C)6 (D)18 (8)已知数列 {an } 是各项均为正数的等比数列,且

开 始 输入 m, n 否

m=n?

a3 ? a5 ? 4 ,则 a4 的最大值为
(A) 2 (B) 2 (C) 2 2 (D) 4 (9)下列说法中正确的个数是 ①最大的 7 进制三位数是 999(7) ; ② 110110110 ( 2) ? 5036 (9) ③秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数; ④更相减损术是计算最大公约数的方法; ⑤用欧几里得算法计算 54 和 78 最大公约数需进行 3 次除法; (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (10)下列左图给出的是计算 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 7 ? ? ? ? ? 13 ? 15 的值的一个程序框图,其中判 断框内应填入的条件不正确 的是 ... (A) i ? 13 ? (B) i ? 14 ? (C) i ? 14 ? (D) i ? 15 ?

(11)如上右图,若输出的结果大于或等于 1,则输入的 x 的取值范围是 (A) (?4,2] ? [2,?? ) (C) [?4,?2] ? {1} ? [4,?? ) (B) [?4,1] ? [2,?? ) (D) (??,?4] ? {1} ? [2,?? ) st (12)若 s , t 均为正数,且 s ? t ? 1 ,则 的最大值是 ( st ? 1)( st ? 4) 1 4 7 1 (A) (B) (C) (D) 7 85 72 9

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
(13)将一个总体分为 A,B,C 三层,其个数之比为 3 : 2 : 2 ,若用分层抽样抽取容量为 700 的样本,则应该从 C 中抽取的个体数量为 (14) 若 x ? ?3 , 则函数 y ? x ? . 开 始 .

1 的最小值是 x?3

k=1, S=0
否 输出 S 结 束

(15)执行右图所示的程序框图,输出的结果为



k ? 2017 ?

1 S?S? k (k ? 1)

? y?0 y ?1 ? (16) 设变量 x , y 满足约束条件 ? 4 x ? ? y , 则 的 x ?1 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?
取值范围是 .

k ? k ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤。
(17)(本小题满分 10 分) 集合 A ? {x | 0 ? x 2 ? x ? 2 ? 10} ,集合 B ? {x |

1 ? 0} ,求 A ? B . x?2

(18)(本小题满分 12 分) 关于 x 的不等式 范围.

(m ? 2) x 2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值 x2 ? x ? 2

(19)(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集为 (??,?2) ? (1,?? ) . (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)求不等式 ax 2 ? (c ? b) x ? bc ? 0 的解集.

(20)(本小题满分 12 分) 为推进“十二五”期间环保事业的科学发展,加快资源节约型、环境友好型社会建设, 推行清洁生产和发展循环经济,减少造纸行业的污染物排放,宁夏某大型造纸企业拟建一座

俯视图为矩形且其面积为 81 平方米的三级污水处理池(如下图所示),池的高度为 3 米.如 果池的四周围墙建造单价为 200 元/平方米,中间两道隔墙建造价格为 138 元/平方米,池底建 造单价为 70 元/平方米,该污水处理池所有的墙的厚度忽略不计.设污水池的宽为 x 米,总造 价为 S 元. (Ⅰ)写出 S 关于 x 的函数表达式,并求出 x 的取值范围; (Ⅱ)设计污水处理池的长和宽分别为多少时,总造价 S 最低,求出最低总造价.

x

一 级

二 级

三 级

(21)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)若 x ? 0 ,求函数 f ( x ) ? 4 x ? (Ⅱ)已知 x , y 为正数,

3 的最大值及相应 x 的值; x

1 3 ? ? 1 ,且 3x ? y ? m 2 ? 4m 恒成立,求 m 的取值范围. x y

(22)(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ( b, c ? R ) . (Ⅰ)若 f (?2) ? f (2) , f (1) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? x ? 1 对所有 x ? [0,1] 都成立,求 函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 c ? 0 ,且函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上有两个零点,求 b ? 2c 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,当 x ?

x 3 2 时,都有 f ( x ? 1) ? 4a f ( x ) ? f ( ) ? 4 f ( a ) 成立, a 2

求证:关于 x 的方程 16 x 2 ? 16ax ? 3 ? 0 有实根.

