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行列式与矩阵练习题




全排列

把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元 素的全排列(或排列).
n 个不同的元素的所有排列的种数用 P n 表示,

且 Pn

? n!.



逆序数

在一个排列 ? i 1 i 2 ? i t

? i s ? i n ?中,若数 i t ? i s, 则称这两个数组成一个逆序.

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数.
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为 偶数的排列称为偶排列.



计算排列逆序数的方法
方法1

分别计算出排在 1 ,2 ,? , n ? 1 , n 前面比它大的 数码之和,即分别算出 1 ,2 ,? , n ? 1 , n 这 n 个元素 的逆序数,这 n 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数. 方法2

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.







定义 在排列中,将任意两个元素对调,其余元 素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换.
定理 一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.



n阶行列式的定义
a 11 a 12 a 22 ? ? a1n a2n ? ? ?? 1 ? a p1 1a p 2 2 ? a p n n
t

D ?

a 21

??????? a n1 an2 ? a nn

p1 p 2 ? p n

其中 p 1 p 2 ? p n 为自然数 个排列的逆序数 列取和 . ; ?
p1 p 2? p n

1 , 2 , ? , n 的一个排列

; t 为这

表示对 1 , 2 , ? , n 的所有排

n 阶行列式 D ?

D 亦可定义为
t p11

? (? 1) a
p1 p 2? p n

a

p22

?a

pn n

, .

其中 t 为行标排列

p 1 p 2 ? p n 的逆序数



n阶行列式的性质
1) 行列式与它的转置行列 2 ) 互换行列式的两行 3 ) 如果行列式有两行 式相等 , 即 D ? D .
T

( 列 ), 行列式变号

.

( 列 )完全相同 , 则此行列式

等于零 . 4 ) 行列式的某一行 一数 k , 等于用数 ( 列 )中所有的元素都乘以同 .

k 乘此行列式

5 ) 行列式中某一行 提到行列式符号的外面

( 列 ) 的所有元素的公因子可 . ( 列 ) 元素成比例



6 ) 行列式中如果有两行 式为零 . 7 ) 若行列式的某一列 此行列式等于两个行列 8 ) 把行列式的某一列 后加到另一列

, 则此行列

( 行 ) 的元素都是两数之和 式之和 . ( 行 ) 的各元素乘以同一数 , 行列式的值不变

,则

,然 .

( 行 ) 对应的元素上去



行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式中,把元素 a ij 所在的第 i 行和第 a ij

1)余子式与代数余子式

j 列划去后,留下来的 的余子式,记作

n ? 1 阶行列式叫做元素

M ij ;记
i? j

A ij ? ( ? 1 ) A ij 叫做元素

M

ij

, .

a ij 的代数余子式

2)关于代数余子式的重要性质
? a ki A ki ? D ?
n ij

k ?1

? D ,当 i ? j; ? ? ? 0 ,当 i ? j . ? D ,当 i ? j ; ? ? ? 0 ,当 i ? j .


n k ?1

? a ik A

jk

? D?

ij

其中    ?

ij

? 1 ,当 i ? j; ? ? ? 0 ,当 i ? j .



克拉默法则
? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n 1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? b n . ? D ? 0 , 那么它有唯一解 D D D 中第 j 列 .
j

如果线性方程组

的系数行列式 xj?

, j ? 1,2 ,? , n .

其中 D ( j ? 1 , 2 , ? , n )是把系数行列式 j 换成常数项 ? b 1 , b2, b n 所得到的行列式

克拉默法则的理论价值
定理
如果线性方程组 ? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n 1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? b n . ? 的系数行列式 D ? 0 , 那么它一定有解,且解 唯一 .

定理

如果上述线性方程组无

解或有两个不同的

解,则它的系数行列式

必为零 .

定理

如果齐次线性方程组 ? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? 0 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? 0 , ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n 1 x 1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? 0 . ?

的系数行列式

D ? 0 , 那么它没有非零解

.

定理

如果上述齐次线性方程 .

组有非零解,则

它的系数行列式必为零









一、计算排列的逆序数

二、计算(证明)行列式
三、克拉默法则

一、计算排列的逆序数
例1 求排列

? 2 k ?1 ? 2 k ? 1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? 3 ? 2 k ? 3 ? ?
.

