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辽宁省大连三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


辽宁省大连三中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
一、 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.命题“?x∈,sinx﹣cosx>2”的否定是( ) A.?x∈,sinx﹣cosx<2 B.?x∈,sinx﹣cosx≤2 C.?x∈,sinx﹣cosx≤2 D.?x∈,sinx﹣

cosx<2 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:特称命题的否定是全称命题, ∴命题“?x∈,sinx﹣cosx>2”的否定是?x∈,sinx﹣cosx≤2, 故选 C. 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 2.集合 A={y|y=lgx,x>1},B={﹣2,﹣1,1,2}则下列结论正确的是( A.A∩B={﹣2,﹣1} B. (CRA)∪B=(﹣∞,0) D. (CRA)∩B={﹣2,﹣1} )

C.A∪B=(0,+∞)

考点:交、并、补集的混合运算. 分析:由题意 A={y|y=lgx,x>1},根据对数的定义得 A={y|>0},又有 B={﹣2,﹣1,1,2}, 对 A、B、C、D 选项进行一一验证. 解答: 解:∵A={y|y=lgx,x>1}, ∴A={y|y>0},∵B={﹣2,﹣1,1,2} A∩B={1,2},故 A 错误; (CRA)∪B=(﹣∞,0],故 B 错误; ∵﹣1∈A∪B,∴C 错误; (CRA)={y|y≤0},又 B={﹣2,﹣1,1,2} ∴(CRA)∩B={﹣2,﹣1}, 故选 D. 点评:此题主要考查对数的定义及集合的交集及补集运算,集合间的交、并、补运算是 2015 届高考中的常考内容,要认真掌握,并确保得分.

3.已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“sinA= A.必要不充分条件 C.充要条件

”是“cosA= ”的(

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: A 是三角形 ABC 的内角, 由“sinA= 之由“cosA= ”可得 A= ,可得“sinA= ”?A= ”. ”?A= 或 ,当 A= 时,推不出 或 , 当 A= 时, 推不出“cosA= ”. 反

解答: 解:∵A 是三角形 ABC 的内角,由“sinA= “cosA= ”. 反之由“cosA= ”可得 A= 因此“sinA= ,可得“sinA= ”.

”是“cosA= ”的必要不充分条件.

故选:A. 点评:本题考查了充要条件的判定、三角函数的特殊值,属于基础题.

4.如图,正六边形 ABCDEF 中,

+

+

=(

)

A.

B.

C.

D.

考点:向量的加法及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意,结合正六边形的性质和向量的加法运算法则,进行计算即可. 解答: 解:正六边形 ABCDEF 中, ∵ ∴ = = = + + . , + + = = ; + +

故选:D. 点评:本题考查了平面向量的运算问题,解题时应根据平面向量的加法法则,直接计算即可, 是基础题.

5.已知数列{an}的通项公式 n 等于( A.6 ) B.7 C.8

.若数列{an}的前 n 项和

,则

D.9

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据数列的通项特点可知可利用裂项求和进行求和,然后根据 程,解之即可. 解答: 解:∵ ∴an= ( ﹣ ) ) 建立关于 n 的方

∴数列{an}的前 n 项和 Sn= = (1﹣ ∵ , )= 解得 n=7

∴Sn= (1﹣

故选 B. 点评:本题主要考查了数列的求和,解题的关键根据数列的通项选择相应的求和方法,同时考 查了运算求解的能力,属于基础题.

6.函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 别是( )

<φ<

)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分

A.

B.

C.

D.

考点:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= 得 ω=2. 由函数当 x= 时取得最大值 2, 得到 +φ= =π,解 . 由

+kπ (k∈Z) , 取 k=0 得到 φ=﹣

此即可得到本题的答案.

解答: 解:∵在同一周期内,函数在 x= ∴函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = ,

时取得最大值,x=

时取得最小值,

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ) 又∵当 x= ∴2sin(2? ∵ 时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z)

,∴取 k=0,得 φ=﹣

故选:A. 点评:本题给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象 与性质、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题. 7.在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是( A. (0, ] B. D .
2 2 2

)

故选 C 点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.作为解三角形中常用的两个定理,考生应 能熟练记忆.

8.已知向量 m、n 满足| |=2,| |=3, A. B.3 C.

,则| + |=( D.

