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转化与化归思想(师)


转化与化归思想(师)
【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、 新知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、 不同数学问题之间的互相转化、 实际问题向数学问题转化等. 各 种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题 离不开转化与化归,

它即是一种数学思想又是一种数学能力,高考对这种思想方法的考查所占比重很大,是历年高考 考查的重点。 预测高考对本讲的考查为: (1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等。 (2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 (4)出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决 的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将 未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说,数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰 当转化,进而达到解题目的的一个探索过程。 1.转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题 的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根) ,它能带来 思维的闪光点,找到解决问题的突破口。 2.常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也 就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式。常见的转化方 法有: (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转 化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的; (10)补集法: (正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问题的 结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 CU 3.化归与转化应遵循的基本原则: 1

A 获得原问题的解决。

(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某 种解题的启示和依据; (3 ) 和谐化原则: 化归问题的条件或结论, 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式, 或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 4.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化,即化归对象; (2)化归到何处去,即化归目标; (3)如何进行化归,即化归方法; 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。 【思想方法】

题型 1:集合问题
1.已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x ? y ? 1 },B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B
2 2

的元素个数为( A.0

) B. 1 C.2 D .3

解析 : 集合A表示由圆x 2 ? y 2 ? 1上的所有点组成的集合; 集合B表示直线y ? x上的所有点 组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0), 故直线与圆有两个交点, 故选C.
2 2 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 ,在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c 使 f (c) ? 0 ,求实数

p 的取值范围.
分析:运用补集概念求解。 解答:设所求 p 的范围为 A,则 C I A ? 数的图象开口向上 ;

?p 在[?1,1]上函数f ( x) ? 4 x

2

? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 ? 0

?注意到函

2 ? 3 ? f (1) ? ?2 p ? 3 p ? 9 ? 0 ? ? CI A ? ? p ? ? ?p p ? ?3或p ? 2 2 ? ? f (?1) ? ?2 p ? p ? 1 ? 0 ?

?A?? P

?3? P ?

3 2

?

点评:对于许多集合问题,通过转化,将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题,将抽象的问题转化为具 体的直观的问题,便于将问题解决。

题型 2:函数问题 3.已知函数

f ? x ? ? xe? x ? x ? R ?



(Ⅰ)求函数

f ? x?

的单调区间和极值;
2

(Ⅱ)已知函数

y ? g ? x?

的图象与函数

y ? f ? x?

的图象关于直线 x ? 1 对称.证明当 x ? 1 时,

f ? x? ? g ? x?
(Ⅲ)如果

; ,且

x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ?
.令

,证明

x1 ? x2 ? 2


,则 x

解析: (Ⅰ)

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ? 0

? 1;

当 x 变化时,

f ?? x?, f ? x?

的变化情况如下表:

x
f ?? x?

? ??,1?
?


1

?1, ?? ?
?


0
极大值

f ? x?
所以

f ? x?

在区间

? ??,1? 内是增函数,在区间 ?1, ?? ? 内是减函数。
f ?1?
.且

函数

f ? x?

在x

? 1 处取得极大值
y ? g ? x?

f ?1? ?

1 e.

(Ⅱ)因为函数 所以

的图象与函数

y ? f ? x?

的图象关于直线 x .

? 1 对称,

g ? x? ? f ?2 ? x?

,于是

g ? x ? ? ? 2 ? x ? e x?2



F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

,则

F ? x ? ? xe? x ? ? x ? 2 ? e x ?2



F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x ? 2 ? 1? e ? x



当x

? 1 时, 2x ? 2 ? 0 ,从而 e2 x ?2 ? 1 ? 0 ,又 e? x ? 0 ,所以 F ? ? x ? ? 0 ,
F ? x?
在区间

于是函数 因为

?1, ?? ? 上是增函数.
,所以,当 x

F ?1? ? e?1 ? e?1 ? 0

? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 .因此 f ? x ? ? g ? x ? .

