tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

直线与方程、 圆与方程单元测试卷(3)菁优网


直线与方程、 圆与方程单元测试卷(3)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)过点 P(1,2) ,且方向向量 =(﹣1,1)的直线的方程为( A. x﹣y﹣3=0 B. x+y+3=0 C. x+y﹣3=0 )

D. x﹣y+3=0 )

2. (5 分)将直线 l1:y=2x 绕原点逆

时针旋转 60°得直线 l2,则直线 l2 到直线 l3:x+2y﹣3=0 的角为( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

3. (5 分) (2001?江西)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0, 则直线 PB 的方程是( ) A. x+y﹣5=0 B. 2x﹣y﹣1=0 C. 2y﹣x﹣4=0 D. 2x+y﹣7=0 4. (5 分)过两点(﹣1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为( A. B. C.3 D.﹣3 ﹣ )

5. (5 分)直线 x+a y+6=0 和(a﹣2)x+3ay+2a=0 无公共点,则 a 的值是( A.3 B.0 C.﹣1 D.0 或﹣1

2



6. (5 分)两直线 2x﹣my+4=0 和 2mx+3y﹣6=0 的交点在第二象限,则 m 的取值范围是( A. B. C. D. ﹣ ≤m≤2 ﹣ <m<2 ﹣ ≤m<2 ﹣ <m≤2



7. (5 分) (2009?福建)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等

于 2,则 a 的值为( A. ﹣5

) B. 1 C. 2
2 2

D. 3 )

8. (5 分) (2009?陕西)过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y ﹣4y=0 所截得的弦长为(

A.

B. 2

C.

D. 2

1

9. (5 分) (2013?东城区模拟)与直线 x﹣y﹣4=0 和圆 x +y +2x﹣2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 A. (x+1) +(y+1) =2 B. (x+1) +(y+1) =4 C. (x﹣1) +(y+1) =2D. (x﹣1) +(y+1)=4 10. (5 分) (2012?长春模拟)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且| 点,则实数 a 的值为( A. 2 ) B. ﹣2
2 2

2

2

|=|

|,其中 O 为原

C. 2 或﹣2
2 2

D.

或﹣

11. (5 分) (2006?海淀区二模)若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x +y =1 有两个不同交点,则点 P(a,b)与圆 C 的位 置关系是( ) A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定 12. (5 分)从原点向圆 x +(y﹣6) =4 作两条切线,则这两条切线夹角的大小为( ) A. B. C. D. arccos arcsin
2 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知直线 l1:ax+y+2a=0,直线 l2:ax﹣y+3a=0.若 l1⊥ l2,则 a= _________ . 14. (5 分)点 P(a,3)到直线 4x﹣3y+1=0 的距离等于 4,且在不等式 2x+y<4 表示的平面区域内,则 P 点的坐 标为 _________ . 15. (5 分) (2009?朝阳区一模)已知动直线 l 平分圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =1,则直线 l 与圆: 为参数)的位置关系是 _________ . 16. (5 分) 直线 y=kx﹣ 与圆 x +y =2 相交于 P、 Q 两点, 且∠ POQ=120( ° 其中 O 为原点) , k 的值为 _________ .
2 2 2 2

(θ

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)求经过 7x+8y=38 及 3x﹣2y=0 的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.

18. (12 分)已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1;x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的线段之长为 5,求直 线 l 的方程.

19. (12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x﹣y+1=0 相交的弦长为 2 求圆的方程.
2



20. (12 分)某集团准备兴办一所中学,投资 1200 万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教 育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下: 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万/人) 60 2.0 28 1.2 初中 40 2.5 58 1.6 高中 根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费 600 元,高中生每年可收取学费 1500 元.因生源和 环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润 多少万元?(利润=学费收入﹣年薪支出)

21. (12 分)直线 y=kx 与圆 x +y ﹣6x﹣4y+10=0 相交于两个不同点 A、B,当 k 取不同实数值时,求 AB 中点的轨 迹方程.

2

2

3

22. (12 分)已知 m∈R,直线 l:mx﹣(m +1)y=4m 和圆 C:x +y ﹣8x+4y+16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么?

2

2

2

4

直线与方程、圆与方程单元测试卷(3)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)过点 P(1,2) ,且方向向量 =(﹣1,1)的直线的方程为( A.x﹣y﹣3=0 考点: 专题: 分析: B.x+y+3=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0 )

直线的一般式方程.

