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2016年江西九江高考数学一模试卷(文科)


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2016 年江西九江高考数学一模试卷(文科)
一、选择 S(本大題共丨 2 小題,每小題 5 分.共 60 分?在每小题给出的四个选项中,只有一项符合題目要求的.) 1.已知集合 A={1,2,3,4},集合 B={x|x∈A,且 2x?A},则 A∩B=( ) A.{1,2}B.{1,3}C.{2,4}D.{3,4} 2.若复数

z 满足 z(i﹣1)=(i+1)2(i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为( ) A.1B.﹣1C.iD.﹣i 3.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲在一张卡片上任意写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才写出的数字,把 乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a﹣b|≤1,则乙获胜,现甲、乙两人玩一次这个游戏,则乙获胜的 概率为( ) A. B. C. D.

4.若椭圆

+

=1(a>b>0)与双曲线



=1 共焦点,则双曲线的渐近线方程为(



A.y=±

xB.y=±

xC.y=± xD.y=±2x ) ,sinx+cosx>1 恒成立,命题 q:?x∈(0, ) ,使 2x>3x,则下列结论中正确的

5.已知命题:p?x∈(0,

是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧(¬q)”是真命题 C.命题“(¬p)∧q”为真命题 D.命题“(¬p)∧(¬q)”是真命题 6.等比数列{an}中,Sn 表示其前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为( A.±2B.±3C.2D.3 7.已知函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,则 f( )=( )



A.﹣2B.﹣1C.1D.2 8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出的 S 属于(



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A.[﹣6,﹣2]B.[﹣5,﹣1]C.[﹣4,5]D.[﹣3,6] 9.将函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 的最小值为( A. B. ) C. D. 个单位后,其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等,则|φ|

10.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,斜率 k=1 的直线过焦点 F,与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 若△ OAB 的面积为 2 ,则该抛物线的方程为( ) 2 2 2 2 A.y =2xB.y =2 xC.y =4xD.y =4 x 11.如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( )

A.

B.6C.

D.

12.已知函数 f(x)和 g(x)是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x∈M,存在常数 x0∈M,使的 f(x) ≥f(x0) ,g(x)≥g(x0) ,且 f(x0)=g(x0) ,则称 f(x)与 g(x)在区间 M 上是“相似函数”,若 f(x)=2x3 ﹣3(a+1)x2+6ax+b 与 g(x)=x+ 在区间[1,3]上是“相似函数”,则 a,b 的值分别是( )

A.a=﹣2,b=0B.a=﹣2,b=﹣2C.a=2,b=0D.a=2,b=﹣2 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设向量 , 是 夹角为的单位向量,若= +2 ,则||= .

14.若实数 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=2x﹣y 的取值范围是



15.在边长为 2 的正方形 AP1P2P3 中,点 B,C 分别是边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 翻折成一个三棱 锥 P﹣ABC,使 P1、P2、P3 重合于点 P,则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 . 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知(2c﹣a)cosB=bcosA,且 b=6,若△ ABC 的两 条中线 AE,CF,相交于点 D,则四边形 BEDF 面积的最大值为 . 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 2 页

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17.设等差数列{an}的公差 d≠0,已知 a1=2,且 a1,a2,a4 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式 (2)设数列 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

18.如图所示,已知直三棱柱 ABC﹣A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC⊥AB,E,F,H 分别是 AC,AB′,BC 的中 点. (1)证明:EF⊥AH (2)求四面体 E﹣FAH 的体积.

19.模拟考试后,某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析,规定:不少于 120 分为优秀,否则为非优秀, 统计成绩后,得到如下的 2×2 列联表,已知在甲、乙两个班全部 100 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 10 非优秀 合计 .

甲班 30 乙班 100 合计 (1)请完成上面的 2×2 列联表 (2)根据列联表的数据,若按 97.5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”? (3)在“优秀”的学生人中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中甲班学生 恰有 2 人的概率. 参考公式与临界表: K2= P(K2≥k) k 20.已知椭圆 C: 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

2.706

3.841

5.024

6.635 .

