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直线与圆4.2.2


新课导入
直线与圆的位置关系的判定

位置关系 图形

相交

相切

相离
r d

r d d<r △>0 2

rd d=r

几何法 代数法 交点个数

d>r △<0 0

/>
△=0
1

4.2.2 圆与圆的位置 关系

教学目标
知识与能力
?理解圆与圆的位置的种类。
?利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求 两圆的连心线长。 ?会用连心线长判断两圆的位置关系。

过程与方法
外离 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r(R>r)

外切
相交 内切

d=R-r (R>r)
d<R-r (R>r)

内含

情感态度与价值观
?让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆 的位置关系,培养学生数形结合的思想。

教学重难点
重点
?用坐标法判断圆与圆的位置关系。

难点
?用坐标法判断圆与圆的位置关系。

思考
圆与圆的位置关系有哪些?

R d

r

外离

d>R+r

R d

r

外切

d=R+r

R d

r

相交

R-r<d<R+r(R>r)

R

d

内切

d=R-r (R>r)

d

内含

d<R-r (R>r)

随着连心距的增加,两圆的关系发生变化。 外离 外切 相交 d>R+r

d=R+r
R-r<d<R+r(R>r) d=R-r (R>r)

内切
内含

d<R-r (R>r)

思考
已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何根据圆的方程判 断圆与圆的位置关系?

1.将两圆的方程化为标准方程;
2.求两圆的圆心坐标和半径R、r; 3.求两圆的圆心距d; 4.比较d与R-r,R+r的大小关系.

若d<|R-r|,则两圆内含;
若d=|R-r|,则两圆内切; 若|R-r|<d<R+r,则两圆相交; 若d=R+r,则两圆外切; 若d>R+r,则两圆外离。

思考
能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位 置关系? R ? O1 R ? O1 d r ? O2

d

R ? O1 d R

r ? O2 R O1 ??r d O2

r ? O2

? ? r Od 1 O2

利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数:

?(x ? a)2 ? (y ? b) 2 ? r1 2 设方程组? 2 2 2 ?(x ? c) ? (y ? d) ? r2 的解的个数为n

△<0

n=0

两个圆相离

△=0
△>0

n=1
n=2

两个圆相切
两个圆相交

例三 已知圆C1:x2+y2-6x+8y=0和圆C2:x2+y2+2x-3=0, 试判断圆C1与圆C2的位置关系。 方法一
2 2 ? x ? y ? 6x ? 8y ? 0 ? 解:将两圆方程联立: ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 3 ? 0 ? 两式相减得: 8x ? 8y ? 3 ? 0

代入第二个圆的方程有: 128x2 ? 80x ? 183 ? 0 其判别式为Δ ? (80)2 ? 4 ? 128? (-183)? 0 所以有两个解,即:两圆相交.

方法二 将C1的方程化成标准方程,得 (x ? 3)2 ? (y ? 4)2 ? 25 圆心坐标(3,-4),半径为5。 将C2的方程化成标准方程,得

(x ? 1)2 ? y 2 ? 4 圆心坐标(-1,0),半径为2。

圆C1与C2的连心线的长为:

(3 ? 1) ? ( ?4 ? 0) ? 4 2
2 2

圆C1与圆C2的半径长之和为:

r1+r2=5+2=7
圆C1与圆C2的半径长之差为:

r1-r2=5-2=3
因为 3 ? 4 2 ? 7
所以两圆相交。

课堂小结
R ? O1
d

r ? O2 R

R ? O1 d

r ? O2

两圆外离 R ? O1 d

两圆外切
? ? r Od 1 O2 O1 ? ?r d O2 两圆内含 R

r ? O2

两圆相交

两圆内切

判断两圆的位置关系的两种方法: 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系。 若d<|R-r|,则两圆内含; 若d=|R-r|,则两圆内切;

若|R-r|<d<R+r,则两圆相交;
若d=R+r,则两圆外切;

若d>R+r,则两圆外离。

2.联立两圆方程,看截得解得个数.