(Ⅲ)(1) 若 (2) 若

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 .不妨设 x1 ? 1, x2 ? 1 .
,所以

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾;
f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ?

根据(1),(2)可得 由(Ⅱ)可知

. 3

因为 所以

x2 ? 1

,所以

2 ? x2 ? 1
,即

,又

x1 ? 1


,由(Ⅰ) ,

f ? x?

在区间

? ??,1? 内是增函数,

x1 ? 2 ? x2

x1 ? x2 ? 2

点评:函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟” ,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方 程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为 最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.

题型 3:不等式问题
4.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的 乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型 卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利 润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 5.设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是___________;
解析:4.C:设派用甲型卡车 x(辆) ,乙型卡车 y(辆) ,获得的利润为 u(元) , u ? 450 x ? 350 y ,由题意,x、y 满

? x ? y ? 12, ? 2 x ? y ? 19, ? ? x ? y ? 12, ? 足关系式 ?10 x ? 6 y ? 72, 作出相应的平面区域, u ? 450 x ? 350 y ? 50(9x ? 7 y) 在由 ? 确定的交点 ?2 x ? y ? 19 ?0 ? x ? 8, ? ? ?0 ? y ? 7,

(7,5) 处取得最大值 4900 元,选 C.
评析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本题主要考察了用平面区域 二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题。 5.解析:当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以

m

为半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间;

?

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ?0 2 2

,因为

A ? B ? ? , 此时无解;当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,
2 ? 2 m ?1 ? ? 2 ?m ? 2?2 m ?m ? ? 2

0)为圆心,以

m 2



m

为半径的圆环,集合 B 是在两条平行线之间,必有



?

2 ?1 m 1 ? m ? 2 ? 1 .又因为 ? m2 ,? ? m ? 2 ? 1 。 2 2 2

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函 4

数解题是数学中的常用方法,通过巧妙地构造辅助函数,把原来的问题转化为研究辅助函数的性质,从而达到解题目 的。

题型 4:三角问题
6.在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

(A)(0,

? ] 6

(B)[

? ,? ) 6

(C)(0,

? ] 3

(D) [

? ,? ) 3

答案:C;解析:由题意正弦定理

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? 。 bc 2 3
2 2 2 2 2 2

点评:本小题主要考查解三角形知识,并突出了边角互化这一转化思想的应用。 7.若 0 ? ? ? ? ? A. a ? b

?
4

, sin ? ? cos? ? a, sin ? ? cos ? ? b ,则(
B. a ? b C. ab ? 1



D. ab ? 2
2

解析:若直接比较 a 与 b 的大小比较困难,若将 a 与 b 大小比较转化为 a

与b 2 的大小比较就容易多了。
? sin 2?
,所以 a
2

因为

a 2 ? 1 ? sin 2?,b 2 ? 1 ? sin 2?

又因为 0 ?

2? ? 2? ?

?
2

所以 sin 2?

? b 2 又因为

a,b ? 0 ,所以 a ? b 故选(A) 。
点评:体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域) 、最值、比较大小等问 题。

题型 5:数列问题 8.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则
知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设

an 21 的最小值为__________.【答案】 2 n

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性,考查了同学们综合运用

f (n) ?

的,因为

33 ?33 ? n ? 1 ,令 f (n) ? 2 ? 1 ? 0 ,则 f (n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增,在 (0, 33) 上是递减 n n a a 53 a6 63 21 n∈N ,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。又因为 5 ? , ,所以, n 的最小值为 ? ? 5 5 6 6 2 n
+

an 33 ? ? n ?1 n n

a6 21 ? 6 2 .
点评: 数列是一种特殊的函数, 动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。 数列的项可看作定义在正整数集 (或 它的有限子集)上的函数。 5

如等差数列 {a n } 的通项公式 an

? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d ) ,前 n 项的和公式

Sn ? na1 ?
的意识。

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 。当 d ? 0 时,可以看作自变量 n 的一次和二次函数。因此利用函 2 2 2