10.828

=1(a>b>0)的长轴的长是短轴长的两倍,焦距为 2

(1)求椭圆 C 的标准方程 (2)若直线 l:y=kx+m(m≠0)与椭圆 C 相交于不同两点 M,N,直线 OM,MN,ON 的斜率存在且依次成等 比数列,求 k 的值及 m 的取值范围(O 为坐标原点) 21.已知函数 f(x)=e2x﹣ax+2(a∈R) (1)求函数 f(x)的单调区间 (2)在曲线 y=f(x)上是否存在两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (x1≠x2) ,使得该曲线在 A,B 两点处的切线相 交于点 P(0,t)?若存在,求实数 t 的取值范围,若不存在,请说明理由. 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 3 页

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[选修 4-1:几何证明选讲】 22. C、 D 是圆 O 上的两个点, CE⊥AB 于 E, BD 交 AC 于 G, CF=FG. 如图, 已知 AB 是圆 O 的直径, 交 CE 于 F, (Ⅰ)求证:C 是劣弧 的中点; (Ⅱ)求证:BF=FG.

[选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:

(t 为参数)与圆 C:

(θ 为参数)相交

于 A,B 两点. (1)求直线 l 及圆 C 的普通方程 (2)已知 F(1,0) ,求|FA|+|FB|的值. [选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|ax﹣1|(a>0) (1)当 a=2 时,解不等式 4f(x)≥f(0) (2)若对任意 x∈R,不等式 4f(x)≥f(0)恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年江西省九江市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择 S(本大題共丨 2 小題,每小題 5 分.共 60 分?在每小题给出的四个选项中,只有一项符合題目要求的.) 1.已知集合 A={1,2,3,4},集合 B={x|x∈A,且 2x?A},则 A∩B=( ) A.{1,2}B.{1,3}C.{2,4}D.{3,4} 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 中的元素,根据题意确定出 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 x=1,2,3,4,得到 2x=2,4,6,8, ∴B={3,4}, ∵A={1,2,3,4}, 则 A∩B={3,4}, 故选:D. 2.若复数 z 满足 z(i﹣1)=(i+1)2(i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为( A.1B.﹣1C.iD.﹣i 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】根据复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法即可求出. 【解答】解:∵z(i﹣1)=(i+1)2(i 为虚数单位) , ∴z= 故选:B. 3.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲在一张卡片上任意写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才写出的数字,把 乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a﹣b|≤1,则乙获胜,现甲、乙两人玩一次这个游戏,则乙获胜的 概率为( A. B. ) C. D. = =1﹣i, )

【考点】互斥事件的概率加法公式. 【分析】先求出基本事件总数,再由列举法求出乙获胜包含的基本事件个数,由此能求出结果. 【解答】解:∵a,b∈{1,2,3}, ∴基本事件总数 n=3×3, ∴乙获胜,∴a,b∈{1,2,3},|a﹣b|≤1, 当 a=1 时,b=1,2; 当 a=2 时,b=1,2,3; 当 a=3 时,b=2,3. ∴乙获胜的概率 p= 故选:A. = .

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4.若椭圆

+

=1(a>b>0)与双曲线



=1 共焦点,则双曲线的渐近线方程为(



A.y=±

xB.y=±

xC.y=± xD.y=±2x

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】运用椭圆和双曲线的 a,b,c 的关系,求得 a,b 的关系,可得双曲线的渐近线方程. 【解答】解:由椭圆 可得 a2﹣b2= 即为 a= b, + =1(a>b>0)与双曲线 ﹣ =1 共焦点,

+

,即 a2=2b2,

可得双曲线的渐近线方程为 y=± x, 即为 y=± 故选:A. ) ,使 2x>3x,则下列结论中正确的 x.

