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武昌区2016届高三年级五月供题训练(理科数学答案及评分细则)


武昌区 2016 届高三年级五月供题训练

理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若复数 1 A. 2
m 1? i 是实数,则实数 m ? ( B ) ? 1? i 2

B.1

3 C. 2

/>
D.2

? y ? 2 x, ? 2.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( C ) ? y ? ?1, ?

A. ?

5 2

B.0

C.

5 3

D.

5 2

3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生 故障的概率分别为
p ?( B )
1 9 和 p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ,则 40 8
2 15 1 6

A.

1 10

B.

C.

D.

1 5

4.已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 ,点 F1 , F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点.若 PF1 ? PF2 , 则 | PF1 | ? | PF2 | 的值为( C ) A.2 B. 2 2
? 1 2

C. 2 3 ,则( C )

D. 2 5

5.设 a ? log3 2 , b ? ln2 , c ? 5

A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a 6.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的条件是( B )
3 A. S ? ? 4
开始 S=0, k=0

B. S ? C. S ? D. S ?

11 ? 12 25 ? 24
137 ? 120

S?S?

1 k

k=k+2 是

7. (3x ? y)( x ? 2 y)5 的展开式中, x 4 y 2 的系数为( A ) A.110 B.120 C.130
否 输出 k 结束 高三理科数学试题参考答案及评分细则 第 1 页(共 8 页)

D.150 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为( C ) A.12 B.18 C.24 D.30 9.动点 A(x,y)在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上绕坐标原点沿 逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知
1 3 时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , ) ,则当 2 2 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:

5 2 4 正视图 3 侧视图

俯视图

秒)的函数的单调递增区间是( D ) A. [ 0,1] B. [1,7 ] 10.已知命题

C. [7,12 ]

D. [ 0,1] 和 [7,12 ]

a p1:设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,且 f (1) ? ? ,则 f ( x ) 在 (0,2) 上必有零点; 2 p2:设 a , b ? R ,则“ a ? b ”是“ a | a |? b | b | ”的充分不必要条件. 则在命题 q1 : p1 ? p2 , q 2 : p1 ? p2 , q 3 : (?p1 ) ? p2 和 q 4 : p1 ? (?p2 ) 中,真命题是( C )

A.q1,q3

B.q2,q3

C.q1,q4

D.q2,q4
1 ,则 sin?BAC ? ( A ) 3

11.在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,M 是 BC 的中点.若 sin?BAM ? A.
6 3

B.

5 3

C.

2 3

D.

3 3

12.设直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A,B 两点,与圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( D ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若向量 a,b 满足:a ? ( ? 3,1) ,(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b| ? 答案: 2 14.已知 ? 2 sin(x ? ? )dx ?
0



?

7 ,则 sin2? ? 4



9 16 15 . 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 . 若 AB ? AC ? AA 1 ?2 ,

答案:

?BAC ? 120? ,则该球的表面积等于



答案: 20?
1 16.已知函数 f ( x) ? ke x ?1 ? x ? x 2 (k 为常数) ,曲线 y ? f ( x ) 在点(0,f(0))处的切线与 x 轴 2 平行,则 f ( x ) 的单调递减区间为 . 答案: ( ??,0)
高三理科数学试题参考答案及评分细则 第 2 页(共 8 页)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , an ?1 ?
S (Ⅰ)证明:数列 { n } 是等比数列; n (Ⅱ)求数列 {S n } 的前 n 项和 Tn . n?2 Sn (n ? N? ) . n

n+2 n+2 解: (Ⅰ)由 an+1= S ,及 an+1=Sn+1-Sn,得 Sn+1-Sn= S, n n n n Sn+1 Sn S1 整理,得 nSn+1=2(n+1)Sn,∴ =2· .又 =1, n 1 n+1 Sn ∴{ }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.??????????????6 分 n Sn - - (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 =2n 1,∴Sn=n·2n 1(n∈N*) . n ∴Tn=1×20+2×21+3×22+?+n·2n 1, - 2Tn= 1×21+2×22+?+(n-1)·2n 1+n·2n. 由②-①,得


① ②

Tn=-(1+2+2 +?+2

2

n-1

1-2n )+n·2 =- +n·2n=(n-1)·2n+1.??12 分 1-2
n

18. (本小题满分 12 分) 某公司招收大学毕业生, 经过综合测试录用了 14 名男生和 6 名女生, 这 20 名毕业生的 测试成绩如茎叶图所示(单位:分) .公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作,在 180 分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理工作. (Ⅰ)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取 8 人.若从这 8 人中再选 3 人,求至 少有一人来自甲部门的概率; (Ⅱ)若从甲部门中随机选取 3 人,用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数,求 X 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)根据茎叶图可知,甲、乙两部门各有 10 人, 男 女 用分层抽样的方法,应从甲、乙两部门中各选 8 8 6 16 8 2 取 10× =4 人. 6 5 4 3 2 17 6 5 5 4 2 18 5 6 记“至少有一人来自甲部门”为事件 A,则 3 2 1 19 0 2 C3 4 13 P(A)=1- 3= . C8 14 13 故至少有一人来自甲部门的概率为 .????????????????5 分 14 (Ⅱ)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 2 C0 1 C1 3 6C4 6C4 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 30 C10 10 1 0 C2 C3 1 6C4 1 6C4 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = . C10 2 C10 6

