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求通项公式的几种方法与总结


多元智能教育倡导者

睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: LH-rbjy0002 副校长/组长签字: 签字日期:

学 员 编 号 :LH-rbjy15046 学 员 姓 名 : 杨畑畑 课 课 题 型



级 :高二







:3

辅 导 科 目 :数学

学 科 教 师 :张华清

数列
□ 预习课 □ 同步课 2015 年 9 月 19 日 □ 复习课 □ 习题课





第 2 次

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点

15 :00 — 17 :00 p.m.(D)

通过分析一些实际的问题会求数列公式以及前 n 项和。 公式的记忆以及通项公式的求解。

教 学

内 容

教学内容
数列通项及求和 主干知识整合: 1.数列通项求解的方法 (1)公式法;(2)根据递推关系求通项公式有:①叠加法;②叠乘法;③转化法.(3)不完全归纳法即从 ?S1?n=1? 特殊到一般的归纳法;(4)用 an=? 求解. ?Sn-Sn-1?n≥2? 2.数列求和的基本方法: (1)公式法;(2)分组法;(3)裂项相消法;(4)错位相减法;(5)倒序相加法. ? 探究点 一 公式法 如果所给数列满足等差或者等比数列的定义,则可以求出 a1,d 或 q 后,直接代入公式求出 an 或 Sn. 已知{an}是等差数列,a10=10,前 10 项和 S10=70,则其公差 d=________. ? 探究点二 根据递推关系式求通项公式 如果所给数列递推关系式,不可以用叠加法或叠乘法,在填空题中可以用不完全归纳法进行研究. 5an-13 例2 (1)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则数列{an}的前 100 项的和为________. 3an-7 (2)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时, 1 2010 都有 ai+bj=ak+bl,则2010 ? (ai ? bi ) 的值是________. i ?1 (1)200 (2)2012 【解析】 (1)由 a1=2,an+1= 5an-13 5×2-13 5×3-13 (n∈N*)得 a2= =3,a3= = 3an-7 3×2-7 3×3-7

5×1-13 1,a4= =2,则{an}是周期为 3 的数列,所以 S100=(2+3+1)×33+2=200. 3×1-7 (2)由题意得 a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5;b1=2,b2=3,b3=4,b4=5,b5=6.归纳得 an=n,
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bn=n+1;设 cn=an+bn,cn=an+bn=n+n+1=2n+1,则数列{cn}是首项为 c1=3,公差为 2 的等差数 列,问题转化为求数列{cn}的前 2010 项和的平均数. 2010×?3+4021? 1 2010 1 所以2010 ? (ai ? bi ) =2010× =2012. 2 i ?1 ? 探究点四 数列的特殊求和方法 数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握, 其中通项公式{anbn}的特征为{an}是等差数列, {bn} 是等比数列. 例 4 在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=2a1+3,且 3a2,a4,5a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 【解答】 (1)设{an}公比为 q,由题意得 q>0, 6 a =- ? 1 ? 5, ?a2=2a1+3, ?a1?q-2?=3, ?a1=3, 且? 即? 2 解得? 或? (舍去), 1 ?3a2+5a3=2a4, ?2q -5q-3=0, ?q=3 ? ?q=-2 所以数列{an}的通项公式为 an=3· 3n-1=3n,n∈N*. (2)由(1)可得 bn=log3an=n,所以 anbn=n· 3n. 所以 Sn=1· 3+2· 32+3· 33+…+n· 3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+3· 34+…+n· 3n+1.② ②-①得,2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n· 3n+1 =-(3+32+33+…+3n)+n· 3n+1, 3?1-3n? 3 =- +n· 3n+1=2(1-3n)+n· 3n+1 1-3 1? + 3 ? =2+?n-2?3n 1. ? ? 3 2n-1 所以数列{anbn}的前 n 项和为 Sn=4+ 4 3n+1.