5.已知命题:p?x∈(0,

) ,sinx+cosx>1 恒成立,命题 q:?x∈(0,

是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧(¬q)”是真命题 C.命题“(¬p)∧q”为真命题 D.命题“(¬p)∧(¬q)”是真命题 【考点】复合命题的真假. 【分析】分别判断出命题 p,q 的真假,从而得到答案. 【解答】解:命题:p:?x∈(0, 命题 q: :x∈(0, ) ,∵ ) ,sinx+cosx= sin(x+ )∈(1, ];p 真,

>1,∴3x>2x,故 q 是假命题,

故 p∧q 假,A 错误,p∧(¬q)真,B 正确, (¬p)∧q 假,C 错误, (¬p)∧(¬q)假,D 错误; 故选:B. 6.等比数列{an}中,Sn 表示其前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为( A.±2B.±3C.2D.3 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由 a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减可得:a4﹣a3=2a3,即可得出. 【解答】解:由 a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减可得:a4﹣a3=2a3,可得 q= 故选:D. )

=3,

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7.已知函数 f(x)= A.﹣2B.﹣1C.1D.2

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,则 f( )=(



【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)= ∴f(0)=0, 即 =0, 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,

则 f(x)= ∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴ =﹣





整理得﹣bx=bx 恒成立,则 b=0, 则 f(x)= ,

则 f( )=



故选:A 8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出的 S 属于( )

A.[﹣6,﹣2]B.[﹣5,﹣1]C.[﹣4,5]D.[﹣3,6] 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 7 页

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【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论. 【解答】解:若 0≤t≤2,则不满足条件输出 S=t﹣3∈[﹣3,﹣1], 若﹣2≤t<0,则满足条件,此时 t=2t2+1∈(1,9],此时不满足条件,输出 S=t﹣3∈(﹣2,6], 综上:S=t﹣3∈[﹣3,6], 故选:D

9.将函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 的最小值为( A. B. ) C. D.

个单位后,其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等,则|φ|

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得函数解析式为:y=sin(2x+ 由题意可得(﹣ 得 φ=kπ+ ,0) , ( ,0)两点在函数图象上,可得:sin(﹣ +φ) ,其周期 T= ,

+φ)=0,sin(

+φ)=0,从而解

,φ=kπ﹣

, (k∈Z) ,即可得解|φ|的最小值. 个单位后,可得函数解析式为:y=sin(2x+ +φ) ,其

【解答】解:将函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 周期 T= ,

∵其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等, ∴ (﹣ =sin( 0) , , ( 0) sin[ , 两点在函数图象上, 可得: (2× (﹣ + ) +φ]=sin (﹣ +φ) =0, sin (2× + +φ )

+φ)=0, ,φ=kπ﹣ . , (k∈Z) ,

∴解得:φ=kπ+ ∴|φ|的最小值为: 故选:B.

10.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,斜率 k=1 的直线过焦点 F,与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 若△ OAB 的面积为 2 ,则该抛物线的方程为( ) A.y2=2xB.y2=2 xC.y2=4xD.y2=4 x 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出直线 AB 的方程,联立方程组,利用根与系数的关系解出|y2﹣y1|,根据三角形的面积列出方程解出 p,得到抛物线的方程. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为( ,0) ,直线 AB 的方程为 y=x﹣ .

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联立方程组

,消元得 y2﹣2py﹣p2=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=2p,y1y2=﹣p2. ∴S△ AOB= ∴p=2. ∴抛物线方程为 y2=4x. 故选:C. 11.如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( ) = = =2 .

A.

B.6C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是由棱柱截割去两个三棱锥所得到的几何体,由此求出几何体的体 积. 【解答】解:如图示:



V=2×2×2﹣2? ? ?2?2?1= 故选:C.



12.已知函数 f(x)和 g(x)是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x∈M,存在常数 x0∈M,使的 f(x) ≥f(x0) ,g(x)≥g(x0) ,且 f(x0)=g(x0) ,则称 f(x)与 g(x)在区间 M 上是“相似函数”,若 f(x)=2x3 ﹣3(a+1)x2+6ax+b 与 g(x)=x+ 在区间[1,3]上是“相似函数”,则 a,b 的值分别是( )

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A.a=﹣2,b=0B.a=﹣2,b=﹣2C.a=2,b=0D.a=2,b=﹣2 【考点】函数的值域. 【分析】由题意求出函数 g(x)的最小值,然后对函数 f(x)求导,进一步得到其在[1,3]上的最小值求解. 【解答】解:∵当 x∈[1,3]时,g(x)=x+ ≥4,当且仅当 x=2 时取等号, ∴x0=2,g(x0)=4, ∵f′(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a=6(x﹣1) (x﹣a) , ①当 a≤1 时,∵x∈[1,3],∴f′(x)≥0,故 f(x)在[1,3]上单调递增,不合题意; ②当 a>1 时,由 f′(x)>0,得 x<1 或 x>a,由 f′(x)<0,得 1<x<a, 故 f(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 依题意可得:a=2. ∴f(x)=2x3﹣9x2+12x+b,则 f(2)=4+b=4,解得:b=0. 故选:C. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设向量 , 是 夹角为的单位向量,若= +2 ,则||= \sqrt{3} .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】计算 【解答】解: ,开方即可得出||. , =3. ∴||= . 故答案为 .