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意可得 解答: 解:由 ,| ﹣ | +| + | =2
2 2 2

+2
2

2

=26,从而求得| + |的值.
2 2

,| |=2,| |=3,∴| ﹣ | +| + | =2

+2

2

=26,∴| + |=3,

故选:B. 点评:本题主要对向量的运算进行考查,同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求,属 于基础题.

9. 已知各项均为正数的等比数列{an}中, A.﹣1 或 3 B.3 C.27

成等差数列, 则 D.1 或 27

=(

)

考点:等比数列的通项公式;等差数列的性质.

专题:等差数列与等比数列. 分析:已知各项均为正数的等比数列{an},设出首项为 a1,公比为 q,根据 成等差数列,可以求出公比 q,再代入所求式子进行计算; 解答: 解:∵各项均为正数的等比数列{an}中,公比为 q, ∵ 成等差数列,
2 2

∴a3=3a1+2a2,可得 a1q =33a1+2a1q ,解得 q=﹣1 或 3, ∵正数的等比数列 q=﹣1 舍去, 故 q=3, ∴ = = = =27,

故选 C; 点评:此题主要考查等差数列和等比数列的性质,是一道基础题,计算量有些大,注意 q=﹣1 要舍去否则会有两个值; 10.设函数 y=xsinx+cosx 的图象上的点(x0,y0)的切线的斜率为 k,若 k=g(x0) ,则函数 k=g(x0) ,x0∈的图象大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:导数的运算;函数的图象. 专题:数形结合. 分析:先根据导数的几何意义写出 g(x)的表达式.再根据图象的对称性和函数值的分布, 逐一判断. 解答: 解:由题意,得 g(x)=xcosx,因为 g(﹣x)=﹣g(x)所以它是奇函数. k=g(x0)=y′(x0)=x0cosx0,

注意到 g(x)为奇函数,故其图象关于原点中心对称.排除 B,C. 又当 0<x<1 时,cosx>0,∴xcosx>0,知 D 项不符合,

故选 A. 点评:对于这样的图象信息题,要根据选项,找出区分度,如图象的对称性,单调性,函数值 的特征等,再逐一判断.在选择题的作答中,排除法一直是切实有效的方法之一,特别是这样 的图象题,优势尤为明显. 11.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈时,f(x)=1﹣x ,函数 g(x)
2

=

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间内的零点个数是(

)

A.5

B.7

C.8

D.10

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x+2)=f(x) ,得到函数的周期是 2,作出函数 f(x)和 g(x)的图象,利用数 形结合即可得到结论. 解答: 解:∵f(x+2)=f(x) ,∴函数的周期是 2, 由 h(x)=f(x)﹣g(x)=0 得 f(x)=g(x) ,
2

∵x∈时,f(x)=1﹣x ,函数 g(x)=



∴分别作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图: 则两个函数图象有 8 个交点, 故函数零点的个数为 8 个, 故选:C

点评:本题主要考查函数零点个数的判断,根据函数的周期性,利用数形结合是解决本题的关 键. 12.设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立,则( A.3f(ln2)>2f(ln3) B.3f(ln2)=2f(ln3) )

C.3f(ln2)<2f(ln3) D.3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定 考点:利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析:构造函数 g(x)= ,利用导数可判断 g(x)的单调性,由单调性可得 g(ln2)

与 g(ln3)的大小关系,整理即可得到答案. 解答: 解:令 g(x)= ,则

= 因为对任意 x∈R 都有 f'(x)>f(x) , 所以 g′(x)>0,即 g(x)在 R 上单调递增, 又 ln2<ln3,所以 g(ln2)<g(ln3) ,即





所以

,即 3f(ln2)<2f(ln3) ,

故选 C. 点评:本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属中档题,解决本题的关键是根据 选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=74. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题. 分析: 根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等, 看出第三项与第七项的和等于 第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和,得到结果. 解答: 解:等差数列{an}中,a3+a7=37, ∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37 ∴a2+a4+a6+a8=37+37=74, 故答案为:74 点评:本题考查等差数列的性质,这是经常用到的一个性质的应用,注意解题要灵活,不要出 现数字运算的错误是一个送分题目.

14.已知向量 =(

,1) , =(0,﹣1) , =(k,

) .若

与 共线,则 k=1.

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用.

