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直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式


【课 题: 】直线的点斜式方程 【教学目的: 】 知识目标:在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜式方程, 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标:通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡,训练学生由 一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直 线的位置特征,培养学生的数形结合能力. 德育目标:通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 【教学重点: 】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,教学重点应放在 推导直线的斜截式方程上.实质上它也是整个直线方程理论 的基础。 【教学难点: 】在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程, 即直线上每个点的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程 的解为坐标的点在直线上. 【授课类型: 】新授课 【课时安排: 】1 课时 【教 具: 】 【教学过程: 】 1、复习引入: 2、讲解新课: (1)点斜式 已知直线 l 的斜率是 k, 并且经过点 P1(x1, y1), 直线是确定的, 也就是可求的, 怎样求直线 l 的方程(图 1-24)?

设点 P(x,y)是直线 l 上不同于 P1(x1,y1)的任意一点,根据经过两点的斜率公式得

k?

y ? y1 x ? x1

(1)

即 y-y1=k(x-x1) (2)

注意方程(1)与方程(2)的差异:点 P1 的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点 P1 不在方程(1)表示 的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线 l 的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以 这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上,所以这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的直线 l 的方程.(实质上是 证明了直线的方程与方程的直线的关系) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 注:当直线的斜率为 0°时(图 1-25),k=0,直线的方程是 y=y1.

当直线的斜率为 90°时(图 1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点 的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1.

(2)斜截式 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 b,求直线的方程. 这个问题, 相当于给出了直线上一点(0, b)及直线的斜率 k, 求直线的方程, 是点斜式方程的特殊情况, 代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就是 y=kx+b 上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它在 y 轴上的截 距确定的. 当 k≠0 时, 斜截式方程就是直线的表示形式, 这样一次函数中 k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的 斜率和在 y 轴上的截距.

注:斜截式方程因为形式是直线方程中最简的,故在后续的课程中有十分重要的运用,但上述两种直 线方程的形式都要求有斜率,故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论,而这正是最容易错的地 方。 典型范例 错例剖析 3、小 结: 4、课后作业: 5、能力提高: (1)已知直线 y=kx+b(k≠0)经过点( 2 ,1),求证直线不可能经过两个 有理点(所谓的有理点即横纵坐标均为有理数的点) 6、高考链结: 【板书设计: 】 【课后反思: 】

【课 题: 】直线的两点式方程 (1)两点式 已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1)、 P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是可 求的,请同学们求直线 l 的方程.

当 y1≠y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成

这个方程是由直线上两点确定的,故叫做直线的两点式方程. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见 y 就用 x 代 换得到,足码的规律完全一样. (2)截距式 试用两点式求方程: 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0,b≠0),求直线 l 的方程. 此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成. 解:因为直线 l 过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得

也就是

学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式. 这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式. 对截距式方程要注意下面三点: (1)如果已知直线在两轴上的截距, 可以直接代入截距式求直线的方程; (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标 轴平行和过原点的直线不能用截距式表示即如果有一个的截距为零则不能用截距式. 典型范例 错例剖析 3、小 结: 4、课后作业: 5、能力提高: (1)已知直线过点 P(3,4)且与 x,y 轴的正半轴相交于 A、B,求

使?AOB 面积最小时的直线方程。 6、高考链结: 【板书设计: 】 【课后反思: 】

【课 题: 】直线的一般式方程 【教学目的: 】 知识目标:掌握直线方程的一般形式及其运用 能力目标:通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系,进一步强化学生的对应概念;通过对几 个典型例题的研究,培养学生灵活运用知识、简化运算的能力. 德育目标: 通过对直线方程的几种形式的特点的分析, 培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点. 【教学重点: 】直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性,只有直线的一般式能表 示所有的直线,教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系. 【教学难点: 】 【授课类型: 】新授课 【课时安排: 】1 课时 【教 具: 】 【教学过程: 】 1、 复习引入: 点斜式、斜截式不能表示与 x 轴垂直的直线;两点式不能表示与坐标轴平行的直线;截距式既不能表 示与坐标轴平行的直线,又不能表示过原点的直线.与 x 轴垂直的直线可表示成 x=x0,与 x 轴平行的直线 可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程. 我们问:直线的方程都可以写成二元一次方程吗?反过来,二元一次方程都表示直线吗? 2、 讲解新课: 我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α.当 α≠90°时,直线有斜率,方程可写成下 面的形式:y=kx+b 当 α=90°时,它的方程可以写成 x=x0 的形式. 由于是在坐标平面上讨论问题,上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程.这样,对于每 一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程. 反过来,对于 x、y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0 其中 A、B 不同时为零. (1)当 B≠0 时,方程(1)可化为 y ? ?

A C x ? 即为直线的斜截式方程 B B C 它表示一条与 y 轴平行的 A

(2)当 B=0 时,由于 A、B 不同时为零,必有 A≠0,方程(1)可化为 x ? ?

直线. 这样,我们又有:关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为:Ax+By+C=0

这个方程(其中 A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式. 引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应? 直线与二元一次方程是一对多的,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程. 注:如果求解直线的方程没有特别说明要写成一般式。 典型范例

解:直线的点斜式是

化成一般式得 4x+3y-12=0. 把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以 12,就得到截距式

讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直 线上的任意点,因此是不唯一的,一般不作为最后结果保留,须进一步化简;(2)直线方程的一般式也是不 唯一的, 因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解, 一般方程可作为最终结果保留, 但须化为各系数既无公约数也不是分数;(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的,如无特别 要求,可作为最终结果保留. 例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和在 x 轴与 y 轴上的截距,并画图. 解:将原方程移项,得 2y=x+6,两边除以 2 得斜截式:

x=-6 根据直线过点 A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图 1-28). 本例题由学生完成,老师讲清下面的问题:二元一次方程的图形是直线,一条直线可由其方向和它上 面的一点确定,也可由直线上的两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通常我们是找出直线在两轴上的截 距,然后在两轴上找出相应的点连线.

例 3 证明:三点 A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一条直线上. 证法一 直线 AB 的方程是:

化简得 y=x+2. 将点 C 的坐标代入上面的方程,等式成立. ∴ A、B、C 三点共线.

所以 A、B、C 三点共线.

∵ |AB|+|BC|=|AC|, ∴ A、C、C 三点共线. 讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题的能力. 例 4 直线 x+2y-10=0 与过 A(1,3)、 B(5,2)的直线相交于 C,

此题按常规解题思路可先用两点式求出 AB 的方程,然后解方程组得到点 C 的坐标,再求点 C 分 AB 所成的定比,计算量大了一些.如果先用定比分点公式设出点 C 的坐标(即满足点 C 在直线 AB 上),然后 代入已知的直线方程求λ ,则计算量要小得多.

代入 x+2y-10=0 有:

解之得

λ =-3.

错例剖析 3、小 结: (1)归纳直线方程的五种形式及其特点. (2)例 4 一般化:求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时,可 用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线(或曲线)求得. 4、课后作业: 5、能力提高: 6、高考链结: 【板书设计: 】 【课后反思: 】



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