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浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学理试卷


2013 年嘉兴一中高三教学摸底测试
理科数学
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规定 处填写姓名、考号等指定内容; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

试题卷

第 I 卷(选择题 共

50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { x || x ? 1 |? 2}, B ? { x | log2 x ? 2} ,则 A ? B ? A. (?1,3) 2.若复数 B. (0,4) C. (0,3) D. (?1,4)

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

A. ? 2 3.函数 y ? 2 sin(

B. 4

C. ? 6

D. 6

?
2

? 2 x) 是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

B. 最小正周期为 D.最小正周期为

?
2

的奇函数

?
2

的偶函数

4.等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? ?12 , S13 ? 0 ,使得 a n ? 0 的最小正整数 n 为 A.7 B.8 C.9 D.10

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a sin A ? c sinC ? 2a sinC ? b sin B . 则 ?B ? ? A. 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

3? 4

6.某三棱锥的三视图如所示,该三棱锥的体积为 40 A.20 B. 3 C.56 D.60

7.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是 ... A.当 m ? ? 时,“ n // ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时, “ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 8.下列命题中,真命题是 A.存在 x 0 ? R, 使得 e x0 ? 0 C.若 ab ? 1 ,则 a, b 至少有一个大于 1 9.函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 的零点个数为 A.1 C.3 B.任意 x ? R,2 x ? x 2 D. sin2 x ?
2 sin2 x ? 3( x ? k? , k ? Z )

B.2 D.4

10.记实数 x1 , x 2 , ? , x n 中的最大数为 max{ x1 , x 2 , ? , x n } , 最小数为 min{ x1 , x 2 , ? , x n } 则 max{min{ x ? 1, x 2 ? x ? 1,? x ? 6 }}= A.
3 4

B.1

C.3

D.

7 2

第 II 卷(非选择题部分
11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 数(结果用数值表示) . 12.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 13. 已知 x ,y 均为正数, ? ( , ) , 且满足 ? 4 2 则
x 的值为 y

共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ▲ 个没有重复数字且能被 5 整除的五位





? ?

sin? cos? cos 2 ? sin2 ? 10 , 2 ? , ? ? 2 2 x y x y 3( x ? y 2 )




f ( x) ? x 2 ? 2 x

14 . 已 知 函 数

, 点 集

M ? {( x, y) | f ( x ) ? f ( y) ? 2}



N ? {( x, y) | f ( x ) ? f ( y) ? 0} ,则 M ? N 所构成平面区域的面积为





开始

S ?0 S ? S ? 400 Y

S≤2000
N 输出S 开始
(第 12 题)

15 题图

15.如图, F1 , F2 是双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线与双曲

线的左、右两支分别交于 A, B 两点.若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |? 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为 ▲ .

16.在平面四边形 ABCD 中,点 E, F 分别是边 AD, BC 的中点,且 AB ? 2 , EF ? 1 ,
CD ? 3 .若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为





17 . 记 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ) 的 导 函 数 为 f ' ( x ) . 如 果 存 在 x 0 ? [a, b] , 使 得
f (b) ? f (a ) ? f ' ( x 0 )(b ? a ) 成立,则称 x 0 为函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上的“中值点”.那

么函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 在区间[-2,2]上“中值点”的为

▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 3, a n?1 ? 3a n ? 3 n ( n ? N * ) ,数列 {bn } 满足
bn ? an 3n

.

(Ⅰ)证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . 19. (本题满分 14 分)一个口袋中有红球 3 个,白球 4 个. (Ⅰ)从中不放回地摸球,每次摸 2 个,摸到的 2 个 球中至少有 1 个红球则中奖,求摸 2 次恰好第 2 次中 奖的概率; (Ⅱ)每次同时摸 2 个,并放回,摸到的 2 个球 中至少有 1 个红球则中奖,连续摸 4 次,求中奖次数 X 的数学期望 E(X). 20. (本题满分 15 分) 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, 1 AD ? CD, AB // CD , AB ? AD ? CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E, C 重合。 2 (Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 的体积.
6 时,求三棱锥 M ? BDE 6