? k ? 1 ? k 的逆序数 , 并讨论奇偶性

解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和,即算出排列中每个元素的逆序数.
2 k 排在首位 , 故逆序数为 0;
( 2 k ), 故逆序数为 1; 1的前面比 1 大的数有一个

( 2 k ? 1 )的前面比 ( 2 k ? 1 ) 大的数有一个 逆序数为 1;

( 2 k ), 故

2的前面比

2 大的数有两个

( 2 k , 2 k ? 1 ), 故逆序
( 2 k ,2 k ?

数为 2 ; 2 k ? 2的前面比
1 ), 故逆序数为 2 ; ?????? k ? 1的前面比

2 k ? 2 大的数有两个

k ? 1 大的数有 k ? 1;

k ? 1个 ( 2 k ,2 k ? 1 ,

? , k ? 2 ), 故逆序数为 k ? 1的前面比

k ? 1 大的数有 k ? 1;

k ? 1个 ( 2 k ,2 k ? 1 ,

? , k ? 2 ), 故逆序数为 k 的前面比 故逆序数为 k;

k 大的数有

k 个 ( 2 k , 2 k ? 1 , ? , k ? 1 ),

于是排列的逆序数为
t ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ?k ? 1? ? ?k ? 1? ? k

?

? 2 ?1 ?
2

k ? 1 ?? k ? 1 ? ? 2

? k

? k

当 k 为偶数时,排列为偶排列,

当 k 为奇数时,排列为奇排列.

二、计算(证明)行列式
1 用定义计算(证明) 用行列式定义计算
0 a 21 D 5 ? a 31 0 0 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 a 24 a 34 0 0 0 a 25 a 35 0 0

例2

解 设 D 5 中第 1 , 2 , 3 , 4 , 5 行的元素分别为
a 3 p 3 , a 4 p 4 , a 5 p 5 , 那么,由 的非零元素分别得到
p 1 ? 2 ,3; p 3 ? 1 , 2 , 3 ,4 ,5; p ? 1 , 2 , 3 ,4 ,5;
2

a 1 p1 , a 2 p 2 ,

D 5 中第 1 , 2 , 3 , 4 , 5 行可能

p ? 2 ,3;
4

p 5 ? 2 ,3 .
,

因为 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 一个 5 元排列也不能组成, 故 D 5 ? 0.

评注 本例是从一般项入手,将行标按标准 顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注 意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般 方法. 注意
2

如果一个

n 阶行列式中等于零的元 于零 .

素比

n ? n 还多,则此行列式必等

例3


D1 ?

a 11 a 21 ? a n1

a 12 a 22 ? an2

? ? ? ?

a 1n a 2n ? a nn
?1

,

a 11 D2 ? a 21 b ? a n1 b
证明: D1 ? D 2 .
n?1

a 12 b a 22 ? an2 b

? ? ?

a1n b a 2n b ?

1? n 2? n

,

n?2

?

a nn

证明

由行列式的定义有
D 1 ? ? ( ? 1 ) a 1 p1 a 2 p 2 ? a n p n ,
t

其中 t 是排列

p 1 p 2 ? p n 的逆序数
t 1 ? p1

.
2 ? p2 n ? pn

D 2 ? ? ( ? 1 ) ( a 1 p1 b
t

)( a 2 p 2 b

)? (a n pn b

) ,

? ? ( ? 1 ) a 1 p1 a 2 p 2 ? a n p n b 其中 t 是排列 p 1 p 2 ? p n 的逆序数

(1 ? 2 ? ? ? n ) ? ( p1 ? p 2 ? ? ? p n )

.



p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1 ? 2 ? ? ? n ,

所以  D 2 ? ? ( ? 1 ) a 1 p a 2 p ? a n p ? D 1 . 1 2 n

t

评注 本题证明两个行列式相等,即证明两 点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一 项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法.



利用范德蒙行列式计算

利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。

例4

计算
Dn

1 2 ? 3 ? n

1 2 3
2 2

? ? ? ? ?

1 2
n n

3 . ? n
n

? n
2



D n 中各行元素分别是一个

数的不同方幂

, 方幂 0 变到 则方

次数自左至右按递升次

序排列,但不是从

n ? 1 , 而是由 1 递升至 n .若提取各行的公因子, 幂次数便从 0 增至 n ? 1,于是得到

1 1 D n ? n! 1 ? 1

1 2 3 ? n

1 2 3
2 2

? ? ? ? ?

1 2 3
n?1 n?1

.

? n
2

? n
n?1

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知
D
n

? n!

