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2014-2015学年点拨高中数学必修4(R-A版)过关测试卷:第二章+平面向量+过关测试卷


第二章测试卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.下列命题中,真命题的个数为(其中 a ? 0, b ? 0 ) ( ① a ? b ? a ? b ? a 与 b 方向相同 )

② a ? b ? a ? b ? a 与 b 方向相反

③ a ? b ? a ? b ? a 与 b 有相等的模 ④ a ? b ?

a ? b ? a 与 b 方向相同 A.0 B.1 C.2 D.3

2.〈广东文〉若向量 a =(1,1), b =(2,5),c =(3,x),满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=( )A.6 B.5 C.4 D.3

3.已知两个力 F1 、 F2 的夹角为 90°,它们的合力 F 的大小为 10 N, 合力 F 与 F1 的夹角为 60°,则 F1 的大小为( A. 5 3 N B.5 N C.10N ) D. 5 2 N

4.在直角坐标系 xOy 中, i 、 j 分别是与 x、y 轴正方向同向的单位向 量.若在直角三角形 ABC 中, AB ? 2i ? j , AC ? 3i ? kj ,则 k 的可能值 个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知 a ? 3 b ? 0 ,且关于 x 的方程 2x2 ? 2 a x ? 3a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 夹角的取值范围是(
π? ?π ? ? π 2π ? )A. ? ?0, 6 ? B. ? 3 , π ? C. ? 3 , 3 ? ? ? ? ? ? ? π ? D. ? ? 6 , π? ? ?

6.已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2), ?a ? b 与 b 垂直,则 ? 等 于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

7.设平面内有四边形 ABCD 和点 O, 若 OA ? a , OD ? d , OB ? b , OC ? c , 且 a ? c ? b ? d ,则四边形 ABCD 为( A.菱形 B.梯形 ) C.矩形 D.平行四边形

8.已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为 A(a,0)、B(0,a),其中常 数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且有 AP ? t AB (0≤t≤1),则 OA ? OP 的

最大值为(

)A.a

B.2a

C.3a

D. a

2

二、填空题(每题 6 分,共 18 分) 9.已知 a =(2,3),b =(-4,7),则 b 在 a 方向上的投影为 .

10.已知 e 1 , a ? 2e1 ? e 2 , b ? ?3e1 ? 2e2 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量, 则 a 与 b 的夹角θ = .

11.〈上海〉在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、 N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 围是 .
BM BC ? CN CD

,则 AM ? AN 的取值范

三、解答题(每题 14 分,共 42 分) 12.如图所示,在△AOB 中,若 A,B 两点的坐标分别为(2,0), ( - 3 ,4) ,点 C 在 AB 上,且 OC 平分∠ BOA ,求点 C 的坐标 .

13. 如 图

2 , 在 平 行 四 边 形

ABCD

中 ,

1 2 AB ? a, AD ? b, CE ? CB, CF ? CD .(1)用 a , b 表示 EF ; 3 3

图2 (2)若 a ? 1, b ? 4 ,∠DAB=60°,分别求 EF 和 AC ? FE 的值.

考答案及点拨 一、 1.C 点拨:对于③, 当 a 与 b 互相垂直时,a ? b ? a ? b , 因此③错, 对于④,当 a 与 b 方向相同且 b ? a 时才有 a ? b ? a ? b ,因此④错,① ②正确,故选 C. 2.C 点拨: ?8a ? b? ? c ? ?6,3? ? ?3, x? ? 18 ? 3x ? 30 , ∴x=4.故选 C. 3.B 点拨: F1 = F ? cos60°=5 N. 4.B 点拨:不妨取 A(0,0),则 B(2,1),C(3,k), BC ? ?1, k ?1? .当 AB ⊥ BC 时 , AB ? BC ? 2 ? k ? 1 ? 0 , ∴ k = - 1. 当 AB ⊥ AC 时 ,
AB ? AC ? 6 ? k ? 0 ,∴ k ? ?6 .当 AC⊥BC 时, AC ? BC ? 3 ? k 2 ? k ? 0 ,无实

数根.所以满足要求的 k 的可能值个数是 2. 5.B 点拨:设 a , b 的夹角为θ ,∵关于 x 的方程 2x2 ? 2 a x ? 3a ? b ? 0 有 实根, ∴ ? = 4 a ? 24a ? b ≥0,即 a ? 6a ? b .∴ a ? 6 a ? b cos ? ,又∵ a ? 3 b ? 0 . ∴ cos ? ? ,∵ 0 ? ? ?π,∴ ? ? ?π. 6.C 点拨: ?a ? b ? ?? ? 4,?3? ? 2? , ∵ ?a ? b 与 b 垂直, ∴ ?? ? 4,?3? ? 2? ? ?4,?2? ? 4?? ? 4? ? 2?? 3? ? 2? ? 10? ? 20 ? 0 , ∴ ? ? ?2 . 7.D 点拨: AB ? OB ? OA ? b ? a, CD ? OD ? OC ? d ? c ? ??b ? a? ? BA,
// CD , ∴ AB ?
1 2 π 3
2 2 2

∴四边形 ABCD 为平行四边形. 8.D 点拨: ∵ AP ? t AB , ∴ OP ? OA ? AP ? OA ? t OB ? OA ? ?1 ? t ?OA ? tOB

?

