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一元二次不等式的解法


一元二次不等式的解法

数学学案

命题人:
班级 姓名

学习目的:掌握一元二次不等式的解法,体会数形结合在解二次不等式时的作用 进一步加深对高中知识的理解 学习重点:一元二次不等式的解法:含参数不等式的解法 学习内容:

二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 y y=x2-x-6 的解就是 y>0 y>0 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 -2 O 3 x x2-x-6>0 的解是 y<0 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 图 2.3-1 的解是 -2<x<3. 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元 二次不等式的解集.
那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法, 借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不 2 等式 ax +bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解.

我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0, △<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、 有两个相等的实数解和没有实数解, 相应地, 抛物线 y=ax2+bx+c (a>0) 与 x 轴分别有两个公共点、 一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示), 因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0 (a>0)的解. y y (1) y

x1

O x2

x O x1= x2 x

O ③

x



② 图 2.3-2

今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如 果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式, 再利用上面的结论去解不等式. 例题分析 例 1 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (2)x-x2+6<0;

(3)4x2+4x+1≥0;

(4)x2-6x+9≤0;

(5)-4+x-x2<0.

2 例 2 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2

例 3 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数).

例 4 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来.

课后小结:1.一元二次不等式的解法 2.含参数不等式的解法

2013 高一

班级学号 ____________ 命题人:

姓名_____________

数学作业
总第(6)期

一元二次不等式解法

一、选择题 2 1.已知不等式 ax +bx+c<0(a≠0)恒成立,则( ) A.a<0,Δ >0 B.a<0,Δ <0 C.a>0,Δ <0 D.a>0,Δ >0 答案:B 2.若 x -2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(- 2, 2] B.(- 2, 2) C.[- 2, 2) D.[- 2, 2] 解析:选 D.Δ =(-2a) -4×1×2≤0,∴- 2≤a≤ 2. 3.不等式 2x +mx+n>0 的解集是{x|x>3 或 x<-2},则二次函数 y=2x +mx+n 的表达式是 ) 2 2 A.y=2x +2x+12 B.y=2x -2x+12 2 2 C.y=2x +2x-12 D.y=2x -2x-12 解析: 选 D.由题意知-2 和 3 是对应方程的两个根,由根与系数的关系, 得-2+3=- ,-2×3 2 = .∴m=-2,n=-12.因此二次函数的表达式是 y=2x -2x-12,故选 D. 2 4.如果 ax -ax+1<0 无解,则实数 a 的取值范围为( A.0<a<4 B.0≤a<4 C.0<a≤4 D.0≤a≤4
2 2 2 2 2

)

(

m

n

2

)

解析:选 D.当 a=0 时,有 1<0,故 A=?.当 a≠0 时,若 A=?, ?a>0 ? 则有? ? 0<a≤4. 2 ? ?Δ =a -4a≤0 综上,a∈{a|0≤a≤4}. 5. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式为 y=3000+20x-0.1x (0<x<240, x∈N),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本 (销售收入不小于总成本 )时的最低产量是 ( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 解析:选 C.3000+20x-0.1x ≤25x?x +50x-30000≥0,解得 x≤-200(舍去)或 x≥150.
2 2 2

二、填空题 2 6.方程 x +(m-3)x+m=0 有两个实根,则实数 m 的取值范围是________. 解析:由 Δ =(m-3) -4m≥0 可得. 答案:m≤1 或 m≥9 7.不等式 x +mx+ >0 恒成立的条件是________. 2 解析:x +mx+ >0 恒成立,等价于 Δ <0, 2 即 m -4× <0?0<m<2. 2 答案:0<m<2 8. kx -6kx+?k+8?恒有意义,求实数 k 的取值范围. 解:①当 k=0 时,kx -6kx+k+8=8 满足条件; 2 ②当 k>0 时,必有 Δ =(-6k) -4k(k+8)≤0, 解得 0<k≤1.综上,0≤k≤1. 9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若 该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和与 t 之间的关 1 2 系)式为 s= t -2t,若累积利润 s 超过 30 万元,则销售时间 t(月)的取值范围为__________. 2 1 2 解析:依题意有 t -2t>30, 2 解得 t>10 或 t<-6(舍去). 答案:t>10 10.已知不等式 ax +(a-1)x+a-1<0 对于所有的实数 x 都成立,求 a 的取值范围. 解:当 a=0 时, 不等式为-x-1<0?x>-1 不恒成立. 当 a≠0 时,不等式恒成立,则有?
? ?a<0 即? 2 ? ??a-1? -4a?a-1?<0 ?a<0 ? ?? ? ??3a+1??a-1?>0 ? ?a<0, ?Δ <0, ?
2 2 2 2 2 2 2

m

m

m

a<0 ? ? ?? 1 a<- 或a>1 ? 3 ?

1 ?a<- . 3

1 即 a 的取值范围是(-∞,- ). 3

11.某省每年损失耕地 20 万亩,每亩耕地价值 24000 元,为了减少耕地损失,政府决定按耕地 5 价格的 t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少 t 万亩,为了既可减少耕地的损失又可保证 2 此项税收一年不少于 9000 万元,则 t 应在什么范围内? 5 5 解 : 由 题 意 知 征 收 耕 地 占 用 税 后 每 年 损 失 耕 地 为 (20 - t) 万 亩 . 则 税 收 收 入 为 (20 - 2 2 t)×24000×t%. 5 由题意(20- t)×24000×t%≥9000, 2 2 整理得 t -8t+15≤0,解得 3≤t≤5. ∴当耕地占用税率为 3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于 9000 万元.


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