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3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)zx


1.2 不等关系与不等式(二)
【课标要求】 掌握不等式的有关性质. 1. 能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等 2. 式. 【核心扫描】 1. 不等式的八条性质的理解和应用.(重点、难点) 2. 不等式的性质应用广泛、特别是结合其他性质进行判断, 和函数等知识结合命题.

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r /> 自学导引
1.不等式的性质 性质 1 2 3 别名 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 注意 可逆 可逆

4

可乘性

c的符号

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性质

别名

性质内容

注意

5

同向可加性

同向

6

同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
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同向 a>b>0?an>bn (n∈N,n≥2) 同正

7 8

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想一想:若a>b>0,当n<0时,an>bn成立吗?
提示 不成立,如当 a=3,b=2,若 n=-1,则 3 1=


1 1 <2-1= ,所以原式不成立. 3 2

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名师点睛
1.对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识,是不等式变形的 依据,每一步变形,都应有根有据,记准适用条件是关 键,不准强化或弱化它们成立的条件,盲目套用. (2)性质4中①当c>0时,得同向不等式.②当c<0时,得 异向不等式.③当c=0时,ac=bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式. (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式, 并无相除式.

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(5)性质 7、 8 成立的条件:“n 是大于 1 的整数,a>b> 0”对 于 a、 b 均为正数这个条件不能忽略, 即 a>b? a > b 但 a> b 是不一定成立的,当 n 取正整数时,可放宽条件,命题仍成立, 即有 a>b?a >b (n=2k+1,k∈ N ),a> b? a> b(n= 2k + 1, k∈N*)
n n * n n

n

n

n

n

2.不等式几个性质的推广 同向可加性与同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等 式,即:

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? 1?a1> b1 ? ? a2> b2 ? ?? a1+ a2+?+ an> b1+ b2+?+ bn. ? ? an> bn? ? ? 2?a1> b1> 0 ? ? a2> b2> 0 ? ?? a1· a2 · ?· an> b1· b2· ?· bn. ? ? an> bn> 0? ?

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题型一

利用不等式性质判断命题真假

【例1】 判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)若 a> b,则 ac2> bc2; a b (2)若 2> 2,则 a> b; c c 1 1 (3)a> b, ab≠ 0,则 < ; a b (4)若 a>b, c> d,则 ac> bd.

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[思路探索] (1)由 a>b 得 ac2>bc2,关键看 c2 的情况,若 c2=0, a b 则 ac2>bc2 不成立,若 c2≠0 则成立.(2)中 2> 2已隐含 c2≠0 c c 这一条件.(3)(4)类似分析.



(1)错误,当 c= 0 时不成立.
2 2

a b (2)正确.∵ c ≠0 且 c > 0,∴在 2> 2两边同乘以 c2 不等式方向 c c 不变.∴ a> b. 1 1 (3)错误. a> b? < 成立的条件是 ab> 0. a b (4)错误. a> b, c> d? ac> bd,当 a, b, c, d 均为正数时成立.
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规律方法 判断一个命题是假命题的常用方法 (1)从条件入手,推出与结论相反的结论;(2)举出反例予 以否定.反例法简捷、快速、有效,是解决该类问题行之 有效的好方法.

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c d 已知三个不等式:① ab > 0 ,② > ,③bc>ad.以其中 【训练1】 a b 两个作条件, 余下一个作结论, 则可组成________个正确命题.
解析 c d bc- ad 将命题②作等价变形: > ? > 0. a b ab

由 ab> 0, bc> ad,可得②成立,即①③? ② bc- ad 若 ab> 0, > 0,则 bc> ad,故①②?③; ab bc- ad 若 bc> ad, > 0,则 ab> 0,故②③?① . ab ∴可组成 3 个正确命题.

答案

3
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题型二

利用不等式性质证明简单不等式

【例2】 (1)已知 a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc;
1 1 n (2)已知 a>1,m>n>0,求证:a + m>a + n. a a [思路探索] (1)对不等式进行变形,利用不等式的性质证
m

明;(2)将不等式两边相减,转化为比较与0的大小问题.
解 (1)因为 a>b,c>0,所以 ac>bc,即-ac<-bc.

