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例谈导数在圆锥曲线问题中的应用 wps 2


例谈导数在圆锥曲线问题中的应用
武威第十五中学数学教研组(邮编:733000) 尹尚智

内容摘要:在圆锥曲线问题的求解中引入导数,可以在一定程度上开拓思路,降低难度。本文主要 通过实例来展现导数在圆锥曲线的切线问题、中点弦问题和最值问题方面的应用.
关键词:导数 圆锥曲线 切线 中点弦 最值

导数是高中数学的主要内容

,导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系,给许多常规问题的 解法提供了新的视野,同时也拓宽了解决圆锥曲线问题的思路, 尤其是求圆锥曲线中的切线,中点 弦,最值问题.本文试举例来说明导数在圆锥曲线问题中的一些应用. 一.导数在切线问题中的应用 利用导数的几何意义,把二次曲线看做:y 是的函数利用符合函数求导法则,可以轻松求出切 线的斜率. 例 1.已知抛物线 C: x ? 4 y
2

(1)求过点 P(0,-4)的抛物线 C 的切线方程. (2)求点 Q(2,1)处的切线方程. 解析: (1)设切点 Q( x0 ,
2 x0 x ) ,由 y ? ? 可知抛物线在 P 点处的斜率 y ? 4 2
x ? x0

?

x0 ,所以所求 2

的切线方程为 y ?

x0 x0 ? ( x ? x0 ) .因为点 P0,-4)在切线上,从而满足切线方程,代入化简可得 4 2

x0 ? ?4 .所求切线方程为: y ? ?2 x ? 4 .
(2)由(1)知点 Q 处的斜率 k ? y ?
x?2

? 1 ,又点 Q 在切线上,可得切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 .

例 2.已知动圆过定点 F (0,2) ,且与直线 l : y ? ?2 相切,若 AB 是动圆圆心的轨迹 C 上的动弦, 且 AB 过点 F (0,2) ,分别以 AB 为切点做轨迹 C 的切线,设两切线的交点为 Q. 证明 AQ ? BQ .
2 2 证明: 设圆心 C 的坐标为 (x,y) ,则依题意 CF ? y ? 2 ,代入坐标得 x ? ( y ? 2) ? y ? 2 ,

化简得圆心 C 的轨迹方程为 x ? 8 y .
2

设 AB 所在直线方程为: y ? kx ? 2 ,A,B 点的坐标分别为, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 联立方程组 ?

?y ? kx? 2 ?x ? 8 y
2

,解得 x ? 8kx ? 16 ? 0 ,
2

由根与系数关系可得 x1 ? x 2 ? 8k , x1 x2 ? ?16 . 将 x ? 8y 化 为 y ?
2

1 2 1 x , 求 导 得 y ? ? x , AQ 的 斜 率 8 4

K AQ ? y ? x ? x ?
1

1 1 1 1 x1 , BQ 的 斜 率 K BQ ? y ? x ? x ? x 2 . K AQ ? K BQ ? x1 . x2 ? ?1 , 所 以 2 4 4 4 4

AQ ? BQ .
二.导数在中点弦问题中的应用 对二次曲线方程两边求导,解出 y ? ,令 k ? y ? ,可方便求解中点弦相关问题. x x 例 3.点 P(2,2)是曲线 x ? 4 y ? 2 x ? 12 y ? 6 ? 0 的一条弦的中点,求这条弦所在直线的方程.
2 2

解析:对方程 x 率 k ? y? ? x

2

? 4 y ? 2 x ? 12 y ? 6 ? 0 两边求导:2 x ? 8 yy ? ? 2 ? 12 y ? ? 0 化解得斜 x x

x ?1 1 .因为点 P(2,2)在弦上,求得.: k ? y ? ? ? ,代入直线方程的点斜式并化简可 x 6 ? 4y 2

得直线方程为: x ? 2 y ? 6 ? 0 . 例 4.已知曲线 C: x ?
2

y2 ? 1 ,过点 P(2,1),的直线 L 与曲线交与点 P1 , P2 ,求线段 P1 , P2 的中点 2

M 的轨迹方程. 解析: L 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,M ( x 0 , y 0 ) 是 P , P2 的中点, 设 则:y 0 ? 1 ? k ( x0 ? 2) ? ) ( . 1 将方程 x ?
2

2x y2 ? 1 两边求导得 2 x ? yy ? ? 0 ,于是 2 x0 ? yy ? ?x0 ? 0 ,从而 k ? y ? ? x0 ? 0 ,代 x x x y0 2
2 2

入( ? )得 2 x0 ? y 0 ? 4 x0 ? y 0 ? 0 .所求的轨迹方程为 2 x ? y 2 ? 4 x ? y ? 0 .
2

三.导数在求最值问题中的应用 利用导数与函数单调性之间的关系可以求解相关弦长,距离的最值以及离心率取值范围等问题. 例 5.已知点 P 是抛物线 y ?

1 x 2 上一个动点,其上定点 M(4,1),求 PM 的最小值. 2

解析:设点 P 的坐标为(x,y),则

PM ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ? x 2 ? 8 x ? 16 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? 8 x ? 16 ?
令 t=

1 4 1 4 x ? x2 ?1 ? x _ 8 x ? 17 4 4

1 4 x ? 8 x ? 17 ,则 t ? ? x 3 ? 8 ? ( x ? 2) ( x ? 1) 2 ? 3 4

?

?

当 x=2 时, t ? ? 0 ;当 x ? (??,2) 时 t ? ? 0 ,当 x ? (2,??) 时,

1 t ? ? 0 。所以当 x=2 时 t= x 4 ? 8 x ? 17 的最小值为 5, PM 的最小值为 5 . 4
例 6.已知 c 是双曲线

x2 y2 b?c ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的半焦距,求 的取值范围. 2 a a b

b?c ? 解析:由双曲线的性质可知: a
令 f ( e) ?

c2 ? a2 ? c ? e2 ?1 ? e a
,因为率 e ? 1,可得 f ?(e) ?

e 2 ? 1 ? e ,求得 f ?(e) ?

e e ?1
2

e e ?1
2

?0

当 f ?(e) ? 0 时,函数 f (e) ?
2 2

e 2 ? 1 ? e 在 (1,??) 上单单调递增. f (e) ? e 2 ? 1 ? e ? ?1 ,

又 e ?1 ? e ,可得 e ? 1 ? e ? 0 .所以

b?c 的取值范围为 (?1,0) . a

以上为本人在实际教学中积累的点滴,当然导数的应用博大精深,有待于我们在以后的教学中 进一步总结,探索,真正体现导数的“数学工具”功能. 不妥之处望广大同仁批评指正!


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