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2.证明数列是等差或等比数列的方法 (1)等差数列 ①定义法:an+1-an=d(n∈N*); ②等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*). (2)等比数列 an+1 ①定义法: a =q(n∈N*); n ②等比中项:a2 an+2(n∈N*). n+1=an· 例 1 (1)[2011· 广东卷] 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________. (2)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a1a2…a9=________. 3 (1)10 (2)502 【解析】 (1)由 S9=S4,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,即 5a7=0,所以 a7=0, 1 由 a7=a1+6d 得 d=-6,又 ak+a4=0, ? 1? ? 1? 即 a1+(k-1)?-6?+a1+3×?-6?=0, ? ? ? ? 3 ? 1? 即(k-1)×?-6?=-2,所以 k-1=9,所以 k=10. ? ? 1 (2)由等比数列的性质知 a1a2a3=(a1a3)· a2=a3 a8=a3 2=5,a7a8a9=(a7a9)· 8=10,所以 a2a8=50 , 3 3 9 所以 a1a2…a9=a9 5=( a2a8) =50 . 2

求数列的通项公式的几种方法?
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课堂讲解
一、选择题 1.等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项 的和 S9 等于( A.66 ) B.99 C.144 D.297

2、若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是( ) A、4005 B、4006 C、4007 D、4008 3、设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项之和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ? S9 ,则下列结论中错误的是( A、 d ? 0 B、 a8 ? 0 C、 S10 ? S 6 D、 S 7 , S8 均为 S n 的最大项 )
3 2



4、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =(

A、0

B、 ? 3

C、 3

D、

5.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1 C.2 D.
1 2

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



6.若 lg 2, lg(2 x ? 1), lg(2 x ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A.1 B.0 或 32 C.32
1 n ? n ?1



D. log2 5 ,则该数列的前( )项之和等于 9。

7.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A.98 B.99 C.96

D.97 )

8.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A.9 B.12 C.16 D.17

9、△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面 积为
3 ,那么 b= 2



)A、

1? 3 2

B、 1 ? 3

C、

2? 3 2

D、 2 ? 3 )

10.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a3 ? 6, a2 ? a4 ? 12, 则该数列的第 3 项为(
6 12 24 48 B. C. D. 5 5 5 5 11. 如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( )

A.

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A.b=3,ac=9

B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9

D.b=-3,ac=-9
Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn

12.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 A
2 3



B

2n ? 1 3n ? 1

C

2n ? 1 3n ? 1

D

2n ? 1 3n ? 4

二、填空题
1、等差数列{an}中,Sn 是{an}的前 n 项和,S6=7,S15=16, a11= 2.等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m? n =_______。 3. 在等比数列中,若 S10=10,S20=30,则 S30= .

三.解答题 1.已知数列 ?a n ? 中, an ? 0, S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,且 a n ?

6S n ,求 S n 。 an ? 3

2.数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1,数列 ?bn ? 满足 b1 =2, bn?1 ? a n ? bn . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn

3.设数列 ?a n ? 前项和为 S n ,且 (3 ? m) S n ? 2man ? m ? 3 (n ? N ? ), 其中 m 为常数,m ? 3. (1)求证: 数列 ?a n ? 是等比数列; (2)若数列 ?a n ? 的公比 q ? f ( m ) ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1, bn ? 差数列,求 bn .
?1? 3 f (bn?1 )(n ? N ? , n ? 2), 求证: ? ? 为等 2 ? bn ?

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4.已知数列 {an }中, a1 ? 1, 前n项和为 Sn , 对于任意的 n ? 2(n ? N ? ) , 3 S n ? 4, a n ,2 ? (1)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (2)求通项 an ;

3 S n?1 总成等差数列. 2

5.已知数列 {a n } 满足 2a n?1 ? a n ? a n? 2 ( n ? 1,2,3, ?) ,它的前 n 项和为 S n ,且 a 3 ? 5 , S 6 ? 36 . (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)已知等比数列 {bn } 满足 b1 ? b2 ? 1 ? a , b4 ? b5 ? a 3 ? a 4 (a ? ?1) ,设数列 {a n ? bn } 的前 n 项和为

Tn ,求 Tn .

6.已知数列 {a n } 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a n x n ( x ? R). 求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式

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7.设正数数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足 S n ? (I)求数列{ an }的通项公式; (II)设 bn ?

1 (a n ? 1) 2 .求: 4

1 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn a n ? a n?1

8.设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ?是首项为 S1 各项均为正数且公比为 q 的等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 an (用 S1 和 q 表示) ; (Ⅱ)试比较 a n ? a n? 2与2a n?1 的大小,并证明你的结论.

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