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谈高中数学几何解题中的“化直法”应用


谈高中数学几何解题中的“化直法”应用 不论在平面几何、解析几何还是立体几何中, “化直法”被广泛 的应用。 它应用两点之间连线以线段最短这个基本原理, 通过定义、 对称、射影、距离不等式、侧面展开图等方法,把曲线段化为折线 段,再把折线段化为直线段来处理。 笔者从四个方面介绍“化直法” 的一些巧妙的应用。 一、利用定义化直 圆锥曲线的定义,是曲线上的动点本质属性的反映。研究圆锥曲 线的最值,巧妙地应用定义,可把问题简化,速达目的。 例 1、已知椭圆 x225+y29=1 左、右焦点分别为 f1、f2,b(2,2) 是其内一点,m 为椭圆上动点,求|mf1|+|mb|的最大值和最小值. 解:根据椭圆定义知,|mf1|+|mb|=10-|mf2|+|mb| 由平面几何知识,||mb|-|mf2||≤|bf2|=22, 所以 10-22≤|mf1|+|mb|≤10+22 二、利用对称化直 对称思想是研究数学问题常用的思想方法,利用几何图形的对称 性去分析思考最值问题,常可获得简捷明快的解法。 例 3、已知点 m(3,5) ,在直线 l:x-2y+2=0 和 y 轴上各找一点 p 和 q,使△mpq 的周长最小. 分析:如图 7—5,作点 m 关于直线 l 的对称点 m1,再作点 m 关于 y 轴的对称点 m2,连结 m1,m2,连结 m1m2 与 l 及 y 轴交于 p 与 q 两点,由轴对称及平面几何的知识,可知这样得到的△mpq 的周长 最小.解:由点 m(3,5)及直线 l,可求得点 m 关于 l 的对称点 m1 (5,1).同样容易求得点 m 关于 y 轴的对称点 m2(-3,5).据 m1 及 m2 两点可得到直线 m1m2 的方程为 x+2y-7=0, 令 x=0,得到 m1m2 与 y 轴的交点 q(0,72). 解方程组 x+2y-7=0 x-2y+2=0,得交点 p(52,94).故点 p(52,94) ,q(0,72)即 为所求. 三、利用侧面展开图化直 利用把图形展开,结合两点之间,线段最短,这个重要性质,可 以解决一些最短线路问题。 例 5、已知正三棱锥 p—abc 的三条侧棱两两成 400 角,侧棱长为 6,d,e 分别为 pb,pc 上的点,则 δ ade 的周长的最小值是() a、 12b、18c、63d、6 分析:正三棱锥的侧面展开图,则 aa 为所求 δ ade 的周长最小 值 将棱锥展成平面图行,是将空间问题化归到平面问题的一种重要 思想方法,运用这一方法可以解决截面周长最小问题,棱锥侧面积 等与平面图形相关的问题。 解:利用余弦定理 ade 的周长的最小值为:|aa|=62+62-2×6×6 ×cos1200=63 所以答案为 c. 点评:利用把图形展开,将空间问题化归到平面问题求解,可以 解决较复杂的最值问题。 例 6、 长方体 abcd-a1b1c1d1 中,ab=6,bc=5,cc1=4,一只蚂蚁 从 a1 出发,沿长方体表面到达 c 处,求蚂蚁爬过的最短距离。 解:如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种,可由侧面展开的结果 显然第 3 种距离最短 。 点评:利用把图形展开,根据实际问题找出距离最小值,主要利 用两点之间线段最短进行求解,这也是高中数学的常见问题。 四、利用距离公式化直 利用点到线的距离公式和两点间的距离公式求解最值问题是中学 数学中的一种非常重要的思想与方法,是开拓解题思路、强化化归 能力,提高数学素质的重要工具。 如图所示,过圆心 m 作直线 om 交圆 m 于 n、g 两点,圆 m 上

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