14.若实数 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=2x﹣y 的取值范围是 [0,6] .

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数即可求得 k 值. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图,

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联立

,得 C(1,2) ,

由 z=2x﹣y 得:y=2x﹣z, 显然直线过 C(1,2)时,z 最小,z 的最小值是 0, 直线过 B(3,0)时,z 最大,z 的最大值是 6, 故答案为:[0,6]. 15.在边长为 2 的正方形 AP1P2P3 中,点 B,C 分别是边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 翻折成一个三棱 锥 P﹣ABC,使 P1、P2、P3 重合于点 P,则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 6π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】根据题意,得折叠成的三棱锥 P﹣ABC 三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,可得三棱锥 P﹣ABC 的 外接球的直径等于以 PA、PB、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长,由此结合 AP=2、BP=CP=1 算出外接球的 半径 R= ,结合球的表面积公式即可算出三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积.

【解答】解:根据题意,得三棱锥 P﹣ABC 中,AP=2,BP=CP=1 ∵PA、PB、PC 两两互相垂直, ∴三棱锥 P﹣ABC 的外接球的直径 2R= 可得三棱锥 P﹣ABC 的外接球的半径为 R= 根据球的表面积公式,得三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 S=4πR2=4π×( 故答案为:6π. )2=6π =

16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知(2c﹣a)cosB=bcosA,且 b=6,若△ ABC 的两 条中线 AE,CF,相交于点 D,则四边形 BEDF 面积的最大值为 3\sqrt{3} . 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 11 页

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【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】由已知及正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得 2sinCcosB=sinC,由 sinC≠0,可求 cosB= ,结 合范围 B∈(0,π) ,可得 B= ,由余弦定理及基本不等式可得 ac≤36,可求三角形 ABC 的面积的最大值,利

用重心的性质即可得解 S 四边形 BEDF 的最大值. 【解答】解:∵(2c﹣a)cosB=bcosA, ∴(2sinC﹣sinA)cosB=sinBcosA, ∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA, ∴2sinCcosB=sin(A+B)=sinC, ∵sinC≠0, ∴cosB= , ∵B∈(0,π) ,可得 B= , ,可得:36=a2+c2﹣ac≥ac,即:ac≤36,

由余弦定理可得:36=a2+c2﹣2accos 如图所示,D 为△ ABC 的重心. ∴S 四边形 BEDF= S△ ABC= acsinB= 故答案为:3 .

ac≤3



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设等差数列{an}的公差 d≠0,已知 a1=2,且 a1,a2,a4 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式 (2)设数列 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)由 a1,a2,a4 成等比数列,可得 (2)bn= = = ,即(2+d)2=2(2+3d) ,解出即可得出.

,利用“裂项求和”方法即可得出.

【解答】解: (1)∵a1,a2,a4 成等比数列, ∴ ,

∴(2+d)2=2(2+3d) ,化为 d2﹣2d=0,d≠0,解得 d=2. ∴an=2+2(n﹣1)=2n. 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 12 页