菁优网版权所有

计算题. 根据方向向量求得直线的斜率,进而根据点 斜式求得直线的方程.

解答:

解:∵ 方向向量为 =(﹣1,1) , ∴ 直线的斜率为﹣1, ∴ 直线方程为 y﹣2=﹣(x﹣1)即 x+y﹣3=0, 故选 C

点评:

本题主要考查了直线的一般方程, 属基础题.

2. (5 分)将直线 l1:y=2x 绕原点逆时针旋转 60°得直线 l2,则直线 l2 到直线 l3:x+2y﹣3=0 的角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 考点: 专题: 分析: 直线的斜率. 计算题;作图题.
菁优网版权所有



结合图象,由题意知直线 l1l3 互相垂直, 不难推出 l2 到直线 l3:x+2y﹣3=0 的角.

解答:

解:记直线 l1 的斜率为 k1,直线 l3 的斜率 为 k3, 注意到 k1k3=﹣1,l1⊥ l3,依题意画出示意 图,结合图形分析可知, 直线 l2 到直线 l3 的角是 30°,
5

故选 A.

点评:

本题考查直线与直线所成的角,以及到角 公式,是基础题.

3. (5 分) (2001?江西)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x﹣y+1=0, 则直线 PB 的方程是( ) A.x+y﹣5=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2y﹣x﹣4=0 D.2x+y﹣7=0 考点: 专题: 分析: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 计算题;压轴题. 求出 PA 的斜率,PB 的倾斜角,求出 P 的 坐标,然后求出直线 PB 的方程.

菁优网版权所有

解答:

解:由于直线 PA 的倾斜角为 45°,且 |PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135°, 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3) , ∴ 直线 PB 的方程为 y﹣3=﹣ (x﹣2) , 即 x+y ﹣5=0. 故选 A

点评:

本题考查与直线关于点、 直线对称的直线方 程,考查逻辑推理能力,计算能力,转化思 想的应用,是基础题. )

4. (5 分)过两点(﹣1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为( A. B. C.3 D.﹣3 ﹣

考点:

直线的两点式方程.

菁优网版权所有

6

分析:

先由两点式写出直线方程,再求截距.

解答:

解:由两点式,得

=

,即 2x﹣

y+3=0,令 y=0,得 x=﹣ ,即在 x 轴上的截 距为﹣ .

点评:

要掌握直线的五种方程形式,并学会相互转 化.

5. (5 分)直线 x+a y+6=0 和(a﹣2)x+3ay+2a=0 无公共点,则 a 的值是( A.3 B.0 C.﹣1 D.0 或﹣1 考点: 专题: 分析: 两条直线平行的判定.

2



菁优网版权所有

分类讨论. 首先讨论 a 是否为 0,然后由两直线平行 的条件解之.

解答:

解:当 a=0 时,两直线方程分别为 x+6=0 和 x=0,显然无公共点; 当 a≠0 时, 解得 a=﹣1. 所以 a=0 或﹣1. 故选 D. ,

点评:

本题考查两直线平行的条件及分类讨论的 方法.

6. (5 分)两直线 2x﹣my+4=0 和 2mx+3y﹣6=0 的交点在第二象限,则 m 的取值范围是( A. B. C. D. ﹣ ≤m≤2 ﹣ <m<2 ﹣ ≤m<2 ﹣ <m≤2



7

考点: 分析:

两条直线的交点坐标.

菁优网版权所有

两条直线的交点在第二象限, 联立方程组解出交 点坐标, 交点的横坐标小于零, 同时纵坐标大于 零,解不等式组可求 m 的范围.

解答: 解:由 ,解得两直线的交点坐

标为(



) ,

由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正, 故 故选 B <0 且 >0?﹣ <m<2.

点评:

本题考查直线交点的求法,以及点所在象限问 题,是基础题目.

7. (5 分) (2009?福建)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等

于 2,则 a 的值为( ) A.﹣5 B.1 考点:

C.2

D.3 简单线性规划.

菁优网版权所有

8

专题: 分析:

计算题;数形结合. 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束

条件

的可行域,根据已知条件中,

表示的平面区域的面积等于 2, 构造关于 a 的方程, 解方程即可得到答案.

