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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章§10.4


§10.4 随机事件的概率

§ 10. 4 随 机 事 件 的 概 率

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.概率与频率 (1)在相同条件下,大量重复进行同一试验,随机 事件A发生的频率会在

某个常数附近摆动,即随机 稳定性. 我们把这个常数 事件A发生的频率具有_________ 叫作随机事件A的_______ 概率.记作_______ P(A). (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但 是频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常人 们用_____ 概率 来反映随机事件发生的可能性的大 小.有时也用____ 频率来作为随机事件概率的估计值.

思考感悟 频率和概率有什么区别? 【思考· 提示】 频率随着试验次数的改变而变

化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽 象.当试验次数较多时频率向概率靠近,只要 次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件 的概率,概率是一个反映频率的稳定值.

2.互斥事件与对立事件的概率 (1)一个随机试验中,我们把一次试验中不能同时 发生的两个事件A与B称作___________ 互斥事件. (2)给定事件A和B,我们规定A+B为一个事件, A和B至少有一个发生. 事件A+B发生是指_____________________ (3)在一个随机试验中,如果随机事件A和B是互斥

事件,那么有P(A+B)=______________ P(A)+P(B).

(4)在每一次试验中, 两个不会同时发生, 并且一定 有一个发生的事件 A 和 A 称为对立事件或 ____________ 互逆事件. (5)相互对立的两个事件 A 和 A 不会同时发生,并 且 一 定 有 一 个 发 生 . 其 概 率 满 足 等 式 P( A ) =
1-P(A). ____________
(6)一般地,如果随机事件A1,A2,…,An中任意 两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)= P (A1)+P(A2)+…+P(An). ____________________

课前热身

1.(教材习题改编)下列说法正确的是( ) 3 A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为 ,则比赛 5 5 场,甲胜 3 场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%,前 9 个 病人没有治愈,则第 10 个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中,预报明天降水概率为 90%,是指 降水的可能性是 90%
答案:D

2.(2011 年黄山调研)同时抛掷三枚均匀的硬币, 出现一枚正面,二枚反面的概率等于( ) 1 1 A. B. 4 3 3 1 C. D. 8 2
解析:选 C.抛掷三枚硬币出现的结果共 23=8(种) 情况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反), (反,反,正)3 种. 3 ∴P= ,故选 C. 8

3.从1,2,3,…,9这9个数中任取两数,其中: ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( ) A.① B.②④ C.③ D.①③ 解析:选C.③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数 或一奇一偶”,而从1~9中任取两数共有三个事件: “两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”,故“至少 有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件,所以选 C.

4.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的
概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击 中不超过8环的概率为________. 答案:0.5 5.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五

个小球,这些小球除了标注的数字外完全相
同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注 的数字之和为3或6的概率是________. 3 答案: 10

考点探究?挑战高考

考点突破 随机事件及其概率 判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随

机事件,主要是依据在一定的条件下,所要求
的结果是一定出现、不可能出现,还是可能出

现、可能不出现.

例1 盒中只装有4只白球5只黑球,从中任意取出

一只球. (1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多 少? (2)“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多 少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的 概率是多少? 【思路点拨】 根据各类事件的定义和概率的含 义进行解答. 【解】 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本 不可能发生,因此,它是不可能事件,它的概率 是0.

4 (2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是 . 9 (3)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然 发生,因此,它是必然事件,它的概率为 1.
【名师点评】 随机事件是指在一定条件下可能

发生也可能不发生的事件,判断一个事件是否为 随机事件,就是看它是否可能发生,这不同于判 断一个命题的真假,不要把两者混淆.

变式训练1

一个口袋内装有5个白球和3个黑球,

从中任意取出一只球. (1)“取出的球是红球”是什么事件?它的概率是多 少? (2)“取出的球是黑球”是什么事件?它的概率是多

少?
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的 概率是多少? 解:(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球, 故“取出的球是红球”是不可能事件,其概率为0.

