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重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学) 16导数的概念及运算(教师用)


重庆市育才中学高 2014 级一轮复习学案

16 导数的概念及运算

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16 导数的概念及运算
一、学习内容:选修 2—2 P1~25 二、课标要求:
(1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的某些实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. ②掌握函数在一点处的导数的

定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. (2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数 y ? c, y ? x, y ? x2 , y ? x3 , y ? , y ? x 的导数. ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的 复合函数(仅限于形如 f ( ax ? b) )的导数. 三、基础知识 1.导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在包含 x0 的某个区间上有定义,如果 数的平均平化率

1 x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (即函 ?x


?y )在 ?x ? 0 时趋于确定的极限值,那么我们说函数 y ? f ( x) 在 x0 处 ?x
,记作 f ?( x0 ) 或 y ?
x ? x0

并把此极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处



如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个 确定的导数 f ?( x ) ,从而构成了一个新的函数 f ?( x ) .称这个函数 f ?( x ) 为函数 y ? f ( x) 在开区间 内的导函数,简称导数. 2.导数的几何意义与物理意义 ( 1 ) 函 数 y ? f ( x) 在 x0 处 的 导 数 的几 何 意 义 : 函 数 y ? f ( x) 在 x0 处 的 导 数 f ?( x0 ) 是 曲 线

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线的

.也就是说,曲线 y ? f ( x) 在 x0 处的斜率为_ 表示物体在 t 表示物体在 t

____.

(2)瞬时速度:设 s ? s(t ) 是位移函数,则 (3)加速度:设 v ? v(t ) 是速度函数,则 3.基本初等函数的导数公式 ① ? c ?? ? ⑤ ? ln x ?? ? ② xn ? ? ⑥ ? log a x ?? ?

? t0 时刻的瞬时速度.

? t0 时刻的加速度.
④ ax ? ? ⑧ ? cos x ?? ?

? ?

③ ex ? ? ⑦ ? sin x ?? ?

? ?

? ?

4.导数的四则运算法则

[cf ( x)]? ?

,[ f ( x) ? g ( x)]? ?

,[ f ( x) g ( x)]? ?

? g ( x) ?? ,? ? ? ? f ( x) ?



5.复合函数求导法则:若 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? ,则 y? x

. ? fu? ? u? x (分解—求导—回代)

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16 导数的概念及运算

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四、基础练习
1.一质点运动的方程为 s ? 8 ? 3t .
2

(1)求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; 【答案】(1) ?v ?

(2) 用导数定义求质点在 t=1 时的瞬时速度.

?s ? ?6t ? 3?t ,当 t ? 1 时, ?v ? ?6 ? 3?t . ?t

(2) v ?1? ? ?6
2.已知 f ( x) ? x ,用导数定义求 f ?(1) .

1 ? ?x ? 1 ?y f ?1 ? ?x ? ? f ?1? 1 ? ?x ? 1 1 【答案】 , ? ? ? ? ?x ?x ?x 1 ? ?x ? 1 ?x 1 ? ?x ? 1

?

? ? ? ? ?
2

2

当 ?x ? 0 时,

?y 1 1 ? ,∴ f ?(1) ? . ?x 2 2 f (1 ? d ) ? f (1) 趋于( C ) 3d
D. f ?(3)

3.设函数 f ( x) ( x ? R ) 可导,则当 d 趋于 0 时, A. f ?(1) B. 3 f ?(1) C.

1 f ?(1) 3

4.计算: (1) ( x 4 ? 3x3 ? 1)? , 【答案】 (1) 4 x3 ? 9 x 2 ;

(2) ( xe x )? ,

cos x)? . (3) (sin x?

(2) e x ? xe x ? ?1 ? x ? e x ; (3) ( sin 2 x)? ? cos 2 x . (2) y ? x2 sin x; (5) y ? log2 3x 2 ? 2 x ? 1 .

1 2

5.求下列函数的导数: (1) y ? (3x2 ? 4 x)(2 x ? 1); (3) y ? 3x e x ? 2x ? e; (4) y ?

ln x ; x2 ? 1

?

?

【答案】 (1) (6 x3 ? 3x2 ? 4 x)? ? 18x2 ? 6x ? 4 ;

(2) 2 x sin x ? x 2 cos x ;

1 2 1 ( x ? 1) ? ln x?2 x x ? ? 2 x? ln x x x (3) 3 e ln 3 ? 2 ln 2 ; (4) ; ? ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2
x x x

(5)

1

? 3x

2

? 2 x ? 1? ln 2 ? ? 3 x 2 ? 2 x ? 1??

?

