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选修 4-2 线性变换与矩阵


选修 4-2 线性变换与矩阵

? 把一个平面图形沿着平面上一条直线l折叠。可以得到它 ? 关于直线l对称的图形,这个图形与原图形全等;新图形 ? 上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点; ? 连接任意一对对称点的线段被直线l垂直平分。像这样,由 ? 一个平面图形(如图 △ABC)得到关于某条直线l的轴对称 ? 图形(如图△A’B’C)叫做平面图形

的 轴对称变换)
A P P’ A’

B

C

C’

B’

我们也可以这样来看平面图形的 轴对称变换:如图
0-1,设直线l在 平面a内,那么对于平面a内任意一 点P,都存在平面a内唯一一点P’,使P’与P关于直 线l对称。我称这样的 对应关系为平面a关于直线l的 反射变换,这样经过这个变换。平面a内的△ABC 就被对应到△A’B’C’ 进一步地,如果在平面a内建立直角坐标系xOy,那 么平面内的点与有序实数对(x,y)之间建立一一对应

这样我们又可以从代数角度来研究反射变换,
例如关于x轴的反射变换,把平面a内任意一点 P(x,y)对应到它关于x轴的对称点P’(x’,y’)

?

?

旋转变换
? 在直角坐标系 xOy 内,所有点绕原点O按逆时针方向旋转180 度,设点P(x ,y)经过旋转后变成P’( x’ , y’),则它们坐标 ? 之间存在什么关系?
P(x ,y) 旋转角为180度 的旋转变换

P(x ,y)
O P’(x’ ,y’)

P’(x’ ,y’) ①

我们称P’是P 在这个旋转变换作用下的像

?

P’(x’ ,y’) 30° β P(x ,y)

? 如图。分别连接OP ,OP’设OP =OP’ =r 记作 β是以x轴的正半轴 ? 为始边、射线OP为终边的角,由三角函数的定义得:

?

x =r cos β ,

x’ =r cos (β +30°)

? ?

y=r sin β

y’ =r sin (β +30°)

?

这就是旋转变换的表达式 。 由于②式由其右端式子中x ,y的系数唯一确定,我们把这些系数 按原来的顺序写出来。

?

?

线性变换
一一对应

二阶矩阵

?

问题:
? 任意点P(x ,y)绕原点O逆时针方向旋转a角变成 ? 点P’(x’,y’)它们的坐标之间存在什么关系?

P’(x’ ,y’) a P(x ,y)

旋转转变换

旋转变换
?

反射变换
y P(x ,y)

求任意点P(x ,y)对应到关于x轴的对称点P’( x’ , y’)的 坐标公式和之对应的二阶矩阵

O

x P’(x’ ,y’)

关于y轴的 反射变换
y P(x ,y) P’(x’ ,y’) x

P(x ,y)

P’(x ‘,y’)

O

P’(x’ ,y’)
y

y =x
P(x ,y)

关于直线y=x轴 的反射变换
P(x ,y)
P’(x ‘,y’)

O

x

? 在直角坐标系xOy内,直线l过原点,倾斜角为a, ? 求出关于直线l的反射变换的坐标变换公式和对应的二 阶矩阵?

P’(x’ ,y’) y a

l
P(x ,y) x

O

?

2. 两种特殊的线性变换
旋转转变换
P’(x’ ,y’)
a P(x ,y)

P’(x’ ,y’) y a

l
P(x ,y) x

O

常见的反射变换矩阵
?


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