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(2)bn=

=

=



∴数列{bn}的前 n 项和 Sn=

+

+…+

=

=



18.如图所示,已知直三棱柱 ABC﹣A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC⊥AB,E,F,H 分别是 AC,AB′,BC 的中 点. (1)证明:EF⊥AH (2)求四面体 E﹣FAH 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)连结 B′C.由中位线定理得 EF∥B′C,由 AB=AC 得 AH⊥BC,由 BB′⊥平面 ABC 得 BB′⊥AH, 故 AH⊥平面 BB′C,于是 AH⊥B′C,从而 EF⊥AH; (2)过 F 作 FM⊥AB 于 M,则 FM⊥平面 ABC,求出 FM 和 S△ AEH,于是 VE﹣FAH=VF﹣AEH. 【解答】证明: (1)连结 B′C. ∵E,F 分别是 AC,AB′的中点, ∴EF∥B′C, ∵AB=AC,H 是 BC 的中点,∴AH⊥BC, ∵BB′⊥平面 ABC,AH?平面 ABC, ∴BB′⊥AH,又 BC?平面 BB′C,BC?平面 BB′C,BB′∩BC=B, ∴AH⊥平面 BB′C,∵B′C?平面 BB′C, ∴AH⊥B′C,又 B′C∥EF, ∴EF⊥AH. 解: (2)过 F 作 FM⊥AB 于 M,则 FM⊥平面 ABC,FM= BB′=1. ∵S△ AEH= = , = = .

∴VE﹣FAH=VF﹣AEH=

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19.模拟考试后,某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析,规定:不少于 120 分为优秀,否则为非优秀, 统计成绩后,得到如下的 2×2 列联表,已知在甲、乙两个班全部 100 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 10 非优秀 合计 .

甲班 30 乙班 100 合计 1 2 2 × ( )请完成上面的 列联表 (2)根据列联表的数据,若按 97.5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”? (3)在“优秀”的学生人中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中甲班学生 恰有 2 人的概率. 参考公式与临界表: K2= 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

P(K2≥k) k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【考点】独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)设求出乙班优秀人数,填写列联表即可; (2)计算观测值 K2,对照数表得出概率结论; (3)利用分层抽样求出所抽的 6 人中甲班、乙班的学生数,利用列举法计算基本事件数,求出对应的概率即可. 【解答】解: (1)设乙班优秀人数为 x 人,则 故列联表如下: 甲班 乙班 合计 (2)K2= 优秀 10 20 30 非优秀 40 30 70 合计 50 50 100 = ,解得 x=20;

≈4.762<5.024,

故没有达到可靠性要求,不能认为成绩与班级有关系; (3)在所抽的 6 人中,甲班有 乙班有 ×6=2 人,设为 A、B,

×6=4 人,设为 C、D、E、F,

从这 6 人中任选 3 人,基本事件有 ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、 BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF、CDE、CDF、CEF、DEF 共 20 种, 其中甲班恰有 2 人的事件为 ABC、ABD、ABE、ABF 共 4 种, 所以所求的概率为 P= = .

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20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的长轴的长是短轴长的两倍,焦距为 2



(1)求椭圆 C 的标准方程 (2)若直线 l:y=kx+m(m≠0)与椭圆 C 相交于不同两点 M,N,直线 OM,MN,ON 的斜率存在且依次成等 比数列,求 k 的值及 m 的取值范围(O 为坐标原点) 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由椭圆的长轴的长是短轴长的两倍,焦距为 2 ,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的 标准方程. ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用韦达定理、等比数列、根的判别式,结

(2)联立

合已知能求出 m 的取值范围. 【解答】解: (1)∵椭圆 C: =1(a>b>0)的长轴的长是短轴长的两倍,焦距为 2 ,



,解得 a=2,b=1,c=



∴椭圆 C 的标准方程为 (2)由题意,得 k≠0,



联立

,消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则





由题意 m2≠1(否则 x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM,ON 中至少有一个斜率不存在,矛盾) , ∴ +km(x1+x2)+m2,

又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, ∴ =k2,

∴﹣

+m2=0,

由 m≠0,得:

,解得 k=



由△ =64k2m2﹣16(1+4k2) (m2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0, 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 15 页

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得﹣ <m<﹣1 或﹣1<m<0 或 0<m<1 或 1<m< , ∴m 的取值范围是(﹣ )∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(1,

) .