△<0 △=0 △>0

n=0 n=1 n=2

两个圆相离 两个圆相切 两个圆相交

高考链接
2 2 O : x ? y ? 2x ? 0 1.(2008 重庆)圆 1
2 2 和圆O2 : x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是 ( B



A.相离

B.相交

C.外切

D.内切

【解析】由题意,得 O1 (1,0), r1 ? 1, O2 (0, 2), r2 ? 2, B | O1O2 |? 5 ? 3 ? r1 ? ,故选 r2

随堂练习
1.判断下列两圆的位置关系。 (1)圆A:(x-3)2+(y+2)2=1与圆B:(x-7)2+(y-1)2=36的 位置关系是___________ 内切 (2)圆A:x2+y2=1与圆B:x2+y2+6x-8y-24=0的位置 内含 关系是___________ 2 .已知两圆(x-3)2 + (y-2)2=25和(x-1)2+ (y-2)2=r2相内切 ,则半径r= ( B ) A .2或8 B.3或7 C.3 D. -2或8

3.两圆半径是方程 2x2-10x+3=0 的两个实数根 , 当两圆的圆心距等于 7 时,它们的位置关系是( D )

A. 相交

B. 外切

C. 内切

D. 外离

4.两圆半径之比为 1 : 2 ,已知这两个圆内切时的圆心 距为5,那么这两圆相交时圆心距 d 的取值范围为( B ) A.d>5 C.5<d<10 B.5<d<15 D.d>15

5.把自行车的两个轮子看作两个圆,则它们的位置 关系_______ 个。 0 外离 公共点______ 内含 。 6.两个同心圆的位置关系是:_______

7.圆O1和圆O2的半径分别为R、r,圆心距为d,下列 情况下圆O1和圆O2的位置关系怎样? (1)R=4 r=3 d=8
(3)R=1 r=6 d=7

外离
外切

(2)R=4 r=3 d=1
(4)R=5 r=3 d=3

内切
相交

(5)R=5 r=3 d=1

内含

8.两圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距 3或 7 。 为2,则另一个圆的半径为_______ 9.已知⊙O1、⊙O2的半径为r1、r2,如果r1=5,r2= 3,且⊙O1、⊙O2相切,那么圆心距d=________ 8或 2 。

10.已知两圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2: x2+y2-4x-4y-2=0 求两圆的交点坐标及公共弦所 在直线方程。 y
解:联立方程组,得 x2+y2+2x+8y-8=0 ① x2+y2-4x-4y-2=0 ② 解得x2-2x-3=0 交点坐标A(-1,1),B(3,1) 直线方程为 x+2y-1=0 A C2(2,2) B x

C1 (-1,-4)

11.已知两圆外切,圆心距为15cm,一条外公切

线的长为 10 2 ,求这两个圆的半径。 B A C O1 O2
分析:R + r = 15,R – r = 5 所以:R=10,r=5。

习题答案
解法一: 将C1的方程化成标准方程,得 3 2 9 2 (x ? 1) ? (y ? ) ? 2 4 3 3 圆心坐标 ( ?1, ? ) ,半径为 r1 ? 2 2 将C2的方程化成标准方程,得 3 2 17 2 (x ? 2) ? (y ? ) ? 2 4 17 3 圆心坐标 ( ?2, ? ) ,半径为 r2 ? 2 2

圆C1与C2的连心线的长为:
3 3 2 (-1? 2) ? ( ? ? ) ? 1 2 2
2

圆C1与圆C2的半径长之和为:
3 ? 17 r1 ? r2 ? 2

圆C1与圆C2的半径长之差为:
| r1 ? r2 |? 17 ? 3 2

因为

17 ? 3 3 ? 17 ?1? 2 2

所以两圆相交。

解法二:
2 2 ? x ? y ? 2x ? 3y ? 1 ? 0 ? 解:将两圆方程联立 ?: 2 2 ? x ? y ? 4x ? 3y ? 2 ? 0 ? 1 两式相减得:x ? 2 代入第一个圆的方程有: 4y 2 ? 12y ? 1 ? 0

其判别式为Δ ? 144 ? 16 ? 0 所以有两个解,即:两圆相交。


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