1 1 ? . 2 (3x ? 2 x ? 1)ln 2 ? (6 x ? 2) 2(3 x ? 2 x ? 1)(3 x ? 1)ln 2
2

6.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知曲线 y ?

x2 ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 4

1 ,则切点的横坐标为( ) 2
A. 3 【答案】A B. 2 C. 1 D.

1 2

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【解析】 函数的定义域为 (0, ??) , 函数的导数为

由 得 x2 ? x ? 6 ? 0 , x 3, x 3 1, y'? ? y'? ? ? 2 x 2 x 2

解得 x ? 3 或 x ? ?1 (舍去) ,选 A. 7.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若曲线 f ( x) ? 线分别为 l1 , l2 , 且l1 ? l2 , 则a 的值为 A.—2 【答案】A 【解析】 f '( x) ? 所以 k1k2 ? B.2 C.

x , g ( x) ? xa 在点P(1,1) 处的切

1 2

D.—

1 2

1 2 x

, g '( x) ? ? x? ?1 ,所以在点 P 的效率分别为 k1 ?

1 , k2 ? ? ,因为 l1 ? l2 , 2

?
2

? ?1 ,所以 ? ? ?2 ,选 A. 3 2 1 x ? x ? 的某一切线与 2 2


8.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】若曲线 y ? 直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切点坐标为 【答案】 (1, 2) , y ? 4 x ? 2 ,切线方程为

【解析】函数的导数为 y ' ? 3x ? 1 ,已知直线 y ? 4 x ? 3 的斜率 k ? 4 ,由 3x ? 1 ? 4 ,解得切点的 横坐标 x ? 1 ,所以 y ? 2 ,即切点坐标为 (1, 2) ,切线方程为 y ? 2 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 2 。 9.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数

f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f ( x) 的值域为 [0,??) ,则
A.3 【答案】C B.

f (1) 的最小值为( f ' (0)
D.



5 2

C.2

3 2

【解析】f '( x) ? 2ax ? b ,f '(0) ? b ? 0 , 函数 f ( x) 的值域为 [0,??) , 所以 a ? 0 , 且

4a c b ? 4a

2

? 0,




4ac ? b2 ,







c?0







f ( ?1

a )?

b, ?

c 所

f (1) a ? b ? c a?c 2 ac 4ac ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 ,所以最小值为 2,选 C. f '(0) b b b b

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10.【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】函数 y ? ln x2 在x ? e2 处的切线与坐 标轴所围成的三角形的面积为 A.

9 2 e 2

B. Se ?
2

1 2

C. 2 e

2

D. e

2

【答案】D 【 解 析 】 y' ?

1 2 2 ? 2 x ? , 所 以 在 x ? e2 处 的 切 线 效 率 为 k ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为 2 x x e

y?4?

2 ( x ? e 2 ) , 令 x ? 0 , 得 y ? 2 , 令 y ? 0 , 得 x ? ?e2 , 所 以 所 求 三 角 形 的 面 积 为 2 e

1 ? 2 ? e 2 ? e 2 ,选 D. 2
11.求过点 P ?1,1? 并且和曲线 y ? x3 相切的直线方程. 【答案】设切点为 Q a, a3 ,则切线斜率为 k ? 3a 2 ,∴

a3 ? 1 ? 3a 2 , 2a3 ? 3a 2 ? 1 ? 0 , a ?1 1 2a3 ? 2a 2 ? a 2 ? 1 ? 0 ,(a ? 1)2 (2a ? 1) ? 0 ,a ? 1 或 a ? ? , 切线为 3x ? y ? 2 ? 0 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 . 2

?

?

12.已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,在抛物线的 ? AOB 上 求一点 P,使△ABP 的面积最大. 【答案】解法一: AB 为定值,要使 S ?ABC 最大,只要点 P 到 AB 的距离最大,只要点 P 是抛物线的 平行于 AB 的切线的切点即可.设 P ? x0 , y0 ? ,由图知,点 P 在 x 轴下方,∴ y ? ?2 x , y? ? ?

1 , x

1 1 1 又 k ? ? ,∴ ? ? ? , x0 ? 4 ,即切点为 P ? 4, ?4? . 2 2 x0

1 2 y0 ? 2 y0 ? 4 ? y0 ? 1 1 4 解法二:设 P ? , y0 ? ,只要点 P 到 AB 的距离最大即可,d ? ? ( y0 ? 4)2 ? 8 , 4 4 5 5 ? ?
2

? y2 ? 4x ? y 2 ? 8 y ? 16 ? 0 ? y ? ?4 ? 4 2 ? y ? (?4 ? 4 2, ?4 ? 4 2) ,当 y0 ? ?4 时, d 最 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
大,∴ P ? 4, ?4? .


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