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数列--求通项公式的方法


成都起航教育个性化教育教案
教师: 申聪 学生: 罗文静 年级: 高三 科目: 数学 时间: 2015 年 7 月 日 教学内容: 数列通项公式的求法 课次: 一、教学目的与考点分析
1.教学目的:递推公式是求解数列的重要方法,理解递推公式的含义,能够根据递推公式类型求数列的通 项公式。 2.考点分析 (1)重点: 数列的通项公式 (2)难点: 数列的通项公式



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二、教学内容及步骤
(一)、数列通项公式的求解方法 类型 1、递推公式为 an 与 S n 的关系(或 Sn ? f ?an ? ) ?n ? 1? ?S 解法:这种类型一般利用 an ? ? 1 与 an ? Sn ? Sn?1 ? f ?an ? ? f ?an?1 ? ?n ? 2? 消去 S n 或与 ?Sn ? Sn?1 ?n ? 2? Sn ? f ?Sn ? Sn?1 ? 消去 an 进行求解. 例 1-1 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c, k 为常数),且 a2 ? 4 , a6 ? 8a3 ,求 an . 解:由 Sn ? kcn ? k得 an ? Sn ? Sn?1 ? kcn ? k n?1 ?n ? 2?

由a2 ? 4

a 6 ? 8a3得

2 ? ?a2 ? kc ? kc ? 6 5 3 2 ? ?kc ? kc ? 8 kc ? kc

?

?

?k ? 2 ?? ?c ? 2

所以 a1 ? s1 ? 2, an ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n?1 ? 2n ?n ? 2? 于是 an ? 2n . 练:已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 an ? 2Sn Sn?1 ? 0?n ? 2? , a1 ?
1 ,求 ?an ?的通项公式. 2

类型二、 an?1 ? an ? f ?n? 解法:“累加法”:把原递推公式转换为 an?1 ? an ? f ?n? ,利用累加法(逐差相加法)求解, ? 1? 例 1-2 在数列 ?an ?中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln?1 ? ? ,求 an ? n? ? 1? ? 1? 解: an?1 ? an ? ln?1 ? ? , 即an?1 ? an ? ln?1 ? ? ? n? ? n? ?2? ?3? ?4? ? n ? 所以 a2 ? a1 ? ln? ? , a3 ? a2 ? ln? ? , a4 ? a3 ? ln? ?? an ? an ?1 ? ln? ? ?1? ?2? ?3? ? n ?1 ?
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?2? ? 3? ?4? ? n ? 两边分别相加得 an ? a1 ? ln? ? ? ln? ? ? ln? ? ? ? ? ln? ? ? ln n ?1? ? 2? ?3? ? n ?1 ?

因为 a1 ? 2 ,所以 a n ?2 ? ln n ,即 a n ? 2 ? ln n ?n ? 2? 又因为 a1 ? 2 也满足上式,故数列 ?an ?的通项公式为 a n ? 2 ? ln n . 练:设数列 ?an ?满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 ,求数列 ?an ?的通项公式.

类型三、 an?1 ? f ?n?an
an ?1 ? f ?n ? 解法:“累乘法”:把原递推公式转换为 an ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
2 2 例 1-3 设数列 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ?1?an ,2,3,??,则它的通项公式 ?1 ? nan ? an?1an ? 0?n ? 1 是 an ? ________. 2 2 2 解: nan ?1 ? nan ? an?1 ? an?1an ? 0

2 2 n an ?1 ? an ? an?1 ?an?1 ? an ? ? 0

?

?

n?an?1 ? an ??an?1 ? an ? ? an?1 ?an?1 ? an ? ? 0 nan?1 ? nan ? an?1 ? 0 ? an?1 ?n ? 1? ? nan a a a 1 2 a a n 3 n ?1 ? n ? 即 n ?1 ? ,所以 2 ? , 3 ? , 4 ? , . a1 2 a2 3 an n ?1 a3 4 an?1 n 1 a 1 将等式两边分别相乘的 n ? ,因为 a1 ? 1 ,所以 an ? ?n ? 2 ? . n a1 n 1 又因为 a1 ? 1 也满足上式,故数列 ?an ?的通项公式为 an ? n 2 n an , 求 an 练:已知数列 ?an ?满足 a1 ? , an ?1 ? 3 n ?1

? pq? p ?1? ? 0?? . 类型四、待定系数法.形如 an?1 ? pan ? q?其中p, q均为常数, q 解法:把原递推公式转化为: an ?1 ? t ? p?an ? t ?, 其中t ? ,再利用换元法转化为等比数列求解. 1? p
例 1-4 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可转化为 an?1 ? t ? 2?an ? t ?即an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3. a ?3 ? 2, 故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? , 即 n ?1 a n ?3
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所以 ?an ? 3?是一个公比为 2,首项为 4 的等比数列,即 an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 b a ?3 或 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4, 且 n ?1 ? n?1 ? 2. bn an ? 3 所以 bn 是 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,即 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 练:在数列 ?an ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,求通项公式 an .