分析:利用向量的坐标运算求出 程,求出 k 的值. 解答: 解: ∵ 与 共线,

的坐标;利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方

∴ 解得 k=1. 故答案为 1. 点评:本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件:坐标交叉相乘相等.

15.已知 tan(α+β)= ,

,那么 tan(α+

)的值是



考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:直接利用两角和的正切函数公式求解即可. 解答: 解:因为 tan(α+β)= , ,

所以 tan(α+

)=tan=

=

=



故答案为:



点评:本题考查两角和与差的三角函数,基本知识的考查. 16.如图在区域 Ω={(x,y)|﹣2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒豆子,豆子落在图中阴影部分内的概 率为 .

考点:几何概型. 专题:导数的综合应用;概率与统计. 分析:先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积,再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域的面积,从而可求概率. 解答: 解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为 16.

正弦曲线 y=x 与 x 轴围成的区域记为 M, 根据图形的对称性得:面积为 S=2∫0 x dx=2× x |0 =
2 2 3 2

2



由几何概率的计算公式可得,随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率 P= = .

故答案为: . 点评: 本题考查利用积分求解曲面的面积, 几何概型的计算公式的运用, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70. (Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列 bn 的最小项是第几项,并求出该项的值.

考点:等差数列的通项公式;基本不等式. 专题:计算题;转化思想. 分析: (I)设公差为 d,则有 解方程可求 a1,d,进而可求 an

(II)利用等差数列的和可求 Sn,然后可求 bn,然后结合基本不等式可求最小项 解答: 解: (I)设公差为 d,则有 …

解得

以 an=3n﹣2.



(II)



所以

=

﹣1



当且仅当

,即 n=4 时取等号,

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. … 点评:本题主要考查了利用基本量 a1,d 表示等差数列的项、通项公式,这是数列部分最基本 的考查试题类型,而基本不等式的应用是求解数列最小项的关键. ,x∈R.

18.设函数

(1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合; (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期.

考点:两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析: (1)将 f(x)的解析式第二项利用诱导公式化简,把 ω 的值代入,并利用两角和与差 的正弦函数公式及 特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数, 由正弦函数的值域求出 f (x) 的最大值,以及此时 x 的集合; (2)由第一问确定的 f(x)的解析式以及且 x= 解析式中化简,得到 f( )=0,可得出 ﹣ 是 f(x)的一个零点,将 x= 代入 f(x)

=kπ,k 为整数,整理得到 ω=8k+2,由 ω

的范围列出关于 k 的不等式,求出不等式的解集得到 k 的范围,由 k 为整数得到 k=0,可得出 ω=2,确定出函数 f(x)解析式,即可求出函数的最小正周期. 解答: 解: (1)f(x)=sinωx+sin(ωx﹣ 当 ω= 时,f(x)=sin ﹣cos = 又﹣1≤sin( ﹣ 令 ﹣ =2kπ+ sin( ﹣ )=sinωx﹣cosωx,… ) ,… ,…

)≤1,∴f(x)的最大值为 ,k∈Z,解得:x=4kπ+

,k∈Z,

则相应的 x 的集合为{x|x=4kπ+ (2)∵f(x)= ∴f( ∴ )=sin( ﹣ sin(ωx﹣ ﹣

,k∈Z};… ) ,且 x= 是 f(x)的一个零点,

)=0,…

=kπ,k∈Z,整理得:ω=8k+2,

又 0<ω<10,∴0<8k+2<10, 解得:﹣ <k<1, 又 k∈Z,∴k=0,ω=2,… ∴f(x)= sin(2x﹣ ) ,

则 f(x)的最小正周期为 π.… 点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,正弦函数的图象与 性质,以及三角函数的周期性及其求法,熟练掌握公式是解本题的关键. 19.在数列{an}中,a1=3,an=2an﹣1+n﹣2(n≥2,且 n∈N ) (1)求 a2,a3 的值;
*

(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;数列的求和. 专题:综合题. 分析: (1)由题设条件,分别取 n=2,3,能够得到 a2,a3 的值; (2)由 ,知数列 an+n 是首项

为 a1+1=4,公比为 2 的等比数列.由此能求出{an}的通项公式; n+1 + 2 3 4 n+1 (3)由 an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) ,知 Sn=(2 +2 +2 +…+2 )﹣(1+2+3+…+n) , 从而得到数列{an}的前 n 项和 Sn. + 解答: (1)解:∵a1=3,an=2an﹣1+n﹣2(n≥2,且 n∈N ) ∴a2=2a1+2﹣2=6 a3=2a2+3﹣2=13