?

? ?a ? at, at?, ∴ OA ? OP ? a 2 ?1 ? t ? ,∵ 0 ? t ? 1 ,∴ OA ? OP ? a 2 .

二、9. 13

点拨: b 在 a 方向上的投影为

a ? b 13 = = 13 . a 13
2 2

10.120° 点拨: 易知 a ? b ? ?2e1 ? e2 ? ? ?? 3e1 ? 2e2 ? ? ?6 e1 ? e1 ? e2 ? 2 e2 ? ? ,
a?

7 2

?2e1 ? e2 ?2

? 7, b ?

?? 3e1 ? 2e2 ?2

? 7 , ∴ cos? ?

a ?b 1 ?? , ∴ a?b 2

? ? 120 ? .

11.[1,4] 点拨:以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴,建立坐标系如答图 1,

答图 1 ∵AB=2,AD=1,

? A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),
设 M(2,b),N(x,1), ∵
BM BC ? CN CD



∴b ?

2? x ? 2? x? , ∴ AN ? ?x,1?, AM ? ? 2, ?, 2 2 ? ? 3 2

∴ AM ? AN ? x ? 1?0 ? x ? 2?, ∴ 1 ? x ? 1 ? 4, 即 1 ? AM ? AN ? 4. 故答案为: [1,4]
3 2

三、12.解:设点 C 坐标为(x,y), ∵ cos ?AOC ? cos ?BOC , 且 cos?AOC ? ∴
OA ? OC OA ?
OA ? OC OA ? OC , cos?BOC ? OB ? OC OB ? OC ,

OB ? OC OB

,∴

?2,0? ? ?x, y ? ? ?? 3,4? ? ?x, y ? ,
2 5

∴y=2x.① 又∵ BC 与 AC 共线, BC ? ?x ? 3, y ? 4?, AC ? ?x ? 2, y?, ∴ ?x ? 3? ? y ? ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 0, ∴ 4 x ? 5 y ? 8 ? 0. ②
4 ? x? , ? 7 由①,②联立解之得 ? ? ?y ? 8 . ? 7 ?

4 8? ∴ C 点的坐标为 ? ? , ?. ?7 7?

13.

答图 2 分析: (1)利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; (2)利用数量积运算法则和性质即可得出. 解: (1)如答图 2 所示,
2 1 2 1 2 1 EF ? CF ? CE ? CD ? CB ? ? AB ? AD ? ? a ? b. 3 3 3 3 3 3

(2) ∵ a ? 1, b ? 4, ?DAB ? 60?, ∴ a ? b ? a ? b ? cos60? ? 2.
? ∴ EF ? ? ?? a ? b? ? 2 ? 3 1 3 ?
2

4 2 4 1 2 3 a ? a ? b ? b2 ? . 9 9 9 3

易知 AC ? AB ? AD ? a ? b ,
? 2 2 ∴ AC ? FE ? ?a ? b? ? ? ? a ? b? ? a ? a ? b ? b ? ? ? 2 ?3 1 3 ? 2 3 1 3 1 3 2 3 2 16 ? ?4 . 3 3

14.解: (1)①对于 F ?x? ? x2 ? ax ? 3 ,令 F ?x ? ? 0 ,得 x 2 ? ax ? 3 ? 0 , ∵ ? = a2 ? 12 ? 0 ,

答图 3 ∴函数 F(x)有 2 个零点. ② F ?x ? ? x 2 ? ax ? 3 ? ? ?
? x 2 ? ax ? 3, F ?x ? ? 0,
2 ? ?? x ? ax ? 3, F ?x ? ? 0,

答图 4

当 a≤0 时,图象如答图 3 所示, 当 a>0 时,图象如答图 4 所示. 由题意得 ?
?a ? 0, 解得 ? 2 ? a ? 0 . ?F ?1? ? 0,

(2)由题意得 G?x ? ? ?

? x 2 , x ? 1, ?ax ? 3, x ? 1,

由题意易知 P, Q 两点在 y 轴的两侧, 不妨设 P 点坐标在 y 轴的左侧, 设 P?x1, x12 ?,若 ? 1 ? x1 ? 0 ,则 Q?? x1, x12 ?, OP ? OQ ? x12 ?x12 ? 1? ? 0 恒成立. 若 x1 ? ?1 ,则点 Q?? x1,?ax1 ? 3?, OP ? OQ ? ?x12 ? x12 ?? ax1 ? 3? ? 0 恒成立, ∴ ax1 ? 2 恒成立,∵ x1 ? ?1, ∴ a ?
2 恒成立,易得 a ? ?2 . x1

点拨: (1)利用函数 F ?x? ? f ?x? ? g ?x? 求出表达式, ①利用判别式的符号,直接判断函数 F ?x ? 的零点个数; ②通过函数 F ?x ? 在[0,1]上是减函数,化简函数的表达式,利用函 数的对称轴,以及 1 处的函数值,列出不等式组,求实数 a 的取值范

围. (2)通过 G?x ? ? ?
? f ?x ?, x ? 1, 求出函数 y ? G?x ? 的表达式,设出点 P 的坐 ? g ?x ?, x ? 1

标、点 Q 的坐标,通过 OP ? OQ ? 0 ,且 PQ 的中点在 y 轴上,求出 a 的取值范围.


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