tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

高三文科数学立体几何(含答案)


高三文科数学一摸专题复习(立体几何)
【基础知识点】 一、平行问题
1. 直线与平面平行的判定与性质 定义 图形 判定定理 性质 性质定理

条件 结论 a∥α b∥α

a∥α a∩α= a∥b

2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 α∥β α∥β a∥b α∥β,a?β a∥

α 定理 性质

平行问题的转化关系:

二、垂直问题
一、直线与平面垂直 1. 直线和平面垂直的定义: 直线 l 与平面 α 内的 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 都垂直, 就说直线 l 与平面 α 互相垂直.

判定定理

推论

如果在两条平行直线中, 有一条垂直于平 面,那么另一条直线也垂直这个平面

3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言

4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.
1

②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面 垂直 图形语言 符号语言

2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言

性质定理

【典例探究】 类型一、平行与垂直
例 1.如图,已知三棱锥 A ? BPC 中, AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 中点, D 为 PB 中点,且△ PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。
A

M

P D B

C

C1 例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC ,

AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 , AB ? 2 2 , M , N 分别是
棱 CC1 , AB 中点. (Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A1 ;

A1

M C

B1

A (Ⅱ)求证: CN // 平面 A M B (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? A M N 的体积. 1;
C1

N

B

B1 A1

【变式 1】 . 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 中, 侧棱 AA1 别是 B1 A, CC1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ?

? 平面 ABC ,
E

?ABC 为等腰直角三角形,?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , D, E , F 分

D

F

AEF 的体积。

C A

B

二、线面平行与垂直的性质
2

例3、如图4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,

AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 ,
AB ? 2 DC ? 2 5 .
(1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底 面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, CG ?

(I)求证: PC ? BC ; (II)求三棱锥 C—DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在, 求 AM 的长;否则,说明理由。

1 CB. 3

【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=∠ADC=90° ,AB=2AD=2CD=2. (Ⅰ)求证:AC ? 平面 BB1C1C;(Ⅱ) A1B1 上是否存一点 P, 使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

三、三视图与折叠问题
例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (1) 证明: BD ∥面 PEC ; (2) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。

P

E A

B

例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,
。 AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB (如图 1) 现将 ?ADE 沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2) , 连结 AC , AB 。 C D

A E
C
图1

A

B D

M E
C
图2

(I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; D (II)试在棱 AB 上确定一点 M ,使截面 EMC 把几 何体分成两部分的体积比 V ADCME : VMECB ? 2 : 1 ; (III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。

B

3

【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点. (I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且

科网

PF ? ? ,则 ? 为何值时, PA ? 平面 BDF. FA
P

E

D C A

B

【变式 4】如图 1 所示,正 ?ABC 的 边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E, F 分别是 AC, BC 的中点。 现将 ?ABC 沿 CD 翻折, 使翻折后平面 ACD ? 平 面 BCD(如图 2) ( 1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。

A E C

A E D B F 图( 2) C

D F B 图( 1)

四、立体几何中的最值问题 例 8. 如图,在 ?ABC中,?B =
'

?
2

,AB ? BC ? 2, P 为AB 边上一动点,PD//BC 交 AC 于 点 D,现
'

将 ?PDA沿PD翻折至?PDA , 使平面PDA ? 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

A B C ? C ?? 9 0 A ? E ? P B 【变式 5】 如图 3, 已知在 ? 中, ,P 平面 ABC,A A E F ? ? 于 E, A 于 F, A ,? ,当 ? 变化时,求三棱 FP ? C P ? A B ? 2 ?E F 锥 PA 体积的最大值。

4

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案) 【典例探究】 例 1 解: (Ⅰ)∵ M 为AB中点,D为PB中点, ∴ MD ∥ AP ,又∴ MD ? 平面APC ∴ DM ∥ 平面APC (Ⅱ) ∵△ PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点, ∴ MD ? PB 又由(1)∴知 MD ? AP, ∴ AP ? PB 又已知 AP ? PC ∴ AP ? 平面PBC , ∴ AP ? BC ,又∵ AC ? BC ∴ BC ? 平面APC ,∴平面 ABC ? 平面 PAC , (Ⅲ)∵ AB ? 20 ,∴ MB ? 10 ,∴ PB ? 10 又 BC ? 4 , PC ? 100 ? 16 ? 84 ? 2 21
1 1 1 S?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21 2 4 4 1 1 又MD ? AP ? 202 ? 102 ? 5 3 2 2 1 1 ∴ VD ? BCM ? VM ? BCD ? S?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 3 3
P D B M A

C

∴ S?BDC ?