又 e>f,所以 f-ac<e-bc.
? m 1 ? ? n 1 ? ?a (2)?a + m?-?a + n?= a ? ? a? ?
m

-an?? am+n-1? , am+ n

因为 a>1,m>n>0,所以 am>an,am+n>1,
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即 a -a >0,a
m

m

n

m+ n

? m 1? ? n 1? -1>0,故?a + m?-?a + n?>0, a ? ? a? ?

1 1 n 所以 a + m>a + n. a a 规律方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件,利 用不等式的性质,通过对不等式变形得证. (2)对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式 的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变 形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断 最终的符号,完成证明.

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e e 若 a > b > 0 , c < d < 0 , e < 0 ,求证: > 【训练2】 2 2. ? a-c? ? b-d?

证明

∵c<d<0,∴-c>-d>0,又 a>b>0,

∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 1 两边同乘以 2 2,得 2< 2. ? a-c? ? b-d? ? a-c? ? b-d? e e 又 e<0,∴ 2> 2. ? a-c? ? b-d?

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题型三 利用不等式的性质求范围

【例3】 (本题满分 12 分)已知 12<a<60,15<b<36.
a 求:a-b, 的取值范围. b

审题指导 求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注 意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,尤其是两 个同方向的不等式可加不可减可乘不可除.

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[规范解答] ∵15<b<36(3 分) ∴-36<-b<-15 ∴12-36<a-b<60-15∴-24<a-b<45(6 分) 1 1 1 又 < < (8 分) 36 b 15 12 a 60 ∴ < < (10 分) 36 b 15 1 a ∴ < <4(12 分) 3 b

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【题后反思】 利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时,要特别注意性质成立的条件,如同 向不等式相加,不等号方向不变,两边都是正数的同向不 等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形 的等价性.

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π π α+ β α- β , 的取值范围. 【训练3】 已知- ≤α<β≤ .求 2 2 2 2
解 π π π α π ∵- ≤α< β≤ ,∴- ≤ < , 2 2 4 2 4

π β π π α+ β π - < ≤ .将两式相加.得- < < . 4 2 4 2 2 2 π β π π β π ∵- < ≤ .∴- ≤- < . 4 2 4 4 2 4 α- β π α- β π π α- β ∴- ≤ < .又知 α< β,∴ < 0.故- ≤ < 0. 2 2 2 2 2 2

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误区警示

不等式的可加性导致范围扩大而致错

【示例】 设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的 取值范围. ?3 ? ?2≤a≤3, ?1≤ a- b≤ 2, [错解] 由? 得? ? ? 2≤ a+ b≤ 4 ?0≤b≤3. ? 2
所以 3≤f(-2)=4a-2b≤12,即 3≤f(-2)≤12.

本题把所求的问题用已知不等式表示,然后利用 同向不等式的性质 加以解决,解决此类问题常用的方法是 方程组思想与待定系数法.
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[正解 ] 法一

(待定系数法 ):

设 f(- 2)= 4a- 2b= m(a- b)+ n(a+ b),
? ?m+ n= 4, 所以? ? ?- m+ n=- 2, ? ?m= 3, 解得? ? ?n= 1.

所以 f(- 2)= 3(a- b)+ (a+ b).又因为 1≤ a- b≤ 2, 所以 3≤ 3(a- b)≤ 6 因为 2≤ a+ b≤ 4. 所以 5≤ 3(a- b)+ (a+ b)≤ 10.即 5≤ f(- 2)≤ 10. 法二
? ?x= a- b, 设? ? ?y= a+ b,

x+ y y- x 即 a= , b= . 2 2

所以f(-2)=4a-2b=2(x+y)-(y-x)=3x+y, 而1≤x=a-b≤2,2≤y=a+b≤4,所以5≤f(-2)≤10.
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在求解某些有关联的未知数范围时,因多次使用 不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的 范围改变,出现错误,因此,要尽可能少地运用不等式的可 加性求范围.

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