2014~2015 学年(上)高二年级 10 月考 数学参考答案
一、 选择题

DACDB
二、 填空题

CCBCA

DA 15、
2017 2018

13、200

14、 ? 1

1 16、 (??,?4) ? [? ,?? ) 4

三、 解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:由已知得

? x 2 ? x ? 2 ? 10 ?( x ? 4)( x ? 3) ? 0 ? ?3 ? x ? 4 …………………………… ?? ?? ? 2 ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ?x ?x?2 ? 0
..6 分 ∴ A ? [?3,?1) ? (2,4] …..7 分 由 ∴ ………………………………………………………………………………..9 分 ∴ A ? B ? (?2,?1) ? (2,4] …………………………………………………………………. .10 分 18. (本小题满分 12 分) 解 ∵ x 2 ? x ? 2 ? ( x ? )2 ? 故 只 需 : ……………………………………………………………………

1 ? 0 得 x ? 2 ? 0 , x ? ?2 x?2

B ? (?2,?? )

1 2

3 3 ? ? 0 ……………………………………………………..2 分 4 4
(m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0
对 一 切

x?R





立. ……………………………4 分 ① ∴m ? 2 当

m?2 ? 0



m?2





?4? 0









……………………………..6 分 ② 当 m ? 2 ? 0 即 m ? 2 时,由二次函数图像可知,只需

?m ? 2 ? 0 ? ? ??0





? m?2 ………………………………………………………..10 分 ? ?? 2 ? m ? 2
∴? 2 ? m ? 2 .11 分 综 上 , …………………………………………… ………………………….

m













(?2,2]

…………………………………………………………..12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知 ? 2 和 1 是方程 ax 2 ? x ? b ? 0 的两个根

















1 ? ?? 2 ? 1 ? ? a ? b ? ? 2 ?1 ? a ?





? a ?1 ? ?b ? ?2

…………………………………………4 分

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 不等式可写为 x2 ? (c ? 2) x ? 2c ? 0 , 即 ( x ? 2)( x ? c) ? 0 …………………6 分 ① 当

c ? ?2





( x ? 2)2 ? 0















? ………………………………………..8 分
② 当

c ? ?2

















(?2, c)

………………………………………………..10 分 ② 当

c ? ?2

















(c,?2)

…………………………………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) S ( x ) ? 3 x ? 2 ? 138 ? 200(3 x ? 2 ? 3 ?

81 ? 2) ? 70 ? 81 x

8100 ) ? 5670 x 97200 ? 2028 x ? ? 5670 ………………………………………………… x ? 12 ? (169 x ?
……4 分





x?0

………………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∵ x ? 0 ,由基本不等式得

S ( x) ? 12 ? (169 x ?

8100 8100 ) ? 5670 ? 12 ? 2 169 x ? ? 5670 x x

? 24 ? 13 ? 90 ? 5 6 7 0 ? 2 8 0 8? 05 6 7 0 ? 3 3 7 5………………………………… 0 9分
当且仅当 169 x ? 分 此 时 长 为

8100 90 , 即x ? 时,取等号;…………………………………10 x 13

81 ? 11.7 x

……………………………………………………………………11 分 ∴ 当 长 为 11.7 米 , 宽 为

90 米 时 , S ( x) 最 低 , 最 低 总 造 价 为 33570 13

元……………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ∵x ? 0, ∴ ? x ? 0 ,? 分 ∴ f ( x) ? 4 x ? …4 分 当且仅当 ? 4 x ? ?