例 2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC 又因为 CN ? 平面 ABC , 所以 AA1 ? CN . 因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点, 所以 CN ? AB . 因为 AA1 I AB ? A , 所以 CN ? 平面 ABB1 A1 . (Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , 因为 N , G 分别是棱 AB , AB1 中点,
A N B A1 M C G C1

B1

5

1 BB1 . 2 1 又因为 CM // BB1 , CM ? BB1 , 2 所以 CM // NG , CM ? NG . 所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN // MG .

所以 NG // BB1 , NG ?

因为 CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , 所以 CN// 平面 AMB1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM ? 平面 AB1 N .
1 1 2 4 所以 VB1 ? AMN ? VM ? AB1N ? ? ? ? 4? 2 ? . 3 2 2 3

变式 1.(1)根据中点寻找平行线即可; (2)易证 AF ? B1 F ,在根据勾股定理的逆定理证明
B1F ? EF ; (3) 由于点 D 是线段 AB1 的中点, 故点 D 到平面 AEF 的距离是点 B1 到平面 AEF 距 1 离的 ,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 2 【解析】 (1)取 AB 中点 O ,连接 CO, DO 1 ? DO // AA1 , DO ? AA1 ,? DO // CE , DO ? CE ,? 平 行 四 边 形 2 ? DE // CO, DE ? 平面 ABC ,CO ? 平面 ABC , DOCE , ? DE // 平 面 ABC 。 (4 分) (2)等腰直角三角形 ?ABC 中 F 为斜边的中点,? AF ? BC 又?直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,?面 ABC ? 面 BB1C1C , ? AF ? 面 C1 B ,? AF ? B1F

6 3 3 , EF ? , B1 E ? ,? B1F 2 ? EF 2 ? B1 E 2 ,? B1 F ? EF 2 2 2 又 AF ? EF ? F , ? B1F ? 面 AEF 。 (8 分)

设 AB ? AA1 ? 1,? B1F ?

(3)由于点 D 是线段 AB1 的中点,故点 D 到平面 AEF 的距离是点 B1 到平面 AEF 距离的
2 2

1 。 2

? 2 ? 6 6 a ; 在 Rt?AEF 中 , , 所 以 三 棱 锥 的 高 为 B1 F ? a ? ? a ? a D ? AEF ? ? 2 ? 4 2 ? ?
3 2 6 2 a, AF ? a ,所以三棱锥 D ? AEF 的底面面积为 a ,故三棱锥 D ? AEF 的体积 2 2 8 1 6 2 6 1 a ? a ? a3 。 为 ? (12 分) 3 8 4 16 EF ?

6

二、线面平行与垂直的性质 例3.(1)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 2 , BD ? 4 , AB ? 2 5 ,
2 2 2 ∴ AD ? BD ? AB .

…… 2分

∴ AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAD . (2)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O . 又平面 PAD ? 平面 ABCD , ∴ PO ? 平面 ABCD . …… 6分 …… 4分

∵ △PAD 是边长为2的等边三角形, ∴ PO ? 3 . 由(1)知, AD ? BD ,在 Rt△ABD 中,
h? AD ? BD 4 5 ? AB 5 .