类型五、 an?1 ? pan ? qn ?其中p, q均为常数, ? pq? p ?1? ? 0?? 或者 an?1 ? pan ? rqn ?其中p, q, r均为常数? a ?1 p an 1 a ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? 其中bn ? n , 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除 q n ?1 ,得 n n ?1 q q q q qn p 1 得 bn ?1 ? bn ? 再用待定系数法解决。 q q 5 n ?1 1 a1 ? ?1? 例 1-5 已知数列 ?an ?中, 6 , an?1 ? an ? ? ? ,求 an . 3 ?2?

1 ?1? 解:在 an?1 ? an ? ? ? 3 ?2?
n

n ?1

两边同乘 2 n ?1 得: 2 n ?1 ? an ?1 ?

2 n 2 ? an ? 1 3
n

?

?

令 bn ? 2 ? an ,则 bn ?1 ?
n

2 ?2? bn ? 1 利用待定系数法 得 bn ? 3 ? 2? ? 3 ?3?
n

b ?1? ?1? 所以 an ? n ? 3? ? ? 2? ? n 2 ?2? ? 3?

练:设数列 ?an ?的前 n 项和 S n ?

4 1 2 an ? ? 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3? ,求首项 a1 与通项 an . 3 3 3

类型六、递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan ?其中p, q均为常数? 解法:特征根法: x 2 ? px ? q
n (1) x1 ? x2 时, an ? C1 ? x1n ? C2 ? xx

(2) x1 ? x2 时, an ? ?C1 ? C2 ? n?x1n 例 1-6 数列 ?an ?中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,且 2an ? an?1 ? an?1 ?n ? N? , n ? 2? ,求 an . 解:因为 2an ? an?1 ? an?1 所以 x 2 ? 2 x ? 1 得 x1 ? x2 ? 1 所以 an ? ?C1 ? C2 ? n??1n ? C1 ? C2 ? n 又因为 a1 ? 2 , a2 ? 3
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?C ? C2 ? 2 ?C1 ? 1 即? 1 ?? ?C1 ? 2C2 ? 3 ?C2 ? 1
所以 an ? 1 ? n n ? N *

?

?

练:数列 ?an ?中, f ?n ?an 类型 7、 a n ?1 ? g ?n ?an ? h?n ?

a1 ? 1, a2 ? 1, an ? 2 ?

2 1 an ?1 ? an 3 3 ,求 an .

解法:一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q . an ?1 例 1-7 已知数列 ?an ?满足: an ? , a1 ? 1 ,求数列 ?an ?的通项公式。 3 ? an ?1 ? 1 1 3 ? an ?1 ? 1 1 解:取倒数得: ? ? 3? an an ?1 an ?1

?1? 1 1 1 所以: ? ? 是等差数列, ? ? 3?n ? 1? ? 3n ? 2 ? an ? an a1 3n ? 2 ? an ? 3 3nan?1 练:已知数列 ?an ?满足: a1 ? ,且 an ? n ? 2, n ? N * ,求数列 ?an ?的通项公式。 2 2an?1 ? n ? 1

?

?

Aan ? B ?A、B、C为常数? Can ? D Ax ? B 解法:特征根法 x ? Cx ? D an ? x1 a ?x ? C ? n ?1 1 (1) x1 ? x2 时, an ? x2 an ?1 ? x2 1 1 ? ?C (2) x1 ? x2 时, an ? x2 an?1 ? x1 2 an 例 1-8 已知 a1 ? 1 , an ?1 ? n ? N * ,求 an . an ? 2 2x 解:因为 x 2 ? ,所以 x1 ? x2 ? 0 x?2 1 1 ?C 所以 ? an an ?1 2 1 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 代入,得 C ? . 3 2 ?1? 1 所以 ? ? 是以首项为 1,公差为 的等差数列。 2 ? an ?

类型 8、 an?1 ?

?

?

所以

1 n ?1 2 ? ? an ? n? N* . an 2 n ?1

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练:已知数列 ?an ?满足性质:对于 n ? N , an ?1 ?
a n ?4 ,且 a1 ? 3 ,求 ?an ?的通项公式. 2 an ? 3

三、课后作业
2 1.已知正项数列 ?an ?,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列,求数列 ?an ?的通项 an . 1 1 2.已知数列 ?an ?满足 a1 ? , an ?1 ? an ? 2 ,求 an . 2 n ?n n ?1 ?1 3.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ?n ?1?an?1 ?n ? 2?,则 ?an ?得通项 an ? ? ?___ n ? 2

4.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n?1 ,求 an . 5.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an n ? N * (1)证明:数列 ?an?1 ?a n ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ?的通项公式;

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6.数列 ?an ?满足 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0?n ? 0, n ? N ?, a1 ? a , a2 ? b ,求数列通项公式. 2a ? a 7.已知各项均为正数的数列 ?an ?满足: a1 ? 3 ,且 n ?1 n ? an an ?1 n ? N * ,求数列通项公式. 2an ? an ?1 13a n ?25 8.已知数列 ?an ?满足:对于 n ? N , an?1 ? (1)若 a1 ? 5 ,求 an (2)若 a1 ? 3 ,求 an . an ? 3

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三、学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:

起航教育教务处

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