(2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球也 可能是黑球,故“取出的球是黑球”是随机事件, 3 它的概率为 . 8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取 出一个球不是黑球,就是白球,因此,“取出的 球是白球或黑球”是必然事件,它的概率是 1.

随机事件的概率与频率

频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反
映事件发生的可能性大小,但无法从根本上刻画

事件发生的可能性大小.但从大量的重复试验中
发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就

会稳定于某一固定的值,该值就是概率.

例2 某射击运动员在同一条件下进行练习,结

果如下表所示:

射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中 10 环 8 19 44 93 178 453 的次数 m 击中 10 环 m 的频率 n
(1)计算表中击中10环的频率; (2)该射击运动员射击一次,击中10环的概率约为

多少?

m 【思路点拨】 (1)将 m,n 的值逐一代入 计算. n (2)观察各频率能否在某个常数附近摆动, 用多次试 验的频率估计概率.
【解】 (1)击中10环的频率依次为

0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)随着试验次数的增加,频率在常数0.9附近摆 动,所以估计该运动员射击一次击中10环的概率

约是0.9.

【名师点评】

概率可看做频率在理论上的期望

值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的
大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越

多时频率向概率靠近.只要次数足够多,所得频
率就近似地当做随机事件的概率.

互斥事件、对立事件的概率

1. 应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是 互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是 直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互 斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计 算. 二是间接求法, 先求此事件的对立事件的概率, 再用公式 P(A)=1-P( A ),即运用逆向思维(正难则 反),特别是“至多”,“至少”型题目,用间接求 法就显得较简便.

例3 一盒中装有大小和质地均相同的12只小球,

其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从 中随机取出1球,求: (1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率. 【思路点拨】 可利用互斥事件和对立事件概率 的计算公式求解. 【解】 法一:(1)从 12 只球中任取 1 球是红球有 5 种取法,是黑球有 4 种取法,是红球或黑球共有 5+4=9(种)不同取法, 而任取 1 球共有 12 种取法. 9 3 ∴任取 1 球是红球或黑球的概率为 P1= = . 12 4

(2)从 12 只球中任取 1 球是红球有 5 种取法,是黑 球有 4 种取法,是白球有 2 种取法. 从而任取 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P2= 5+4+2 11 = . 12 12 法二:记事件 A={任取 1 球为红球};B={任取 1 球为黑球};C={任取 1 球为白球};D={任取 1 球 为绿球}, 5 4 2 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 12 12 12 12

(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P1=P(A)+P(B)= + = . 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率 为 P2=P(A)+P(B)+P(C) 5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12 1 11 或 P2=1-P(D)=1- = . 12 12

【名师点评】

(1)解决此类问题,首先应结合互

斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件 或对立事件,再选择概率公式进行计算.

(2)在解决“至多”、“至少”的有关问题时,常考虑
应用对立事件的概率公式.

变式训练1 国家射击队的队员为在世界射击锦 标赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期 训练,某队员射击一次,命中7~10环的概率如 下表所示:

命中环数
概率

10环
0.32

9环
0.28

8环
0.18

7环
0.12

若该射击队员射击一次,求: (1)射中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率.

解:(1)设A=“射中9环或10环”,Ai=“射中i环

”(i∈N+,i≤10)
则P(A)=P(A9)+P(A10)=0.32+0.28=0.60.

(2)设B=“至少命中8环”,
则P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)

=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)设C=“命中不足8环”, 则P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

方法感悟 方法技巧 1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定

条件下发生的,当条件变化时,事件的性质也发
生变化.(如例1)

2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两
种特殊情况,因此,任何事件发生的概率都满足:

0≤P(A)≤1.(如例1)

3.随机事件在相同条件下进行大量试验时, 呈现规 m 律性,且频率 n 总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事 件 A 的概率.(如例 2) 4.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法: 一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和,然后 利用概率加法公式求其值;二是求此事件 A 的对立 事件 A 的概率, 然后利用 P(A)=1-P( A )可得解. (如 例 3)

失误防范 1.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立 事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥 事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要 不充分条件. 2.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指 由各个事件所含的结果组成的集合彼此

互不相交, 事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的 集合, 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的 补集. 3. 需准确理解题意, 特别留心“至多??”, “至 少??”,“不少于??”等语句的含义.