P

斜边 AB 边上的高为 ∵ AB ∥ DC ,∴

…… 8分

D O A

C B

1 1 4 5 S△ ACD ? CD ? h ? ? 5 ? ?2 2 2 5 . …… 10分 1 1 2 3 VA? PCD ? VP ? ACD ? S△ ACD ? PO ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 . ∴

…… 14分

例 4、 (I)证明:? PD ? 平面 ABCD,? PD ? BC 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD, ∵PDICE=D, ∴BC⊥平面 PCD 又∵PC ? 面 PBC,∴PC⊥BC (II)解:∵BC⊥平面 PCD,∴GC 是三棱锥 G—DEC 的高。 1 1 1 1 ∵E 是 PC 的中点,? S ?EDC ? S ?EDC ? S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ?VC ? DEG ? VG ? DEC ? GC ? S ?DEC ? ? ? 1 ? 3 3 3 9 (III)连结 AC,取 A C 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA//平面 MEG。 下面证明之 ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO//平面 PA,
7

又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面MEG ,∴PA//平面 MEG 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,? ?OCG ≌ ?OAM 2 2 ∴所求 AM 的长为 . ? AM ? CG ? , 3 3 变式 2.证明:(Ⅰ)直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2 ,∠CAB=45°,∴BC= 2 ,∴BC⊥AC. 又 BB1 ∩ BC=B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C ,∴ AC ⊥平面 BB1C1C. (Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点。
1 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1∥AB,且 PB1= AB. 2 1 又∵DC∥AB,DC= AB,∴DC∥PB1,且 DC=PB1, 2

∴DCB1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP.又 CB1∥ ? ACB1,DP ? 面 ACB1,∴DP∥面 ACB1. 同理,DP∥面 BCB1.
2 P 4 E A 4 俯视图 正视图 4 2 4 侧视图

例 5、

B C

4

D

(1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PA ? 面 ABCD , PA ∥ EB , PA ? 2EB ? 4.
? PA ? AD, F 为 PD 中点,? PD ? AF.

又?CD ? DA, CD ? PA, ?CD ? AF , AF ? 面 PCD 。 (2)取 PC 的中点 M , AC 与 BD 的交点为 N ,? MN ?
? MN ? EB, MN ∥ EB ,故 BEMN 为平行四边形,

1 PA, MN ∥ PA , 2

? EM ∥ BN ,? BD ∥面 PEC 。
8

1 1 16 (3) VE ? PBC ? VC ? PBE ? ? ( ?BE ?AB)?BC ? 3 2 3

例 6.答案略

变式 3.解: (1)由三视图得,四棱锥底面 ABCD 为菱形, 棱锥的高为 3,设 AC ? BD ? O ,则 PO 即是棱锥 的高,底面边长是 2,连接 OE ,? E, O 分别 是 DP, DB 的中点,?OE ∥ BP ,
? OE ? 面AEC, BP ? 面AEC ? PB ∥ 面AEC
1 1 ?1 1 ? (2) V三棱锥C-PAB ? V三棱锥P-ABC ? V四棱锥P-ABCD ? ? ? ? ( ? 2 ? 2 3) ? 3? ? 3 2 2 ?3 2 ?

(3)过 O 作 OF ? PA, 在Rt? POA中, PO ? 3, AO ? 3, PA ? 2 3 ? AF ?
? PF : FA ? 3时即? =3时, OF ? PA, ? PO ? BD, AC ? BD, PO ? AC ? O ? BD ? 面PAC

3 ----10 分 2

---------------12 分

? BD ? PA,由OF ? PA且BD ? OF ? O ? PA ? 面BDF ---------------14 分

变式 4.解: (1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分 证明: A 因在 ?ABC 中,E,F 分别是 A AC,BC 的中点,有 E EF//AB………………..5 分 E 又因 C AB ? 平面 DEF, D C D EF ? 平面 DEF…………..6 M 分 F F B 所以 B AB// 平 面 图( 2) 图( 1) DEF……………..7 分

(2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD,面 ACD ? 面 BCD=CD,而 EM ? 面 ACD
9

故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高……………………………..9 分
1 1 1 1 3 2 2 2 又 ? CDF 的面积为 S?CDF ? 2 S?BCD ? 2 ? 2 CD ? BD ? 4 (2a) ? a ? a ? 4 a
1 1 AD ? a ……………………………………………………………………11 分 2 2 故三棱锥 C-DEF 的体积为