?
n? i? j?1

( x i ? x j)

? n ! ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) ? ( n ? 1 ) ? ( 3 ? 2 )( 4 ? 2 ) ? ( n ? 2 ) ? [ n ? ( n ? 1 )] ? n ! ( n ? 1 )! ( n ? 2 )! ? 2 !1 !.

评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行 列式化成范德蒙行列式.

3 例5

用化三角形行列式计算 计算
x a1 D n?1 ? a 1 ? a1 a1 x a2 ? a2 a2 a2 x ? a3 a3 a3 a3 ? a4 ? ? ? ? ? an an an . ? x



将第 2 , 3 , ? , n ? 1 列都加到第一列,得

x ? ? ai x ? ? ai D n?1 ? x ? ? ai
i?1 i?1 n i?1 n

n

a1 x a2 ?

a2 a2 x ? a3

? ? ?

an an an ?

? x ? ? ai
i?1 n

a2

?

x

提取第一列的公因子,得
1 1 D n?1 ? ( x ? ? a i ) 1
i?1 n

a1 x a2 ? a2

a2 a2 x ? a3

? ? ? ? ?

an an an . ? x
1 列的

? 1

将第 1 列的 ( ? a 1 ) 倍加到第 ( ? a2) 倍加到第 后一列,得

2 列,将第

3 列, , 将第 1 列的 ( ? a n ) 倍加到最 ?

1 1 D n?1 ? ( x ? ? a i) 1
i?1 n

0 x ? a1 a2 ? a1 ? a2 ? a1

0 0 x ? a2 ? a3 ? a2

? ? ?

0 0 0 ?

? 1

?

x ? an

? ( x ? ? a i ) ? ( x ? a i ).
i?1 i?1

n

n

评注 本题利用行列式的性质,采用“化零” 的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多 的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零 的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数 化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则 应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到 化为三角形行列式之目的.

4 例6

用降阶法计算 计算
a D4 ? b c d b a d c c d a b d c . b a



将 D 4 的第 2 、 、 行都加到第 3 4 a ? b ? c ? d ,得

1 行,并从第

1 行中

提取公因子

1 D 4 ? (a ? b ? c ? d ) b c d
再将第 2、 、 列都减去第 3 4

1 a d c

1 d a b

1 c , b a

1 列,得

1 D 4 ? (a ? b ? c ? d ) b c d

0 a ? b d ? c c ? d

0 d ? b a ? c b ? d

0 c ? b b ? c a ? d ,

按第 1 行展开,得

a ? b

d ? b a ? c b ? d

c ? b b ? c . a ? d
1行

D 4 ? (a ? b ? c ? d ) d ? c c ? d
把上面右端行列式第 中提取公因子 a ? b ? c ? d ,得

2 行加到第 1 行,再从第

D 4 ? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d ) 1 ? d ? c c ? d 1 a ? c b ? d 0 b ? c , a ? d

再将第 2 列减去第 1 列,得 D 4 ? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d )

1 ? d ?c c?d 按第 1 行展开,得

0 a ?d b?c

0 b?c , a ?d

D 4 ? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d )
2

a?d b?c
2

b?c a?d

? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d ) ? [ ( a ? d ) ? ( b ? c ) ]

? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d ) ? ( a ? b ? c ? d )( a ? b ? c ? d )

评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后 按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数 可降低 1阶,如此继续进行,直到行列式能直接 计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用.



用拆成行列式之和(积)计算 证明
sin 2 ? sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin 2 ? sin( ? ? ? ) cos ? cos ? cos ? cos ? sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) ? 0 . sin 2 ? cos ? sin ? 0 cos ? sin ? ? 0 . 0

例7



sin ?

0

左边 ? sin ? sin ?

0 ? sin ? 0 0

6 例8

用递推法计算 计算
a ? x1 Dn ? a ? a a a ? x2 ? a ? ? ? ? a a ? a ? xn .



依第 n 列把 D n 拆成两个行列式之和

a ? x1 a D
n

a a ? x2 ? a a a a ? x2 ? a a

? ?

a a ? a ? x n?1 a a a ? a ? x n?1 a

a a ? a a 0 0 ? . 0 xn

?

? a a a ? x1 a

? ? ? ? ? ? ?

?

? a a

右端的第一个行列式

, 将第 n 列的 ( ? 1 ) 倍分别 第n

加到第 1 , 2 , ? , n ? 1 列 , 右端的第二个行列式按 列展开 , 得

x1 0 Dn ? ? 0 0

0 x2 ? 0 0

? ? ? ? ?

