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二项式定理测试题及答案


二项式定理测试题及答案
1.有多少个整数 n 能使(n+i) 成为整数(B A.0 B.1 C.2 2.
8
4
4

) D.3

? 2 ? x ? 展开式中不含 ..x 项的系数的和为(B )
B.0 C.1 D.2
100 ,则 S 的个位数字是(C ) ? A100

/>
A.-1

1 2 3 3.若 S= A 1 ?A 2 ?A 3 ?

A 0

B 3

C 5

D 8

4.已知(x- 是( C ) 8 A.2
3

a 8 ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和 x
B.3
8

C.1 或 3

8

D.1 或 2

8

5.在 ( 2 ? 5)100 的展开式中,有理项的个数是( D ) A.15 个 B.33 个
24

C.17 个

D.16 个 ) D.6 项

? 1 ? 6.在 ? ? x?3 ? ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C x? ?
A.3 项
5

B.4 项
6 3

C.5 项

7.在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( C ) A、-5 B、 5 C、10 D、-10 8. (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 x 3 的系数为( A.6 B.-6 C.9
5 3

A ) D .-9 )

9.若 x= A.第一项

1 10 ,则(3+2x) 的展开式中最大的项为(B 2
B.第三项 C.第六项 D.第八项

1 n 4 10.二项式 (2 x ? 3 ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( A ) 3x
A.7 B.12 C.14
2

D. 5 )

10 11.设函数 f ( x) ? (1 ? 2 x) , 则导函数 f ?( x) 的展开式 x 项的系数为(C

A.1440 12.在 ( x ? (A)51

B.-1440

C.-2880

D.2880

1 ? 1)5 的展开式中,常数项为( B ) x
(B)-51
? ax3 ? bx2 ?

(C)-11

(D)11

13.若 ( x ? 1)n ? xn ? A.9 (A) 9 解:根据左边 B.10
2 10

? 1(n ? N? ) ,且 a : b ? 3 :1 ,则 n 的值为( C )

C.11 (B)10

D.12 ) (C) ? 9 (D) ? 10
9

9 10 14.若多项式 x ? x = a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1) ,则 a9 ? (

x

10

的系数为 1,易知

a

10

? 1 ,左边 x 的系数为 0,右边 x 的系数为

9

a ?a C
9 10

9 10

? a9 ? 10 ? 0 ,∴
n

a

9

? ?10

故选 D。

15.若 x(1+x) 的展开式中的每项的系数都用这一项的 x 的指数去除,则得到的新系数和等 于( A ) n+1 n n-1 n A.(2 -1)/(n+1) B.(2 -1)/(n+1) C.(2 +n-2)/(n+1) D.(n·2 +1)/(n+1) 16.设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为
2 3 20 a≡b(mod m).已知 a=1+C 1 20 +C 20 ·2+C 20 ·2 +…+C 20 ·2 ,b≡a(mod 10),则 b 的值可以
2 19

是( B ) A.2015

B.2011

C.2008

D.2006

sin ? ? x) 6 展开式的常数项为 20,则 ? 值为( B ) 17.若二项式 ( x ? ? ? ? A. 2k? ? ( k ? Z ) B. 2k? ? ( k ? z ) C. D. ? 2 2 2 2
18.53 被 8 除的余数是( A ) A、1 B、2 C、3
10

D、7

1 2 2 3 3 4 4 19 已知 x ? 2 ? i ,设 M ? 1 ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ,则 M 的值为( B )

A 4 B -4i C 4i D 6 20.数(1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近似值是………………………( C ) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44 21.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的系数是…………………( B )
?1 A. C n n

B. C 2 n

C. C 2 n ?1

D. C 2 n ?1

二.填空题
x?7 2 20、已知 3 Cx ?3 ? 5 Ax?4 ,则 x=_____11_____________

21、 (x-1) (x+2) (x-5) (x+7) (x-10)中 x 的系数为_____-7__________ 22.若对任意实数 x, y 都有 ?x ? 2 y?5 ? a0 ?x ? 2 y?5 ? a1 ?x ? 2 y?4 y ? a2 ?x ? 2 y?3 y 2 ? a3 ?x ? 2 y?2 y 3 ?

4

? a4 ?x ? 2 y ?y 4 ? a5 y 5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?
23 设 a 为 sin x ? 3 cos x ? x ? R ? 的最大值, 则二项式 (a x ? 是 24 -192

-243

.

1 x

)6 展开式中含 x 2 项的系数

已 知 等 式 (1 ? x ? x 2 ) 3 ? (1 ? 2x 2 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? a14 x14 0 .

成 立 , 则

a1 ? a2 ? a3 ? ? ?a13 ?a14 的值等于

25、 ( x ? 2 ) 2006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的所有项的和为 S,当 x ? 于 26 设二项式 (33 x ?

2 时,S 等

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 P ,所有二项式系数之和为 S ,若 x

P+S=272,则 n= . 三.解答题 27、某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种, 现在餐厅准备了五种不同的荤菜, 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择, 则餐厅至少还 需准备不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程)
2 解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C5 ? 10 种,设素菜为 x 种,则

2 2 Cx ? C5 ? 200解得 x ? 7 ,

28 、已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的二项式系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, 求

1 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. x
解: (1)n=5,—8064 4 (2)—15360x 解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 。 ① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ?C10 ? 2C10 ∴? r , 得 ,即 ? ? r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 r ?1 ? ? ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10

1 x

1 x



8 11 ? r ? ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项. 3 3
3

29、(12 分)在二项式 ( x ?