21.已知函数 f(x)=e2x﹣ax+2(a∈R) (1)求函数 f(x)的单调区间 (2)在曲线 y=f(x)上是否存在两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (x1≠x2) ,使得该曲线在 A,B 两点处的切线相 交于点 P(0,t)?若存在,求实数 t 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)原问题等价于函数 y=g(x)与 y=2﹣t 至少有 2 个不同的零点,根据函数的单调性求出 g(x)的最小值, 从而求出 t 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)=2e2x﹣a, a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在 R 递增, a>0 时,f′(x)>0,解得:x> ln ,f′(x)<0,解得:x< ln , 故 f(x)在(﹣∞, ln )递减,在( ln ,+∞)递增; (2)以点 A 为切点的切线方程为:y﹣ ∵点 P(0,t)在切线上,∴t﹣ 整理得(2x1﹣1) =2﹣t, +ax1﹣2=(2 ﹣a0(x﹣x1) ,

+ax1﹣2=(2

﹣a) (﹣x1) ,

令 g(x)=(2x﹣1)e2x, 则原问题等价于函数 y=g(x)与 y=2﹣t 至少有 2 个不同的零点, ∵g′(x)=4xe2x,g′(x)>0?x>0,g′(x)<0?x<0, ∴g(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增, 且当 x<0 时,g(x)<0, ∴﹣1=g(0)<2﹣t<0,解得:2<t<3, 故 t∈(2,3) . [选修 4-1:几何证明选讲】 22. C、 D 是圆 O 上的两个点, CE⊥AB 于 E, BD 交 AC 于 G, CF=FG. 如图, 已知 AB 是圆 O 的直径, 交 CE 于 F, (Ⅰ)求证:C 是劣弧 的中点; (Ⅱ)求证:BF=FG.

【考点】与圆有关的比例线段. 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 16 页

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【分析】 (I) 要证明 C 是劣弧 BD 的中点, 即证明弧 BC 与弧 CD 相等, 即证明∠CAB=∠DAC, 根据已知中 CF=FG, AB 是圆 O 的直径,CE⊥AB 于 E,我们易根据同角的余角相等,得到结论. (II)由已知及(I)的结论,我们易证明△ BFC 及△ GFC 均为等腰三角形,即 CF=BF,CF=GF,进而得到结论. 【解答】解: (I)∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB 圆 O 的直径 ∴ ∵CE⊥AB ∴ ∵ ∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴ ∴∠CAB=∠DAC ∴C 为劣弧 BD 的中点 (II)∵ ∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB 同理可证:CF=GF ∴BF=FG [选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:

(t 为参数)与圆 C:

(θ 为参数)相交

于 A,B 两点. (1)求直线 l 及圆 C 的普通方程 (2)已知 F(1,0) ,求|FA|+|FB|的值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)使用加减消元法和同角三角函数的关系消参数得到普通方程; 2 ( )将直线的参数方程代入圆的普通方程,根据参数的几何意义和根与系数的关系解出. 【解答】解: (1)直线 l 的普通方程为 x﹣ ﹣1=0, 2 2 圆 C 的普通方程为(x﹣2) +y =9. 代入(x﹣2)2+y2=9 得 t2﹣

(2)将

﹣8=0,

∴t1+t2=

,t1t2=﹣8. 西安恒谦教育科技股份有限公司 第 17 页

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∴|FA|+|FB|=|t1﹣t2|= = .

[选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|ax﹣1|(a>0) (1)当 a=2 时,解不等式 4f(x)≥f(0) (2)若对任意 x∈R,不等式 4f(x)≥f(0)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式,求出此不等式的解集,即得所求. (2)分类讨论求得 f(x)的最小值,则由 4 乘以此最小值大于或等于 f(0) ,求得 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣1|=2|2x﹣1|,不等式 4f(x)≥f(0) ,即 8|2x﹣1|≥2, 即|2x﹣1|≥ ,∴2x﹣1≥ ,或 2x﹣1≤﹣ ,求得 x≥ 或 x≤ , 故原不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤ }.

(2)∵当 > 时,即 0<a<2 时,f(x)=|2x﹣1|+|ax﹣1|=



若对任意 x∈R,不等式 4f(x)≥f(0)=2 恒成立, 故 f(x)的最小值为 f( )= 综合可得,0<a≤1. ,由 4? ≥2,求得 a≤1,

当当 < 时,即 a>2 时,f(x)=|2x﹣1|+|ax﹣1|=



故 f(x)的最小值为 f( )=

,由 4?

≥2,求得 a≥4,

综合可得,a≥4. 综上可得,要求的实数 a 的取值范围为{a|0<a≤1,或 a≥4}.

西安恒谦教育科技股份有限公司 第 18 页


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