解答: 解: 不等式组 所围成的区域如图所

示. ∵ 其面积为 2, ∴ |AC|=4, ∴ C 的坐标为(1,4) , 代入 ax﹣y+1=0, 得 a=3. 故选 D.

点评:

平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要 题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域, 然后结合有关面积公式求解.

9

8. (5 分) (2009?陕西)过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y ﹣4y=0 所截得的弦长为(

2

2



A. 考点:

B.2

C.

D.2

直线的倾斜角;直线和圆的方程的应用.

菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. 本题考查的知识点是直线与圆方程的应用, 由已知圆 x +y ﹣4y=0, 我们可以将其转化为 标准方程的形式,求出圆心坐标和半径,又 直线由过原点且倾斜角为 60°, 得到直线的方 程,再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股 定理,即可求解.
2 2

解答:

解:将圆 x +y ﹣4y=0 的方程可以转化为: 2 2 x +(y﹣2) =4, 即圆的圆心为 A(0,2) ,半径为 R=2, ∴ A 到直线 ON 的距离,即弦心距为 1, ∴ ON= , ∴ 弦长 2 , 故选 D.

2

2

10

点评:

要求圆到割线的距离,即弦心距,我们最常 用的性质是:半径、半弦长(BE) 、弦心距 (OE)构成直角三角形,满足勾股定理,求 出半径和半弦长,代入即可求解.
2 2

9. (5 分) (2013?东城区模拟)与直线 x﹣y﹣4=0 和圆 x +y +2x﹣2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( 2 2 A.(x+1) B.(x+1) C.(x﹣1)2+ D.(x﹣1)2+ + (y+1) + (y+1) 2 2 2 (y+1)=4 (y+1) =2 =2 =4 考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系.



菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. 由题意先确定圆心的位置,再结合选项进行排 除,并得到圆心坐标,再求出所求圆的半径.

解答:

解:由题意圆 x +y +2x﹣2y=0 的圆心为(﹣1, 1) ,半径为 , ∴ 过圆心(﹣1,1)与直线 x﹣y﹣4=0 垂直的直 线方程为 x+y=0, 所求的圆的圆心在此直线上,排除 A、B, ∴ 圆心(﹣1,1)到直线 x﹣y﹣4=0 的距离为 =3 ,则所求的圆的半径为 ,

2

2

故选 C.

点评:

本题主要考查了由题意求圆的标准方程, 作为选 择题可结合选项做题,这样可提高 做题的速度.

10. (5 分) (2012?长春模拟)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且| 点,则实数 a 的值为( )
11

2

2

|=|

|,其中 O 为原

A.2 考点:

B.﹣2

C.2 或﹣2

D.

或﹣

直线和圆的方程的应用;向量的模;向量 在几何中的应用.
菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. 条件“| |=| |”是向量模的等

式,通过向量的平方可得向量的数量积 | =|
2

|,

2

?

=0, 可得出

垂直关系,接下来,如由直线与圆的方程 组成方程组求出 A、B 两点的坐标,势必 计算很繁,故采用设而不求的方法.

解答:

解:由| | | =| ⊥ ,
2

|=| |,
2

|得 ? =0,

三角形 AOB 为等腰直角三角形,圆心到 直线的距离为 选 C. ,即 = ,a=±2,故

点评:

若非零向量 | |=|



,满足 |,则 .模的

处理方法一般进行平方, 转化成向量的数
12

量积. 向量是既有大小,又有方向的量,它既有 代数特征,又有几何特征,通过向量可以 实现代数问题与几何问题的互相转化,所 以向量是数形结合的桥梁. 11. (5 分) (2006?海淀区二模)若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x +y =1 有两个不同交点,则点 P(a,b)与圆 C 的位 置关系是( ) A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定 考点: 专题: 分析: 点与圆的位置关系. 计算题. ax+by=1 与圆 C:x +y =1 有两个不同交点说 明圆心到直线的距离小于圆的半径,得到关 于 a,b 的不等式,判断结论是否成立.
2 2 2 2

菁优网版权所有

解答:

解:直线 l:ax+by=1 与圆 C:x +y =1 有两 个不同交点, 则 <1,∴ a +b >1,
2 2

2

2

点 P(a,b)在圆 C 外部, 故选 C.

点评:

本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位 置关系.