0 0 ? x n?1 0

a a ? ? x n D n?1 , a a

从而 D n ? x 1 x 2 ? x n ? 1 a ? x n D n ? 1 .

由此递推,得
D n ? 1 ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a ? x n ? 1 D n ? 2 , 于是 D n ? x 1 x 2 ? x n ?1 a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? x n x n?1 D n? 2 .

如此继续下去,可得
D n ? x 1 x 2 ? x n ?1 a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? ? ? x 1 x 2 a x 4? x n ? x n x n ?1? x 3 D 2

? x 1 x 2 ? x n ?1 a ? x 1 x 2 ? x n ? 2 a x n ? ? ? x1 x 2 a x 4? x n ? x n x n ?1? x 3 ( a x 1 ? a x 2 ? x 1 x 2 )

? x 1 x 2? x n ? a ( x 1 x 2? x n?1 ? ? ? x 1 x 3 ? x n ? x 2 x 3 ? x n ).
当 x 1 x 2 ? x n ? 0时,还可改写成

D n ? x 1 x 2 ? x n [1 ? a (

1 x1

?

1 x2

???

1 xn

)].

  

评注

本题是利用行列式的性

质把所给的

n阶 , .有

行列式 D n 用同样形式的 建立了 D n 与 n ? 1 阶行列式 时,还可以把给定的

n ? 1 阶行列式表示出来 D n ? 1 之间的递推关系 D n 用同样形式的 ,建立比 . n ? 1 阶行

n 阶行列式

比 n ? 1 阶更低阶的行列式表示 列式更低阶行列式之间

的递推关系

7 例9

用数学归纳法 证明
cos ? 1 Dn ? 0 ? 0 0 ? cos n ? . 1 2 cos ? 1 ? 0 0 0 1 2 cos ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ? 1 0 0 0 ? 1 2 cos ?

证 对阶数n用数学归纳法
因为 D 1 ? cos ? , D2 ? cos ? 1 1 cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? cos 2 ? ,
2

所以 , 当 n ? 1 , n ? 2 时 , 结论成立
假设对阶数小于 于阶数等于 展开 , 得

.
, 下证对

n 的行列式结论成立

n 的行列式也成立

. 现将 D n 按最后一行

D n ? 2 cos ? D n ? 1 ? D n ? 2 .

由归纳假设

,

D n ? 1 ? cos( n ? 1 )? , D
n?2

? cos( n ? 2 )? ,

D n ? 2 cos ? cos( n ? 1 )? ? cos( n ? 2 )? ? [cos n ? ? cos( n ? 2 )? ] ? cos( n ? 2 )? ? cos n ? ;

所以对一切自然数

n 结论成立

.

评注

为了将

D n 展开成能用其同型的

D n?1 ,

D n ? 2 表示 , 本例必须按第

n 行 ( 或第 n 列 ) 展开 , 不能 不

按第 1 行 ( 或第 1 列 ) 展开 , 否则所得的低阶行列式 是与 D n 同型的行列式
一般来讲

.
, 而要我们

, 当行列式已告诉其结果

证明是与自然数有关的 纳法来证明

结论时 , 可考虑用数学归 , 也可先猜想其结果 . ,

.如果未告诉结果

然后用数学归纳法证明

其猜想结果成立

小结 计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可 以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方 法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式 在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变 换后,再考察它是否能用常用的几种方法.

三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为 了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适 当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解.
例10 求一个二次多项式 f ( x ), 使

f ( 1 ) ? 0 , f ( 2 ) ? 3 , f ( ? 3 ) ? 28 .



设所求的二次多项式为
f ( x ) ? a x ? bx ? c ,
2

由题意得
f (1 ) ? a ? b ? c ? 0 , f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 3, f ( ? 3 ) ? 9 a ? 3 b ? c ? 28 ,
这是一个关于三个未知 数 a , b , c 的线性方程组 .

D ? ? 20 ? 0 , D 2 ? 60 ,

D 1 ? ? 40 , D 3 ? ? 20 .

由克莱姆法则,得
a ? D1 D ? 2, b ? D2 D ? ?3, c ? D3 D ? 1.