数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解,也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题

题型 6:立体几何问题
9.如果,三棱锥 P—ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC 的公垂线 ED=h.求证三棱锥 P—ABC

1 V ? l 2h 6 的体积 。
分析:如视 P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是 S△ABC 以及高 h 都不好求.如果观察图形,换个角度看问题,创 造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境. 解析:如图,连结 EB,EC,由 PA⊥BC,PA⊥ED,ED∩BC=E,可得 PA⊥面 ECD.这样,截面 ECD 将原三棱 锥切割成两个分别以 ECD 为底面,以 PE、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于 PE+AE=PA=l,所

以 VP-ABC=VP-ECD+VA-

1 3S ECD=



1 3S ECD?AE+



1 3S ECD?PE=

△ECD

?PA

1 1 1 V ? l 2h 6 = 3 ? 2 BC· ED· PA= 。
点评:辅助截面 ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。

10.如图,在三棱锥 S-ABC 中,S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上,M 是侧棱 SC 上的一点,使截 面 MAB 与底面所成角等于∠NSC。求证:SC 垂直于截面 MAB。 (83 年全国高考)
分析:由三垂线定理容易证明 SC⊥AB,再在平面 SDNC 中利用平面几何知识证明 SC⊥DM。 证明:由已知可得:SN⊥底面 ABC,AB⊥CD,CD 是斜线 SC 在底面 AB 的射影,∴ AB⊥SC。∵ AB⊥SC、AB⊥CD ∴ AB⊥平面 SDNC∴ ∠MDC 就是截面 MAB 与底面所成的二面角,由已知得∠MDC=∠NSC 又∵ ∠DCM=∠SCN ∴ △DCM≌△SCM∴ ∠DMC=∠SNC=Rt∠即 SC⊥DM 所以 SC⊥截面 MAB。 点评:立体几何中有些问题的证明,可以转化为平面几何证明来解决,即考虑在一个平面上的证明时运用平面几 何知识。

题型 7:解析几何问题
11.设 x、y∈R 且 3x +2y =6x,求 x +y 的范围。
分析:设 k=x +y ,再代入消去 y,转化为关于 x 的方程有实数解时求参数 k 范围的问题。其中要注意隐含条 件,即 x 的范围。解析:由 6x-3x =2y ≥0 得 0≤x≤2。设 k=x +y ,则 y =k-x ,代入已知等式得:x - 6x+2k=0 ≤4。 6 ,即 k=-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 x +3x,其对称轴为 x=3。由 0≤x≤2 得 k∈[0,4]。所以 x +y 的范围是:0≤x +y 2

另解:数形结合法(转化为解析几何问题) :
2 2 2

由 3x +2y =6x 得(x-1) +

y2 3 2

=1,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点。x +y 的范围就是椭圆上

2

2

的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程 为 x +y =k,代入椭圆中消 y 得 x -6x+2k=0。由判别式△=36-8k=0 得 k=4,所以 x +y 的范围是:0≤x +y ≤4。
2 2 2 2 2 2 2

再解:三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题) :由 3x +2y =6x 得(x-1) +

2

2

2

y2 3 2

s ? ?x ? 1 ? co ? 2 2 =1, 设? , 则 x +y =1+2cosα 6 s i n ? ?y ? 2 ?
α +2cosα +

+cos α +

2

3 2 sin α 2

=1+

3 +2cosα 2



1 2 cos α 2

=-

1 2 cos 2

5 2 2 2 2 ∈[0,4]所以 x +y 的范围是:0≤x +y ≤4。 2

点评:题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有助于提高发散思维能力。此题 还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型。

12.?ABC 的外接圆的圆心为 O ,两条边上的高的交点为 H,OH =m( OA + OB + OC ) ,则实数 m =____
分析:如果用一般的三角形解决本题较难,不妨设 ?ABC 是以∠A 为直角的直角三角形,则 O 为斜边 BC 上的中点, H 与 A 重合, OA + OB + OC = OA = OH ,于是得出 m=1。 点评:这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多,如归纳、猜想、证明的方法,过定点问题,定值问题也可以 用这样的思路。