12. (5 分)从原点向圆 x +(y﹣6) =4 作两条切线,则这两条切线夹角的大小为( A. B. C. D. arccos arcsin

2

2



考点:

两直线的夹角与到角问题;圆的切线方 程.
菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. 根据 AB⊥ OB 以及圆的方程求出|OA|, |AB|,|AC|,在直角三角形中求出 sin∠ AOB,然后根据△ OAB≌ △ OAC 求出 ∠ BOC,其中∠ BOC 为∠ AOB 的两倍
13

解答:

解:如图,从原点向圆 A 引两条切线: OB,OC,连接 AB,AC ∴ AB⊥ OB,AC⊥ OC ∵ 圆 x +(y﹣6) =4 ∴ |OA|=6,|AB|=|AC|=2 且△ OAB≌ △ OAC 在 RT△ AOB 中: sin∠ AOB= = , ∴ 由△ OAB≌ △ OAC 2 cos∠ BOC=cos2∠ AOB=1﹣2sin ∠ AOB=1 ﹣ = , ∴ ∠ BOC=arccos , 故选 C.
2 2

点评:

本题考查 2 倍角的正弦和余弦公式的利 用,涉及到直线与圆相切,三角形相似等 内容,属于难题.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知直线 l1:ax+y+2a=0,直线 l2:ax﹣y+3a=0.若 l1⊥ l2,则 a= ±1 考点: 专题: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 计算题.
14



菁优网版权所有

分析:

求出两条直线的斜率,利用两条直线的垂 直关系,求出 a 的值.

解答:

解:因为两条直线的斜率都存在,且 l1⊥ l2, ∴ kl1?kl2=﹣1, 即(﹣a)?a=﹣1, ∴ a=±1. 故答案为:±1

点评:

本题考查两条直线的垂直条件的应用,是 基础题.

14. (5 分)点 P(a,3)到直线 4x﹣3y+1=0 的距离等于 4,且在不等式 2x+y<4 表示的平面区域内,则 P 点的坐 标为 (﹣3,3) . 考点: 点到直线的距离公式; 二元一次不等式 (组) 与平面区域.
菁优网版权所有

分析:

利用点到直线的距离公式求出 a,验证点 P 是否在不等式 2x+y<4 表示的平面区域内, 即可.

解答:

解:因

=4,∴ a=7,a=﹣3.当 a=7

时,不满足 2x+y<4(舍去) ,∴ a=﹣3. 故答案为: (﹣3,3)

点评:

本题考查点到直线的距离公式,线性规划, 是中档题.

15

15. (5 分) (2009?朝阳区一模)已知动直线 l 平分圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =1,则直线 l 与圆: 为参数)的位置关系是 相交 . 考点: 圆的参数方程;直线与圆的位置关系.

2

2

(θ

菁优网版权所有

专题: 分析:

计算题. 先将圆的参数方程转化成圆的标准方程,求 出两圆心之间的距离与两半径进行比较,可 得两圆的位置关系.

解答:

解:动直线 l 平分圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) 2 =1,即圆心(2,1)在直线上, 又圆 O: 即 x +y =9,且 2 +1
2 2 2 2

2

<9, (2,1)在圆 O 内,则直线 l 与圆 O: (θ 为参数) 的位置关系是相交, 故答案为相交.

点评:

本题主要考查了圆的参数方程,以及直线与 圆的位置关系,属于基础题.

16. (5 分)直线 y=kx﹣ 考点: 专题: 分析:

与圆 x +y =2 相交于 P、Q 两点,且∠ POQ=120°(其中 O 为原点) ,k 的值为 ± 直线和圆的方程的应用. 计算题. 作出图形,由图可知,点 P 的坐标为(0, ﹣ ) ,∠ OPQ=30°,由此可知 k 的值.

2

2



菁优网版权所有

16

解答:

解:由图可知,点 P 的坐标为(0,﹣ ) , ∠ OPQ=30°, ∴ 直线 y=kx﹣ 的倾斜角为 60°或 120°, ∴ k=± .

点评:

作出图形,数形结合,事半功倍.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)求经过 7x+8y=38 及 3x﹣2y=0 的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程. 考点: 专题: 分析: 直线的一般式方程.

菁优网版权所有

计算题. 要求经过 7x+8y=38 及 3x﹣2y=0 的交点的直 线方程,我们可以用直线系方程来处理,即 设所求直线为 7x+8y﹣38+λ(3x﹣2y)=0, 然后由直线在两坐标轴上截得的截距相等构 造关于 λ 的方程,解方程求出 λ,代入即可 求出满足条件的直线方程.但要注意该直线 系方程不能表示直线 3x﹣2y=0, 故最后要判 断一下 3x﹣2y=0 是否符合要求.