于是,所求的多项式为
f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 1.
2

例11

证明平面上三条不同的

直线

ax ? by ? c ? 0 , bx ? cy ? a ? 0 , cx ? ay ? b ? 0 相交于一点的充分必要 条件是 a ? b ? c ? 0 .
点 M ( x 0 , y 0 ),



必要性

设所给三条直线交于一

则 x ? x 0 , y ? y 0 , z ? 1 可视为齐次线性方程组 ? ax ? by ? cz ? 0 , ? ? bx ? cy ? az ? 0 , ? cx ? ay ? bz ? 0 ? 的非零解 .从而有系数行列式 .

a b c

b c a

c a ? (? b ? [( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ] ? 0 .
2 2 2

1 2

)( a ? b ? c )

因为三条直线互不相同 同 ,故 a ? b ? c ? 0.

, 所以 a , b , c 也不全相

充分性 如果 a ? b ? c ? 0 , 将方程组 ? ax ? by ? ? c , ? (1) ? bx ? cy ? ? a , ? cx ? ay ? ? b ?

的第一、二两个方程加 ? ax ? by ? ? c , ? ? bx ? cy ? ? a , ? 0 ? 0. ? 下证此方程组(2)有
如果 a b b c
2

到第三个方程,得

(2)

唯一解 .
2

? ac ? b ? 0,则 ac ? b ? 0。由
2 2 2

b ? ? ( a ? c ) 得 ac ? [ ? ( a ? c )] ? a ? 2 ac ? c ,于是 ac ? ? ( a ? c ) ? 0,从而有
2 2

ac ? 0 .

不妨设 a ? 0 ,由 b ? ac 得 b ? 0 .再由 a ? b ? c ? 0
2

得 c ? 0,与题设矛盾 a b b c ? 0.

.故

由克莱姆法则知,方程

组 ( 2 ) 有唯一解

.从而知 .

方程组 ( 1 ) 有唯一解,即三条不同

直线交于一点

例12 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千 克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种化肥每千克含 氮64克,磷10克,钾0.6克;丙种化肥每千克含氮 70克,磷5克,钾1.4克.若把此三种化肥混合,要 求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化 肥各需多少千克? 解 设甲、乙、丙三种化肥 各需 x 1 、 2、 3 千克 , 依 x x
题意得方程组
? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 23 , ? ? 8 x 1 ? 10 x 2 ? 5 x 3 ? 149 , ?2 ? x 1 ? 0 . 6 x 2 ? 1 . 4 x 3 ? 30 .

此方程组的系数行列式 又 D1 ? ? 81 5

D ? ?

27 5

,

, D 2 ? ? 27 , D 3 ? ? 81
组有唯一解 x 3 ? 15 .

由克莱姆法则,此方程 x1 ? 3 , x 2 ? 5,

即甲、乙、丙三种化肥 15 千克 .

各需 3 千克 , 5 千克 ,

例13

设水银密度

h 与温度 t 的关系为
2 3

h(t ) ? a 0 ? a 1 t ? a 2 t ? a 3 t . 由实验测得以下数据 t h
0

: 10
0

0

0

20

0

30

0

13 . 60
0

13 . 57

13 . 55

13 . 52 ).

求 t ? 15 , 40 时水银密度

( 准确到小数两位



将测得的数据分别代入

h ( t ), 得方程组

? a 0 ? 13 . 6 , ? ? a 0 ? 10 a 1 ? 100 a 2 ? 1000 a 3 ? 13 . 57 , ? ? a 0 ? 20 a 1 ? 400 a 2 ? 8000 a 3 ? 13 . 55 , ? a 0 ? 30 a 1 ? 900 a 2 ? 27000 a 3 ? 13 . 52 . ?

(1 )

将 a 0 ? 13 . 60 分别代入其余三个方程 ? a 1 ? 10 a 2 ? 100 a 3 ? ? 0 . 003 , ? ? 2 a 1 ? 40 a 2 ? 800 a 3 ? ? 0 . 005 , ?3 ? a 1 ? 90 a 2 ? 2700 a 3 ? ? 0 . 008 .

, 得方程组

(2)

此方程组的系数行列式
又 D 1 ? ? 50 ,

D ? 12000 ,
D 3 ? ? 0 . 04 ,

D 2 ? 1 .8 ,

由克莱姆法则

, 得方程组

( 2 )的唯一解

a 1 ? ? 0 . 0042 , a 2 ? 0 . 00015 , a 3 ? ? 0 . 0000033 .
h ( t ), 得

又 a 0 ? 13 . 60 , 将以上四个数代入

h ( t ) ? 13 . 60 ? 0 . 0042 t ? 0 . 00015 t ? 0 . 0000033
由此得
h ( 15 ) ? 13 . 56 ,
0 0

2

t .