1 2 x
3

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中各项的系数和。
1 解:展开式的通项为 Tr ?1 ? (? ) r C r nx 2
n ?2r 3

,r=0,1,2,…,n

1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 由已知: (? ) C n , ( )C n , ( ) C n 成等差数列,∴ 2 ? C n ? 1 ? C n ∴ n=8 2 2 2 2 4
(1) T5 ?

35 8

(2) T5二项式系数最大

(3)令 x=1,各项系数和为

1 256

30.已知 ( x ?

1 2? x
4

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列.

(1)求展开式中所有的 x 的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:(1)展开式前三项的系数分别为

1 n 2 1 2 1 ? , C n ? ( ) ? n(n ? 1) . 2 2 2 8 n 1 由题设可知: 2 ? ? 1 ? n( n ? 1) 2 8
1 2 Cn ? 1, C n ?

解得:n=8 或n=1(舍去). 当n=8 时, Tr ?1 ? C ( x )
r 8 8?r

? (2 ? x ) = C ? 2 ? x
4
r 8

?r

?r

3 4? r 4 .

据题意,4-

而 0? r ?8,∴ r =0,4,8.

3 r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数, 4

故 x 的有理项为: T1 ? x 4 , T5 ?

35 1 2 x , T9 ? x . 8 256

(2)设第 r +1 项的系数 t r ?1 最大,显然 t r ?1 >0, 故有

t r ?1 t ?1 且 r ? 2 ?1. t r ?1 tr



C8r ? 2 ? r t r ?1 9?r = r? , ? 1 ? r ?1 tr 2r C8 ? 2


9?r ?1,得 r ?3. 2r



C r ?1 ? 2 ? r ?1 2(r ? 1) t r ?2 = 8 r ?r ? , t r ?1 8?r C8 ? 2


2(r ? 1) ?1,得 r ?2. 8?r
5 2
7 4

∴ r =2 或 r =3,所求项分别为 T3 ? 7 x 和 T4 ? 7 x . 31、(12 分)已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式
m n

中 x 的系数为 7, (1) 试求 f ( x) 中的 x 的系数的最小值;9 (2) 对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数;5
2 3 2

) 的近似值 (3) 对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n , 求此时 f (0.003 (精确到 0.01) ;
2.02

2

1 n ) 展开式中有第六项的二项式系数最大,求: (1) 展开式中不含 x 项; x2 1 1 1 2 1 3 1 n 0 n (2)C n- C n+ C n- C n+…+(-1) · n C n 的值. 2 4 8 2
32、已知(x +
3

答案.(1)210,(2)

1 1024
m n
12

33.在二项式(ax +bx ) (a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大 系数项恰是常数项. (1)求它是第几项; (2)求

a 的最值. b
m
12-r

r 解: (1)设 T r ?1 =C 12 (ax )

r · (bx ) =C 12 a
n r

12-r

brxm(12-r)+nr 为常数项,则有 m(12-r)

+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项. (2)∵第 5 项又是系数最大的项,
4 3 C 12 a b ?C 12 ab①
8 4 9 3

∴有
4 5 C 12 a b ?C 12 ab②
8 4 7 5

12 ? 11 ? 10 ? 9 8 4 12 ? 11 ? 10 9 3 ab? ab, 4 ? 3? 2 3? 2 a 9 9 ∵a>0,b>0,∴ b?a,即 ? . 4 4 b a 8 a 8 9 由②得 ? ,∴ ? ? . 5 b 4 5 b a 9 8 故 的最大值、最小值分别为 、 . 4 5 b
由①得
1 n ?1 2 n?2 35. 已知 Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? n ?1 求证: 当 n 为偶数时,Sn ? 4n ? 1 能 ? Cn 2 ? 1(n ? N? ) ,

被 64 整除. 证明: Sn ? (2 ? 1)n ? 3n ,

∵ n 为偶数,设 n ? 2k (k ? N? ) ,
1 k ?3 ∴Sn ? 4n ? 1 ? 9k ? 8k ? 1 ? (8 ? 1)k ? 8k ? 1 ? (Ck0 8k ?2 ? Ck 8 ?

? Ckk ?2 ) · 82 ,

(?)

当 k ? 1 时, 9k ? 8k ? 1 ? 0 ,显然 Sn ? 4n ? 1 能被 64 整除; 当 k ? 2 时, (?) 式能被 64 整除.
∴ n 为偶数时, Sn ? 4n ? 1 能被 64 整除.

例 4. 已知二项式 ( x ?

2 n * ) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的 2 x

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1,

C ∴ C

4 n 2 n

? (?2) 4 ? (?2) 2

?

10 ,解得 n=8 1
8

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为

C C

r ?1 8

? 2 n ? r , C 8 ? 2 r , C 8 ? 2 r ?1 , ? 2 n ? r ? C 8 ? 2 r 并且 C 8 ? 2 r ?1 ? C 8 ? 2 r ,解得 5?r?6;
r r ?1 r

r

r ?1

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:
r ?1 8

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ?

1 1 ;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ? 6 11 x x


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