17

解答:

解:易得交点坐标为(2,3) 设所求直线为 7x+8y﹣38+λ(3x﹣2y)=0, 即(7+3λ)x+(8﹣2λ)y﹣38=0, 令 x=0,y= 令 y=0,x= 由已知, , , = ,

∴ λ= ,即所求直线方程为 x+y﹣5=0. 又直线方程不含直线 3x﹣2y=0, 而当直线过原点时, 在两轴上的截距也相等, 故 3x﹣2y=0 亦为所求.

点评:

如果两条直线的方程为:L1、 A1x+B1y+C1=0 及 L2、A2x+B2y+C2=0,则经过两条直线交 点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0, 但该直线系方程中不包 含 L2、A2x+B2y+C2=0 在内.

18. (12 分)已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1;x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的线段之长为 5,求直 线 l 的方程. 考点: 两直线的夹角与到角问题;直线的点斜式 方程;两条平行直线间的距离.
菁优网版权所有

专题:

计算题;分类讨论.

18

分析:

法一如图,若直线 l 的斜率不存在,直线 l 的斜率存在,利用点斜式方程,分别与 l1、 l2 联立,求得两交点 A、B 的坐标(用 k 表示) ,再利用|AB|=5 可求出 k 的值,从而 求得 l 的方程. 法二:求出平行线之间的距离,结合 |AB|=5,设直线 l 与直线 l1 的夹角为 θ,求 出直线 l 的倾斜角为 0°或 90°, 然后得到直 线方程.就是用 l1、l2 之间的距离及 l 与 l1 夹角的关系求解. 法三: 设直线 l1、 l2 与 l 分别相交于 A (x1, y1) ,B(x2,y2) , 则通过求出 y1﹣y2, x1﹣x2 的值确定直线 l 的斜率(或倾斜角) ,从而求得直线 l 的方 程.

解答:

解:解法一:若直线 l 的斜率不存在,则 直线 l 的方程为 x=3, 此时与 l1、l2 的交点分别为 A′ (3,﹣4) 或 B′ (3,﹣9) , 截得的线段 AB 的长|AB|=|﹣4+9|=5,符合 题意. 若直线 l 的斜率存在, 则设直线 l 的方程为 y=k(x﹣3)+1. 解方程组 得

A(

,﹣

) .

解方程组



B(

,﹣

) .

由|AB|=5.

19

得( +


2

) +(﹣ ) =5 .
2

2

解之,得 k=0,直线方程为 y=1. 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1. 解法二:由题意,直线 l1、l2 之间的距离 为 d= = ,

且直线 L 被平行直线 l1、l2 所截得的线段 AB 的长为 5, 设直线 l 与直线 l1 的夹角为 θ,则 sinθ= = ,故 θ=45°.

由直线 l1:x+y+1=0 的倾斜角为 135°,知 直线 l 的倾斜角为 0°或 90°, 又由直线 l 过点 P(3,1) ,故直线 l 的方 程为:x=3 或 y=1. 解法三: 设直线 l 与 l1、 l2 分别相交 A (x1, y1) 、 B (x2, y2) , 则 x1+y1+1=0, x2+y2+6=0. 两式相减,得(x1﹣x2)+(y1﹣y2)=5.① 2 2 又(x1﹣x2) +(y1﹣y2) =25.② 联立① 、② 可得 或

由上可知, 直线 l 的倾斜角分别为 0°或 90°. 故所求的直线方程为 x=3 或 y=1.

点评:

本题是中档题,考查直线与直线的位置关 系,直线与直线所成的角,直线的点斜式 方程,斜率是否存在是容易出错的地方, 注意本题的三种方法. ,

19. (12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x﹣y+1=0 相交的弦长为 2 求圆的方程. 考点: 专题: 直线与圆的位置关系. 综合题.
20

菁优网版权所有

分析:

设出圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r , 由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得 到圆心在这条直线上,设出圆心坐标,代入 到 x+2y=0 中得到① ;把 A 的坐标代入圆的 方程得到② ; 由圆与直线 x﹣y+1=0 相交的弦 长为 2 ,利用垂径定理得到弦的一半,圆 的半径,弦心距成直角三角形,利用勾股定 理得到③ , 三者联立即可求出 a、 b 和 r 的值, 得到满足题意的圆方程.