∴X 的分布列为

高三理科数学试题参考答案及评分细则

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X P

0 1 30

1 3 10

2 1 2

3 1 6

1 3 1 1 9 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = .??????????????12 分 30 10 2 6 5 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB∥DC,AD⊥DC, AB ? AD ? 1 , DC ? SD ? 2 ,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC⊥平面 SBC. (Ⅰ)证明: SE ? 2EB ; (Ⅱ)求二面角 A ? DE ? C 的大小. 解: (Ⅰ)以 D 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1,1, → → → 0),C(0,2,0),S(0,0,2),∴SC=(0,2,-2),BC=(-1,1,0),DC=(0, 2,0). 设平面 SBC 的法向量为 m=(a,b,c), → ? ?m·SC=0, → → 由 m⊥SC,m⊥BC,得? → ? ?m·BC=0,
? ?2b-2c=0, ∴? 取 m=(1,1,1). ?-a+b=0. ?

z S

E F D A x B C

λ λ 2 → → 又设SE=λEB(λ>0) ,则 E( , , ), 1+λ 1+λ 1+λ λ λ 2 → ∴DE=( , , ). 1+λ 1+λ 1+λ 设平面 EDC 的法向量 n=(x,y,z), → ? ?n·DE=0, → → 由 n⊥DE,n⊥DC,得? → ?n·DC =0, ? λx λy 2z ? ?1+λ+1+λ+1+λ=0, ∴? 取 n=(2,0,-λ). ? ?2y=0.

y

由平面 EDC⊥平面 SBC,得 m⊥n, ∴m·n=0,∴2-λ=0,即 λ=2. 故 SE=2EB.???????????????????????????6 分 2 2 2 2 2 2 → 2 4 2 → (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 E( , , ),∴DE=( , , ),EC=(- , ,- ), 3 3 3 3 3 3 3 3 3 → → ∴EC·DE=0,∴EC⊥DE.

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第 4 页(共 8 页)

1 1 1 1 1 → 2 取 DE 的中点 F,则 F( , , ),∴FA=( ,- ,- ), 3 3 3 3 3 3 → → ∴FA·DE=0,∴FA⊥DE. → → ∴向量FA与EC的夹角等于二面角 A-DE-C 的平面角. → → FA·EC 1 → → 而 cos<FA,EC>= =- , → → 2 |FA||EC| 故二面角 A-DE-C 的大小为 120° .??????????????????12 分 20. (本小题满分 12 分)
x2 ? y 2 ? 1 的两个顶点,过其右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 2 C,D 两点,与 y 轴交于 P 点(异于 A,B 两点) ,直线 AC 与直线 BD 交于 Q 点.

已知 A( 0,1) , B (0,?1) 是椭圆

(Ⅰ)当 | CD |?

3 2 时,求直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)求证: OP ? OQ 为定值. 解: (Ⅰ)由题设条件可知,直线 l 的斜率一定存在,F(1,0), 设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0 且 k≠±1) . y=k(x-1), ? ? 由?x2 2 ? ? 2 +y =1,

消去 y 并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0. 2k2-2 4k2 , 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 2k2-2 4k2 2 ( 2) -4· 1+2k 1+2k2

设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=

∴|CD|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2= 1+k2· = 2 2(1+k2) . 1+2k2

2 2(1+k2) 3 2 2 由已知,得 = ,解得 k=± . 2 2 1+2k2 故直线 l 的方程为 y= 2 2 (x-1)或 y=- (x-1), 2 2

即 x- 2y-1=0 或 x+ 2y-1=0.?????????????????5 分 (Ⅱ)由 C(x1,y1),D(x2,y2),A(0,1),B(0,-1),得 y1-1 y2+1 直线 AC 的方程为 y= x+1,直线 BD 的方程为 y= x-1, x1 x2 y-1 x2(y1-1) 联立两条直线方程并消去 x,得 = , y+1 x1(y2+1) x1y2+x2y1+x1-x2 ∴yQ= . x1y2-x2y1+x1+x2 由(Ⅰ) ,知 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= 2k2-2 4k2 , x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2

高三理科数学试题参考答案及评分细则

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∴x1y2+x2y1+x1-x2=kx1(x2-1)+kx2(x1-1)+x1-x2 =2kx1x2-k(x1+x2)+x1-x2 2k2-2 4k2 =2k· - k · +x -x 1+2k2 1+2k2 1 2 4k =- +x -x , 1+2k2 1 2 x1y2-x2y1+x1+x2=kx1(x2-1)-kx2(x1-1)+x1+x2 =k(x2-x1)+x1+x2 4k2 =k(x2-x1)+ 1+2k2 =-k(- 4k +x -x ), 1+2k2 1 2