考向瞭望?把脉高考

考情分析

本节知识点在每年高考中均有涉及,主要考查随
机事件的概率和互斥事件、对立事件的概率.题

型一般为选择题和填空题,有时也有解答题,综
合考查概率的应用,在客观题中一般与排列、组

合知识相联系.

预测2012年高考仍有考查随机事件概率的试题,
且与生活中的实际问题相结合.要着重理解等可

能事件、互斥事件、对立事件的意义及其相互关
系,掌握计算上述三种概率的公式,并能灵活运

用解决一些简单的实际问题,等可能事件的概率
题在高考试卷中一定会出现.一般是将独立事件

或互斥事件问题结合起来命题.

真题透析


(2009年高考福建卷)一个容量为100的样本,

其数据的分组与各组的频数如下: (10,2 (20,3 (30,4 (40,5 (50,6 (60,7 组 (0,10] 0] 0] 0] 0] 0] 0] 别 频 12 13 24 15 16 13 7 数 则样本数据落在(10,40]上的频率为( A.0.13 C.0.52 ) B.0.39 D.0.64

【思路点拨】

计算出样本数据落在(10,40]上的

频数,根据频率的意义计算求解.

【解析】 由题意可知数据落在(10,40]上的频数为: 13+24+15=52,由频率的意义可知所求的频率是 52 =0.52.故选 C. 100
【答案】 C

【名师点评】 (1)解这类问题时通常出现的错误 是由疏忽大意造成的,如本题中把第二、第三、 第四小组的频数之和计算错误,或把数据看错 等. (2)本题给出的是频数分布表,要求的数据组是频 数分布表中三个小组数据的并集,由于在频数分 布表中各个小组的数据没有重复,故其频数就是 这三个小组的频数之和.在解决数据分布表问题 时,要注意通过各个小组数据的分布研究更大范 围内的数据分布的这种累加方法.

名师预测 1.某城市2010年的空气质量状况如下表所示:

污染指 数T 概率 p

30 1 10

60 1 6

100 110 130 140 1 3 7 30 2 15 1 30

其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100

时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为
轻微污染.该城市2010年空气质量达到良或优的

概率为(

)

3 A. 5 1 C. 19

1 B. 180 5 D. 6

解析:选 A.良与优是彼此互斥的,故空气质量达到 1 1 1 3 良或优的概率为 P= + + = . 10 6 3 5

2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作 为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的 概率为( ) 1 1 A. B. 6 4 1 1 C. D. 12 9

解析:选 A.试验是连续掷两次骰子,故共包含 6×6 =36 个基本事件.事件点 P 在 x+y=5 下方,共包 含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6 个基本事 6 1 件,故 P= = . 36 6

3.(2011年阜阳调研)一堆除颜色外其他特征都相

同的红白两种颜色的球若干个,已知红球的个数
比白球多,但比白球的2倍少,若把每一个白球 都记作数值2,每一个红球都记作数值3,则所有 球的数值的总和等于60.现从中任取一个球,则取 到红球的概率等于________.

解析:设白球x个,红球y个,则2x+3y=60.
∵x<y<2x,∴3x<3y<6x.∴5x<2x+3y<8x,

? ?5x<60 即? ? ?8x>60

15 ,∴ <x<12. 2 又 x∈N+,∴x=8,9,10,11. 又 y∈N+,易知,x=9 时,y=14,符合题意, 14 14 ∴取到红球的概率为 = . 14+9 23

14 答案: 23

4.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师 多 12 人, 从这些教师中随机挑选一人表演节目. 若 9 选到男教师的概率为 ,则参加联欢会的教师共有 20 ________人. 解析:设男教师有 n 人,则女教师有(n+12)人. 由已知从这些教师中选一人,选到男教师的概率 P n 9 = = ,得 n=54, 2n+12 20
故参加联欢会的教师共有 120 人.
答案:120

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