(2)证明:∵ ∴数列 an+n 是首项为 a1+1=4, 公比为 2 的等比数列. ∴an+n=4? 2 =2 , n+1 即 an=2 ﹣n n+1 + ∴an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) (3)解:∵an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) 2 3 4 n+1 ∴Sn=(2 +2 +2 +…+2 )﹣(1+2+3+…+n) = 点评:本题考查数更的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用.
n+1 + n﹣1 n+1

20.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的值; ,b=2,求△ ABC 的面积 S.

考点:解三角形;三角函数中的恒等变换应用. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,整理后可求得 sinC 和 sinA 的 关系式,则 的值可得.

(Ⅱ)先通过余弦定理可求得 a 和 c 的关系式,同时利用(Ⅰ)中的结论和正弦定理求得 a 和 c 的另一关系式,最后联立求得 a 和 c,利用三角形面积公式即可求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理设 则 = = =

整理求得 sin(A+B)=2sin(B+C) 又 A+B+C=π ∴sinC=2sinA,即 =2

(Ⅱ)由余弦定理可知 cosB= 由(Ⅰ)可知 = =2②

= ①

再由 b=2,①②联立求得 c=2,a=1 sinB= ∴S= acsinB= 点评: 本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用. 考查了学生基本分析问题的能 力和基本的运算能力. 21.已知函数 f(x)=﹣ x + x ﹣2x(a∈R) . (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈max<2(a﹣1) .下面利用导数工具研究其单调性和最大值,即可得出实 数 a 的取值范围; (3)先将过点 可作曲线 y=f(x)的三条切线转化为:方程
3 2

=

有三个不同的实数解,下面利用导数研究函数 g(x)的零点,从而求得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=3 时,
2

,得 f'(x)=﹣x +3x﹣2.…

2

因为 f'(x)=﹣x +3x﹣2=﹣(x﹣1) (x﹣2) , 所以当 1<x<2 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x<1 或 x>2 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2) ,单调递减区间为(﹣∞,1)和(2,+∞) .… (2)方法 1:由 因为对于任意 x∈max<2(a﹣1) .… 因为 ①当 时,即 a<2 时,f'(x)在 ,其图象开口向下,对称轴为 . ,得 f'(x)=﹣x +ax﹣2,
2

22.已知函数 f(x)=x﹣alnx, (1)设函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求函数 h(x)的单调区间; (2)若在区间(e=2.718…)上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,求 a 的取值范围. 考点:数列与不等式的综合. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 h(x)的导函数,分情况讨论让其大于 0 求出增区间,小于 0 求出减 区间即可得到函数的单调区间. (2)先把 f(x0)<g(x0)成立转化为 h(x0)<0,即函数函数 h(x)=x+ 的最小值小于零,再结合(1)的结论分情况讨论求出其最小值即可求出 a 的取值范围. 解答: 解(1)∵函数 f(x)=x﹣alnx, ∴h(x)=f(x)﹣g(x)=x+ , 在上

∴h′(x)=1﹣

﹣ =

=



①当 a+1>0 时,即 a>﹣1 时,在(0,1+a)上,h′(x)<0,在(1+a,+∞)上,h′(x) >0, ∴h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增. ②当 1+a≤0 即 a≤﹣1 时,在(0,+∞)上 h′(x)>0, ∴函数 h(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)在区间上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立, 即在上存在一点 x0,使得 h(x0)<0, 即函数 h(x)=x+ 在上的最小值小于零.

由(1)知: ①即 1+a≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在上单调递减, ∴(1,+∞)的最小值为 h(e) ,由 ,得 ,



,∴



②当 1+a≤1,即 a≤0 时,h(x)在上单调递增, 所以 h(x)最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+a<0 可得 a<﹣2; ③当 1<1+a<e,即 0<a<e﹣1 时,可得 h(x)最小值为 h(1+a) , 因为 0<ln(1+a)<1, 所以,0<aln(1+a)<a 故 h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)>2 此时,h(1+a)<0 不成立.

综上讨论可得所求 a 的范围是:

或 a<﹣2.

点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注 意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用.


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