1 1 ∴yQ=- ,∴Q(xQ,- ).又 P(0,-k), k k 1 → → ∴OP·OQ=(0,-k)·(xQ,- )=1. k → → 故OP·OQ为定值.????????????????????????12 分 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:当 x ? [0, 1] 时, (Ⅱ)若不等式 ax ? x 2 ? 解: (Ⅰ)记 F(x)=sinx-
2 x ? sinx ? x ; 2

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0, 1] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

2 2 x,则 F′(x)=cosx- . 2 2

π π 当 x∈(0, )时,F′(x)>0,F(x)在[0, ]上是增函数; 4 4 π π 当 x∈( ,1)时,F′(x)<0,F(x)在[ ,1]上是减函数. 4 4 ∵F(0)=0,F(1)>0,∴当 x∈[0,1]时,F(x)≥0,即 sinx≥ 记 H(x)=sinx-x,则当 x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0, ∴H(x)在[0,1]上是减函数,∴H(x)≤H(0)=0,即 sinx≤x. 综上, 2 x≤sinx≤x,x∈[0,1].??????????????????4 分 2 2 x. 2

(Ⅱ)∵当 x∈[0,1]时, x3 x3 x ax+x2+ +2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+ -4(x+2)sin2 2 2 2 x3 2 ≤(a+2)x+x2+ -4(x+2)( x)2=(a+2)x. 2 4 x3 ∴当 a≤-2 时,不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx≤4 对 x∈[0,1]恒成立. 2 下面证明:

高三理科数学试题参考答案及评分细则

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x3 当 a>-2 时,不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2 x3 x3 x ax+x2+ +2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+ -4(x+2)sin2 2 2 2 x3 x x3 ≥(a+2)x+x2+ -4(x+2)( )2=(a+2)x-x2- 2 2 2 3 3 2 ≥(a+2)x- x2=- x[x- (a+2)]. 2 2 3 ∴存在 x0∈(0, 1) (例如 x0 取 -4>0, x3 即当 a>-2 时,不等式 ax+x2+ +2(x+2)cosx-4≤0 对 x∈[0,1]不恒成立. 2 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2].???????????????12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连 结 DB 并延长交⊙O 于点 E,已知 AC ? BD ? 3 . A (Ⅰ)求 AB ? AD 的值; (Ⅱ)求线段 AE 的长. O′ 解: (Ⅰ)∵AC 切⊙O′于 A,∴∠CAB=∠ADB, O E 同理∠ACB=∠DAB,∴△ACB∽△DAB, AC AB ∴ = ,即 AC·BD=AB·AD. AD BD C B D a+2 1 x3 0 和 中的较小者) 满足 ax0+x2 0+ +2(x0+2)cosx0 3 2 2

∵AC=BD=3,∴AB·AD=9.???????????????????5 分 (Ⅱ)∵AD 切⊙O 于 A,∴∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,∴△EAD∽△ABD, AE AD ∴ = ,即 AE·BD=AB·AD. AB BD 由(Ⅰ)可知,AC·BD=AB·AD, ∴AE=AC=3.??????????????????????????10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 3 x?? t, ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) .以原点为极点,x ? y ? ?5 ? 1 t ? 2 ?

轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线; (Ⅱ)若 P 是直线 l 上的一点,Q 是曲线 C 上的一点,当 | PQ | 取得最小值时,求 P 的 直角坐标. 解: (Ⅰ)由 ρ=2 3cosθ,得 ρ2=2 3ρcosθ, 从而有 x2+y2=2 3x, ∴(x- 3)2+y2=3. ∴曲线 C 是圆心为( 3,0),半径为 3的圆.?????????????5 分
高三理科数学试题参考答案及评分细则 第 7 页(共 8 页)

(Ⅱ)由题设条件知,|PQ|+|QC|≥|PC|,当且仅当 P,Q,C 三点共线时,等号成立, 即|PQ|≥|PC|- 3,∴|PQ|min=|PC|min- 3. 设 P(- 3 1 t,-5+ t),又 C( 3,0), 2 2 (- 3 1 t- 3)2+(-5+ t)2= t2-2t+28= (t-1)2+27. 2 2 3 9 ,- ).???????????????10 分 2 2

则|PC|=

当 t=1 时,|PC|取得最小值,从而|PQ|也取得最小值, 此时,点 P 的直角坐标为(-

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 ,函数 f ( x ) ?| x ? a | ? | x ? b | 的最小值为 2. (Ⅰ)求 a ? b 的值; (Ⅱ)证明: a 2 ? a ? 2 与 b2 ? b ? 2 不可能同时成立. 解: (Ⅰ)∵a>0,b>0, ∴f(x)=|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|=|-a-b|=|a+b|=a+b, ∴f(x)min=a+b. 由题设条件知 f(x)min=2, ∴a+b=2.????????????????????????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及基本不等式,得 2 ab≤a+b=2,∴ab≤1. 假设 a2+a>2 与 b2+b>2 同时成立, 则由 a2+a>2 及 a>0,得 a>1. 同理 b>1,∴ab>1,这与 ab≤1 矛盾. 故 a2+a>2 与 b2+b>2 不可能同时成立.??????????????10 分

高三理科数学试题参考答案及评分细则

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