题型 8:具体、抽象问题
13.若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x-f[g(x) ]=0 有实数解,则 g[f (x) ]不可能是( (A)x2+x-
1 5

) (B) x2+x+
1 5

(C)x2-

1 5

(D)x2+

1 5

分析:本题直接解不容易,不妨令 f(x)=x,则 f[g(x) ]=g(x) ,g[f(x) ]=g(x) ,x-f[g(x) ]=0 有实数解即 x-g(x)=0 有实数解。这样很明显得出结论,B 使 x-g(x)=0 没有实数解,选 B 这种从抽象到具体再到抽象,使学生从心理上感到非常轻松,象这样常见抽象函数式还有一次函数型 f(x+y) =f(x)+f(y)+m,对数函数型 f(xy)=f(x)+f(y) ,幂函数型 f(xy)=f(x)f(y) 。 点评:把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象语言与具体 事物间建立联系,从而实现抽象向具体的化归。 7

题型 9:正难则反转化问题
14.等比数列 ? an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个 数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n .
【解析】 (Ⅰ)当

a1 ? 3

时,不合题意;当

a1 ? 2

时,当且仅当

a2 ? 6, a3 ? 18

时,符合题意;当 3, 所以数列

a1 ? 10

时,不

合题意。由题意知

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 , 因为 ?an ? 是等比数列 , 所以公比为

?an ? 的通项公式

an ? 2 ? 3n ?1 .
(Ⅱ)因为 bn

? an ? (?1) ln an = 2 ? 3n?1 ? (?1) ln 2 ? 3n?1 ,
=

所以 Sn

? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
-

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

2(1 ? 3n ) 1? 3

ln a1a2 an

=

3n ? 1

-

) ,所以 S2 n = 32 n ? 1 - ln(22n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 。

点评:一些数学问题,如果从条件出发,正面考虑较难较繁,不妨调整思考方向,从问题的结论入手,或从问题 的条件与结论的反面入手进行思考,迂回地得到解题思路,这叫做 “正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略, 灵活用之,能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。

题型 10:实际应用问题
15.把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是 P,怎样设计才能使冲成的零件面 积最大?并求出它的最大面积。
分析:这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 解析: 如图, 设矩形的一边长为 x,则半圆的周长为 设零件的面积为 S,则

?x
2

矩形的另一边长为

AB ?

1 ?x 2 P ? (? ? 2) x (P ? x ? ) = 2 2 4
A B

S=

1 ? 2 2 P ? (? ? 2) x ? ?4 2 P =? ? x ? x? x ? x 2 4 4 8 2

· O x

D C

8

∵a<0

∴当 x

??

b 2P P 时, S 有最大值, 这时 AB= 。 ∴当矩形的两邻边 AB 与 BC 之比为 1︰2 时, ? 2a ? ? 4 ? ?4

Smax=

P2 8 ? 2?



点评:实际问题转化为数学问题,用数学结果解释最终的实际问题。 【思维总结】 1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比 是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题 的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。 2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以 变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。 3.注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此,化归思想方 法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键。设计化归目标时,总是以课本中那 些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题(通常称为规范性问题)为依据,而把要解决的问题化归为成 规律问题(即问题的规范化) 。化归能不能如期完成,与化归方法的选择有关,同时还要考虑到化归目标的设计与化归 方法的可行性、有效性。因此,在解题过程中,必须始终紧紧盯住化归的目标,即应该始终考虑这样的问题:怎样才 能达到解原问题的目的。 在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的, 盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。 4.注意化归的等价性,确保逻辑上的正确 化归包括等价化归和非等价化归,等价化归后的新问题与原问题实质是一样的,不等价化归则部分地改变了原对 象的实质,需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归,等价化归要求转化过程中的前因后 果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性,就会犯 不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义,在经过数学变 换后,应将所得的结果按实际意义检验;解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。 数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领悟、反复应用的基础 上形成的,化归也不例外。学生在解题过程中,必须根据问题本身提供的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、 有计划、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程,倒摄解题思维,回味解题中所使用的思想,去寻求有利于问题解 决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的:走过两遍的路就是方法。

