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:不等式选讲


一、填空题 1 错误!未指定书签。 .若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是_________ 错误! 未指定书签。 2. 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______. 二、解答题 1 错误!未指定书签。 .设 a, b, c 均为正数,且 a

? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

2 错误!未指定书签。 .已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 . (I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f ? 2 x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x |1 ? x ? 2? ,求 a 的值. 3 错误!未指定书签。 .设不等式 x ? 2 ? a (a ? N ) 的解集为 A ,且
*

?

?

3 1 ? A, ? A. 2 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值. 4 错误!未指定书签。 .已知 a ? b >0,求证: 2a 3 ? b 3 ? 2ab 2 ? a 2 b 5 错误!未指定书签。 .已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

6 错误!未指定书签。 .在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图 6 所示的路径 MM 1M 2 M 3 N 与路径MN1 N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有 三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B ( ?10, 0), C (14, 0) 处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心.

1

(I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置, 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.

2

一、填空题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是_________ 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )(不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1,

mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.

二、解答题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) ) 选修 4—5;不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? 【答案】

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 . (I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f ? 2 x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x |1 ? x ? 2? ,求 a 的值. 【答案】
3

?

?

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )不等式选 讲:设不等式 x ? 2 ? a (a ? N ) 的解集为 A ,且
*

3 1 ? A, ? A. 2 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为

3 1 3 1 ? A ,且 ? A ,所以 ? 2 ? a ,且 ? 2 ? a 2 2 2 2

解得

1 3 ? a ? ,又因为 a ? N * ,所以 a ? 1 2 2

(Ⅱ)因为 | x ? 1| ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 2 时取得等号,所以 f ( x) 的最小值为 3 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含 附加题) )D.[选修 4-5:不定式选讲]本小题满分 10 分. 已知 a ? b >0,求证: 2a 3 ? b 3 ? 2ab 2 ? a 2 b [必做题]第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 【答案】D 证明:∵ 2a 3 ? b 3 ? 2ab 2 ? a 2 b ? 2a ? 2ab
3

?

2

? ? (a b ? b
2

3

) ? 2a a 2 ? b 2 ? b( a 2 ? b 2 )

?

?

4

? a 2 ? b 2 (2a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(2a ? b)
又∵ a ? b >0,∴ a ? b >0, a ? b ? 0 2a ? b ? 0 , ∴ (a ? b)(a ? b)(2a ? b) ? 0 ∴ 2a 3 ? b 3 ? 2ab 2 ? a 2 b ? 0 ∴ 2a 3 ? b 3 ? 2ab 2 ? a 2 b 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

?

?

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

【答案】当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

1 ? ? 5 x , x ? ? 2 ? 1 ? ? x ?1, 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
其图像如图所示

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2
4 ]. 3

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ?

∴ a 的取值范围为(-1,

5

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到 达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图 6 所示的路径 MM 1M 2 M 3 N 与路径MN1 N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B ( ?10, 0), C (14, 0) 处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心.

(I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置, 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.

【答案】解: 设点P( x, y ), 且y ? 0. (Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d ,

等于水平距离 ? 垂直距离,即d ?| x - 3 | + | y - 20 | ,其中 y ? 0, x ? R.
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识. 点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d = 水平距离之和的最小值 h + 垂直距离之和的最 小值 v.且 h 和 v 互不影响.显然当 y=1 时,v = 20+1=21; 显然当x ? [?10,14]时 ,水平距离之和 h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ? 24 ,且当 x=3 时, h=24.因此,当 P(3,1)时,d=21+24=45. 所以,当点 P(x,y)满足 P(3,1)时,点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.

6


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