2

2

2

解答:

解:设所求圆的圆心为(a,b) ,半径为 r, ∵ 点A (2, 3) 关于直线 x+2y=0 的对称点 A′ 仍在这个圆上, ∴ 圆心(a,b)在直线 x+2y=0 上, ∴ a+2b=0,① (2﹣a) +(3﹣b) =r .② 又直线 x﹣y+1=0 截圆所得的弦长为 2 , 圆心(a,b)到直线 x﹣y+1=0 的距离为 d= =
2 2 2 2

, )= (
2

则根据垂径定理得: r﹣ (
2



③ 解由方程① 、② 、③ 组成的方程组得:


2 2

∴ 所求圆的方程为(x﹣6) +(y+3) =52 2 2 或(x﹣14) +(y+7) =244.

21

点评:

此题要求学生掌握直线与圆的位置关系, 灵 活运用垂径定理及对称知识化简求值,是一 道中档题. 学生做题时注意满足题意的圆方 程有两个.

20. (12 分)某集团准备兴办一所中学,投资 1200 万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教 育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下: 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万/人) 60 2.0 28 1.2 初中 40 2.5 58 1.6 高中 根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费 600 元,高中生每年可收取学费 1500 元.因生源和 环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润 多少万元?(利润=学费收入﹣年薪支出) 考点: 专题: 分析: 简单线性规划的应用. 应用题;数形结合. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题 属于直线方程的一个应用.设初中 x 个班, 高中 y 个班, 年利润为 s, 根据题意找出约束 条件与目标函数,准确地描画可行域,再利 用图形直线求得满足题设的最优解.

菁优网版权所有

22

解答:

解:设初中 x 个班,高中 y 个班,则

设年利润为 s,则

s=60×0.06x+40×0.15y﹣2×1.2x﹣2.5×1.6y =1.2x+2y 作出① 、② 表示的平面区域,如上图,易知当 直线 1.2x+2y=s 过点 A 时,s 有最大值. 由 解得 A(18,12)

∴ smax=1.2×18+2×12=45.6(万元) . 即学校可规划初中 18 个班,高中 12 个班, 可获得最大年利润为 45.6 万元.

点评:

用图解法解决线性规划问题时,分析题目的 已知条件, 找出约束条件和目标函数是关键, 可先将题目中的量分类、列出表格,理清头 绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将 可行域各角点的值一一代入,最后比较,即 可得到目标函数的最优解.

21. (12 分)直线 y=kx 与圆 x +y ﹣6x﹣4y+10=0 相交于两个不同点 A、B,当 k 取不同实数值时,求 AB 中点的轨 迹方程. 考点: 直线与圆的位置关系;轨迹方程.

2

2

菁优网版权所有

23

专题: 分析:

计算题;综合题;转化思想. 法一为参数法,适当引入参数,设出中点坐 标,通过联立方程组,利用韦达定理,再消 去参数得所求轨迹; 法二为“差分法”,设出 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,代入圆的方程,作差,利用中点公式, 结合直线的斜率,消去参数求中点轨迹方 程.

解答: 解:法一:由 消去 y,得(1+k )x ﹣(6+4k)x+10=0. 设此方程的两根为 x1、x2,AB 的中点坐标 为 P(x,y) , 则由韦达定理和中点坐标公式,得 x= = = .①
2 2

又点 P 在直线 y=kx 上, ∴ y=kx. ∴ k= .②

将② 代入① ,得 x=
2 2

(x≠0) ,整理得

x +y ﹣3x﹣2y=0. 2 2 故轨迹是圆 x +y ﹣3x﹣2y=0 位于已知圆内 的部分. 解法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 2 2 x1 +y1 ﹣6x1﹣4y1+10=0,① 2 2 x2 +y2 ﹣6x2﹣4y2+10=0,② 2 2 2 2 ① ﹣② ,得(x1 ﹣x2 )+(y1 ﹣y2 )﹣6(x1 ﹣x2)﹣4(y1﹣y2)=0. 设 AB 的中点为(x,y) ,则 x1+x2=2x, y1+y2=2y. 代入上式,有 2x(x1﹣x2)+2y(y1﹣y2)﹣ 6(x1﹣x2)﹣4(y1﹣y2)=0, 即(2x﹣6) (x1﹣x2)+(2y﹣4) (y1﹣y2) =0.
24



=﹣

=﹣k.③

又∵ y=kx,④ 2 2 由③ ④ 得 x +y ﹣3x﹣2y=0. 故所求轨迹为已知圆内的一段弧.