转化与化归思想
一、填空题 1.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|=________. 2.函数 f(x)= x+ 1-x的值域为________. 3.在等比数列{an}中,a1=a,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}成等差数列,则 Sn=________. → → → → → 4.在各棱长都等于 1 的正四面体 OABC 中,若点 P 满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则|OP| 的最小值等于________. 17 5.已知函数 f(x)=-sin2x+sin x+a,若 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 都成立,则参数 a 的取值范围为 4
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____________. 6.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少有一个值 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围为____________. 7.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq 且 a2=-6,那么 a10=________. 8.已知函数 f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈[0,1],若 f(x)≤2 恒成立,则 a+b 的最大值为________. 9.已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是____________. a2-a1 10. 已知数列-1, a1, a2, -4 成等差数列, -1, b1, b2, b3, -4 成等比数列, 则 的值为________. b2 3a c b 11.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a,b,c,且 BC 边上的高为 ,则 + 的最大 6 b c 值为________. 12.若 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意实数 x 都有 f(x+3)≤f(x)+3 和 f(x+2)≥f(x)+2,且 f(1)=1, 则 f(2 012)=________. 二、解答题 13.设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,若 f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意 a∈[-1,1]恒成立,求 x 的取 值范围.

14.已知非空集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R},若 A∩R ≠ ? ,求实数 m 的取值范围(R 表示
- -

负实数集).

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π 15.已知奇函数 f(x)的定义域为实数集 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,当 0≤θ≤ 时,是否存在这 2 π ? 样的实数 m,使 f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>f(0)对所有的 θ∈? ?0,2?均成立?若存在,求出所有适 合条件的实数 m;若不存在,请说明理由. 答 案 1. 5 2 9.(0, ) a1 2. [1, 2] 10. 1 2 3. 11. 4 na 4. 6 3 5. 3≤a≤4 3? 6. ? ?-3,2? 7. -30 8. 17 4

12. 2 012

13.解 ∵f(x)在 R 上是增函数,∴由 f(1-ax-x2)≤f(2-a)可得 1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]. ∴a(x-1)+x2+1≥0,对 a∈[-1,1]恒成立.令 g(a)=(x-1)a+x2+1. 则当且仅当 g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+x≥0,解之,得 x≥0 或 x≤-1. 故实数 x 的取值范围为 x≤-1 或 x≥0. 3? ? 14.解 设全集 U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}=?m|m≤-1或m≥2?.
? ?

m∈U, ? ? 3 方程 x -4mx+2m+6=0 的两根均非负的充要条件是?4m≥0, 可得 m≥ . 2 ? ?2m+6≥0,
2

3? ? - - ∴A∩R = ? 时, 实数 m 的取值范围为?m|m≥2?.∴A∩R ≠ ? 时, 实数 m 的取值范围为{m|m≤-1}.
? ?

15.解 因为 f(x)在 R 上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数,故 f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)=0. 由题设条件可得,f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0.又由 f(x)为奇函数,可得 f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ- 4m).∵f(x)在 R 上为增函数,∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m,即 cos2θ-mcos θ+2m-2>0. π 令 cos θ=t, ∵0≤θ≤ , ∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切 0≤t≤1, 不等式 t2-mt+2m-2>0 恒成立. 2 t2-2 t2-2 2 ∴t2-2>m(t-2),即 m> 恒成立.又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2,∴m>4-2 2, t-2 t-2 t-2 ∴存在实数 m 满足题设的条件,且 m>4-2 2.

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