3

h ( 40 ) ? 13 . 46 .

所以 , 当 t ? 15 , 40 时 , 水银密度分别为

13 . 56 ,13 . 46 .

第一章

测试题

一、填空题(每小题4分,共40分)
1 . 若 D n ? a ij ? a , 则 D ? ? a ij ?

2 . 设 x 1 , x 2 , x 3 是方程 x ? px ? q ? 0的三个根
3

, 则行

x1 列式 x 3 x2
3 . 行列式

x2 x1 x3

x3 x2 ? x1

0 0 D ? ? 0 1998 0

0 0 ? 1997 0 0
a1

? ? ? ? ? ?
0 a2 b3 0

0 2 ? 0 0 0
0 b2 a3 0

1 0 ? 0 0 0

0 0 ? 0 0 1
b1 0 0 a4 ?

?

4 . 四阶行列式

0 0 b4

a 5 . 设四阶行列式 D4 ? c d a 则 A 14 ? A 24 ? A 34 ? A 44 ?
6 . 在五阶行列式中

b b b b

c d c d

d a , a c

a 12 a 53 a 41 a 24 a 35 的符号为

2x 7 . 在函数 f ? x ? ? ? x 1

1 ? x 2

?1 x 中 x 的系数是 x
3

a 8 . 四阶行列式 ?b ?c ?d

b a d ?c

c ?d a b

d c ?b a
且b ? 时,

?

9 . 若 a , b 为实数 , 则当 a ?

a ?b ?1

b a 0

0 0 ? 0 ?1

10 . 排列 i 1 i 2 ? i n ? 1 i n 可经 i n i n ? 1 ? i 2 i1 .

次对换后变为排列

二、计算下列行列式(每小题9分,共18分).
1 3 1. D5 ? 2 1 ? 2 1 ?1 3 2 2 2 ?1 ?1 3 1 3 2 ?1 0 1 1 2 0 1 0

x z 2. Dn ? z ? z

y x z ? z

y y x ? z

? ? ? ? ?

y y y ? x

三、解答题(9 分). ? , ? 取何值 问

, 齐次方程组

? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 ? x ? 2?x ? x ? 0 ? 1 2 3

有非零解?

四、证明(每小题8分,共24分).
a 1. b c d
2 2 2 2

?a ? 1 ? ?b ? 1 ? ?c ? 1 ? ?d ? 1 ?

2 2 2 2

?a ? 2 ? ?b ? 2 ? ?c ? 2 ? ?d ? 2 ?

2 2 2 2

?a ? 3 ? ?b ? 3 ? ?c ? 3 ? ?d ? 3 ?

2 2 2 2

? 0;

2 cos ? 1 2. D n ?

1 2 cos ? 1 1 ? ? ? ? 1 1 2 cos ? 1 1 2 cos ?

?

sin ? n ? 1 ?? sin ?

;

3 . 用数学归纳法证明

1 x1 Dn ? x1
2

1 x2 x2 ? x2
n?2 n 2

1 x3 x3 ? x3
n?2 n 2

? ? ? ? ? ?
?
1? j? i ? n

1 xn xn ? xn
n?2 n 2

? x1
n?2 n

x1

x2

x3

xn

? ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ?

?x

i

? x

j

?, ? n ? 2 ?

五、(9分) 设
1 1 Dn ? 1 ? 1

n

行列式
2 2 0 ? 0 3 0 3 ? 0 ? ? ? ? ? n 0 0 ? n

求第一行各元素的代数余子式之和
A 11 ? A 12 ? ? ? A 1 n .

测试题答案
一、1 .

?? 1? a;
n

2 . 0;

3 . ? 1998 ! ; 8 . ?a ? b ? c ? d
2 2 2

  ? a 2 a 3 ? b 2 b 3 ?? a 1 a 4 ? b 1 b 4 ?; 5 . 0 ; 4.  . ? ; 6  . 0 , 0 ; 9 7 . ? 2; 10 .
2

?

2

;

n ?n ? 1? 2
n

.
n

二、1 . ? 170 ;

2.

y? x ? z ? ? z? x ? y ?

三、 ? ? 0 或 ? ? 0 .

y? z n 1 ? ? 五、 n ! ? 1 ? ? ? . j?2 j ? ?

.


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