21. (本题满分 15 分) 设点 A( ? 3 ,0) ,B( 3 ,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 ? (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转, l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 相交于 P、Q 两点, S 若|PQ| ? [4, 19 ], 求△ F' RS 的面积的最大值和最小值 (F′ l 与轨迹 C 相交于 R、 两点, 为轨迹 C 的左焦点). 22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? a ln x(a ? 0, a ? R ). (Ⅰ)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x ) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 1 1 2013 (Ⅱ) 证明: n? N * , 对 不等式 成立. ? ? ?? ? ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n( n ? 2013)
2 . 3

2013 年嘉兴一中高三教学摸底测试
理科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.C; 6.B; 2.D; 7.A; 3.C ; 8.D; 4.B; 9.A; 5.B; 10.D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.216; 15. 13 ; 12.2400; 16.
31 ; 2

13. 3 ; 17. ?
2 3 . 3

14. 2? ;

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、21 题各 14 分,第 20、22 题各 15 分,共 72 分) 18.解(I)证明:由 bn ? ∴ bn ?1 ? bn ?

an an ?1 ,得 bn ?1 ? n ?1 , n 3 3

an ?1 an 1 ? ? 3n ?1 3n 3 1 3

所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为 ∴ bn ? 1 ?

1 n?2 (n ? 1) ? 3 3

(II) an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n ?1

? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ? 1 ? 4 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 3n?1 ----①
? 3S n ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? (n ? 2) ? 3n -------------------②
①-②得 ? 2 S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n
3n ? 3 ? ? (n ? 2) ? 3n 2 ? Sn ? ? 3n ? 3 (n ? 2)3n ? 4 2
2 2 C 4 (C 5 ? 1) 2 2 C7 C5

19.解: (I) P ?

?

9 35

(II)一次获奖的概率 P ' ?
5 20 ? 7 7

2 2 C7 ? C4 2 C7

?

5 7

E( X ) ? 4 ?

20. (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

???? ? ???? ? BM ? (?2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4, 0)

???? ???? ? ???? ???? ? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM // 面ADEF
?? ? t 2 ??? ? ? ???? ? ? t 则 DB ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 2 ?? ? ?? ? 2t 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1, ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n2 | 2? (4 ? t ) 2
(Ⅱ)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y, z )

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? h ? 3 3
21. (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 kMA ? kMB ?

y y 2 ? ? ? ( x ? ? 3) 3 x? 3 x? 3 x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 3) 3 2
1 1? m
2

化简

x2 y 2 ? ?1 3 2

?轨迹 C 的方程为

(Ⅱ)设 l : x ? my ? 1, O到l 的距离 d ?

| ,? PQ |? 2 5 ?

1 ? [4,19] 1 ? m2

? 0 ? m2 ? 3 ,将 x ? my ? 1 代入轨迹 C 方程并整理得: (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?

4m 4 , y1 y2 ? ? 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

?| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?

16m 2 16 ? 2 2 (2m ? 3) 2m 2 ? 3

? S? ?
2

1 3(m 2 ? 1) | y1 ? y2 | ? | FF ? |? 4 2 (2m 2 ? 3) 2

设 m ? 1 ? t ? [1, 4] ,则 f (t ) ? 4t ? 在[1, 4] 上递增,? f (t ) ? [5,

1 t

65 ] 4

? S? ? 4

3t ? (2t ? 1) 2

4 3 1 4 ? (4t ? ) t

? Smin ?

8 3 4 3 , S max ? 9 3

22. (I) f ( x ) ? (a ? 2) x 化为 a(ln x ? x ) ? 2 x ? x 2 易知 ln x ? x ,? a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ,设 ? ( x) ? x ? ln x x ? ln x

? ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) 2 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2ln x , h?( x) ? 1 ? 2 ( x ? ln x) x

? h( x)在(1, 2) ?, (2, ??) ? ,? h( x)min ? h(2) ? 4 ? 2 ln 2 ? 0

?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x)min ? ? (1) ? ?1

? a ? ?1
(Ⅱ)由(I)知: a ln x ? (a ? 2) x ? x ? 0对x ? 1 恒成立,
2

,则 ln x ? x ? x ,? 令 a ? ?1
2

1 1 1 1 ? ? ? ln x x( x ? 1) x ? 1 x

? 取 x ? n ? 1,n ? 2, , n ? 2013得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,? , ? ? ln(n ? 1) n n ? 1 ln(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ln(n ? 2013) n ? 2012 n ? 2013

相加得:

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ?( ? )?( ? ) ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 2013 ? )? ? ? n ? 2012 n ? 2013 n n ? 2013 n(n ? 2013)

?? ? (


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