EM=

1 1 3 2 1 3 3 VC ? DEF ? VE ?CDF ? ? S?CDF ? EM ? ? a ? a? a ........................14分 3 3 4 2 24

四、立体几何中的最值问题 例 8.解: (1)设 PA ? x ,则 VA?-PBCD
1 1 x2 ? PA ? S 底面PDCB ? x(2 ? ) 3 3 x

1 x2 2 x x3 令 f ( x) ? x(2 ? ) ? ? , ( x ? 0) 3 2 3 6

则 f ?( x) ?

2 x2 ? 3 2

x
f ?( x)
f ( x)

(0,

2 3 ) 3

2 3 3

(

2 3 ,?? ) 3
?

?
单调递增

0

极大值

单调递减

由上表易知:当 PA ? x ?

2 3 时,有 VA?-PBCD 取最大值。 3

证明: (2)作 A?B 得中点 F,连接 EF、FP 1 由已知得: EF // BC //PD ? ED // FP 2 ?A?PB 为等腰直角三角形, A?B ? PF 所以 A?B ? DE . A ? 变式 6. 解:因为 P 平面 ABC
B C ? 平面 ABC,

AB ? C 所以 P

C ? A C , P A ? A C ? A 又因为 B ,
C ? 所以 B 平面 PAC,
10

又A 平面 PAC, F ? 所以 B , C ? A F

F ? P C , P C ? B C ? C 又A ,
所以 A 平面 PBC,即 A 。 F ? FE ? F EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影, 因为 A , E ? P B 所以 E , FP ? B 即P 平面 AEF。 E ? 在三棱锥 PA 中, ?E F

A P ?? A BA 2 ,E ? P B ,
E ?2 , A E ?2 所以 P ,

A F ? 2sin?, E F ? 2co s? , 1 V E P?A E F ? S ? A E F ?P 3 1 1 ? ? ? 2sin?? 2co s? ? 2 3 2
? 2 sin2? 6

因为 0 ?? ?

?
2



? 2 ? , 0 ? s i n 21 ? 所以 0
2 ? 时, V 。 P ?A E F 取得最大值为 4 6

? ?

?

因此,当 ? ?

11


推荐相关:

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。文科立体几何平行垂直问题典型例题,题型比较齐全,值得下载 ...


山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东高考文科立体几何历年来考题及其答案 2008 年-2014 年山东高考文科数学立体几何大题...


2015届高三文科数学立体几何专题训练参考答案

2015届高三文科数学立体几何专题训练参考答案_数学_高中教育_教育专区。启恩中学 2015 届高三数学(文)立体几何训练题参考答案 1、⑴设⊙O 所在的平面为 ? , 依题...


新课标全国卷历年高考立体几何真题(含答案)

新课标全国卷历年高考立体几何真题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。集2011年到2016年高考全国卷的1、2、3卷的真题,题目、答案已认真校对,完成选修2-...


高考立体几何文科大题及答案

高考立体几何文科大题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考立体几何大题及答案 1.(2009 全国卷Ⅰ文)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, ...


高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)

高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)_数学_高中教育_教育专区。高二文科...高三文科数学立体几何练... 4页 1下载券 2013高二上学期期中考数... 8页...


高三立体几何习题(文科含答案)

高三立体几何习题(文科含答案)_数学_高中教育_教育专区。立几习题 2 1 若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 A. a 内的所有直线与异面 B. a 内...


2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案

2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学二轮专题复习 立体几何数学组:肖本贵 一、近几年高考考点分析 新...


【数学】2015高考试题分类汇编:文科立体几何答案版

数学】2015高考试题分类汇编:文科立体几何答案版_高三数学_数学_高中教育_教育...22015· 浙江卷] 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ...


2008-2014山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008-2014山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2008 年-2014 年山东高考文科数学立体几何大题及答案(08 年)19.如图,在四棱...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com