3 ?0 x

…………………………………………………………1

3 3 3 ? ?[( ?4 x) ? (? )] ? ?2 (?4 x) ? (? ) ? ?4 3 ………………………… x x x

3 3 即x ? ? 时取等 x 2

号; ………………………………………………5 分 ∴ f ( x) max ? f (? ……6 分 ( Ⅱ ) 要 使

3 ) ? ?4 3 2

……………………………………………………………

m2 ? 4m ? 3x ? y













m2 ? 4m ? (3x ? y)min ……………………………7 分
∵ x ? 0, y ? 0 ∴ 3x ? y ? (3x ? y)( …10 分 ∴ m2 ? 4m ? 12 ,即 (m ? 2)( m ? 6) ? 0 ∴ ? 6 ? m ? 2 ………………………………11 分 故

1 3 y 9x y 9x ? )? ? ?6 ? 2 ? ? 6 ? 12 ………………………… x y x y x y

m













[?6,2] …………………………………………………………………………12 分
22. (本小题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) ∵

f (?2) ? f (2)



b?0

∴ f ( x) ? x2 ? c ………………………………………1 分 而 f (1) ? 0 ∴ 1 ? c ? 0 当 x ? [0,1] 时,由 f ( x) ? x ? 1 得 x 2 ? c ? 1 ? x ,即 x 2 ? x ? c ? 1 ? 0 令 y ? x2 ? x ? c ? 1 要使 f ( x) ? x ? 1 对所有 x ? [0,1] 都成立

只需 ymax ? 0 ,而 y ? ( x ? )2 ? c ? ∴ ymax ? 12 ? 1 ? c ? 1 ? c ? 1 于是 0 ? 1 ? c ? 0 ∴ 即1 ? c ? 0

1 2

5 ,且函数 y 在 [0,1] 上单调递增, 4

故1 ? c ? 0 ∴ c ? ?1

f ( x) ? x2 ? 1 …………………………………………………………………………3 分
? f ( ?1) ? 0 ? ? f (1) ? 0 ? c?0 ?















?1 ? b ? c ? 0 ? ∴ ?1 ? b ? c ? 0 ………………………………………………6 分 ? c?0 ?
令 z ? b ? 2c , 画 出 可 行 域 , 由 线 性 规 划 知 识 可 知 ? 2 ? b ? 2c ? 1 …………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 1
2 ∵ f ( x ? 1) ? 4a f ( x ) ? f ( ) ? 4 f ( a )

x a

2 2 2 2 2 ∴ ( x ? 1) ? 1 ? 4a ( x ? 1) ? ( ) ? 1 ? 4( a ? 1)

x a

∴ 4a 2 ? 要使 x ?

1 ? x2 ? 2x ? 3 1 1 ? ? 3 2 ? 2 ?1 2 2 a x x x
x 3 2 时,都有 f ( x ? 1) ? 4a f ( x ) ? f ( ) ? 4 f ( a ) 成立,只需 a 2

4a 2 ?
(x?

1 ? 1 1 ? ? ? 3 2 ? 2 ? 1? 2 a x ? max ? x

3 )………………………………………………10 分 2 1 1 1 2 令 y ? 3 2 ? 2 ? 1( 0 ? ? ) x x x 3
1 2 ? 1 1? 4 配方得 y ? 3? ? ? ? ,当 0 ? ? 时函数 y 单调递增, x 3 ? x 3? 3
故 ymax ? 3?
2

1 5 ? 2 1? 4 5 ? ? ? ? ,因此 4a 2 ? 2 ? a 3 ? 3 3? 3 3

2

∴ 12a 4 ? 5a 2 ? 3 ? 0 ,即 (4a 2 ? 3)(3a 2 ? 1) ? 0 ∴ ∴ a2 ?

a2 ?

3 4



a2 ? ?

1 3







3 ……………………………………………11 分 4
而在方程 16 x 2 ? 16ax ? 3 ? 0 中, ? ? 64 ? (4a 2 ? 3) ? 0 ∴ 关 于

x







16 x 2 ? 16ax ? 3 ? 0







根 …………………………………………12 分

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