点评:

本题考查与圆有关的轨迹问题.法一为参数 法, 适当引入参数, 再消去参数得所求轨迹; 法二为“差分法”,是求中点轨迹的一种常用 方法.
2 2 2

22. (12 分) (2008?海南)已知 m∈R,直线 l:mx﹣(m +1)y=4m 和圆 C:x +y ﹣8x+4y+16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么?

考点:

基本不等式在最值问题中的应用;直线的 斜率;直线与圆的位置关系.
菁优网版权所有

分析:

(1)写出直线的斜率利用基本不等式求最 值; (2)直线与圆相交,注意半径、弦心距、 弦长的一半构成的直角三角形

25

解答:

解: (1)直线 l 的方程可化为 ,此时斜率 即 km ﹣m+k=0,∵ △ ≥0,∴ 1﹣4k ≥0, 所以,斜率 k 的取值范围是 .
2 2



(2)不能.由(1 知 l 的方程为 y=k(x﹣ 4) ,其中 ;

圆 C 的圆心为 C(4,﹣2) ,半径 r=2;圆 心 C 到直线 l 的距离



,得

,即



从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 ,

所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的 两段弧.

26

点评:

本题考查直线与圆及不等式知识的综合应 用. 高考考点:直线与圆及不等式知识的综合 应用 易错点:对有关公式掌握不到位而出错. 全品备考提示:本题不是很难,但需要大 家有扎实的功底,对相关知识都要受熟练 掌握.

参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;zlzhan;yhx01248;gongjy;rxl;ccxiking;caoqz;zhwsd;sllwyn;wdnah; 733008;翔宇老师;geyanli;minqi5;wzj123(排名不分先后)
菁优网 2014 年 10 月 2 日

27


推荐相关:

直线与方程、 圆与方程单元测试卷(1)菁优网

直线与方程圆与方程单元测试卷(1)菁优网_数学_高中教育_教育专区。直线与...3. (5 分)已知直线 l 过点 M(﹣1,0) ,并且斜率为 1,则直线 l 的方程...


直线与方程、 圆与方程单元测试卷(2) 菁优网

直线与方程圆与方程单元测试卷(2)一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 ...


《第3章 直线与方程》、《第4章 圆与方程》2013年单元测试卷(深圳三中)

《第 3 章 直线与方程》 《第 4 章 圆与方程》 、 2013 年单元测试卷(深圳三中) 菁优网 www.jyeoo.com 《第 3 章 直线与方程》《第 4 章 圆与方程...


第四章 圆与方程(优化设计1)

同系列文档 圆的方程 直线、圆的位置关系 空间直角坐标系 圆与方程单元测试...第四章圆与方程测试卷1 3页 1财富值 必修② 第四章 圆与方程 导... 20...


高中数学 必修二 直线与方程、圆与方程、线性规划测试

人教版高中教材 直线与方程圆与方程、线性规划测试卷满分 150 分,测试时间 ...APB ? 60? ,则动点 P 的轨迹方程为___. -2- 三、 解答题(本大题共 ...


2011届赣马高级中学高三数学限时小题训练-直线与方程。圆与方程

圆与方程 隐藏>> 编写人:李大坤 审核人:王怀学 2010-9-12 限时小题训练---直线的斜率与直线方程 1. (2009 上海青浦区)直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的...


2012.11.2第三章_直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题 (1)

2012.11.2第章_直线与方程、第四章圆的知识点...第四章 圆与方程 1.圆的定义:平面内到一定点的...2015国考申论押密试卷及答案 2015国考面试通关宝典 ...


直线与方程、圆与方程(高三一轮复习讲义,苏州何睦)

直线与方程圆与方程(高三一轮复习讲义,苏州何睦)...点 Q 在定直线上. 解: (1)由题意得 PC1 ? ...(5 分) 4 3 (2)法 1(几何法) 四边形 SMC2...


高中数学必修二 直线与方程及圆与方程测试题

高中数学必修二 直线与方程圆与方程测试题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。.... 2 3 D. . 2 ) 5.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线的方程是 过 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com