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值域


求值域方法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的 值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域

? 常用求值域方法
(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对

于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

y?
例 1、求函数

1 , x ? [1, 2] x 的值域。(??)

例 2、 求函数 y ? 3 ? x 的值域。 (??) 答案:值域是: [??,3] 【同步练习 1】函数 y

?

1 2 ? x2

的值域.

(??)

解: { y 0 ?

1 y? } 2

(2) 、配方法:二次函数或可转化为形如 F ( x) ? a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? c 类的函数的值域问题,均可用配方 法,而后一情况要注意 f (x ) 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 1、求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? R 的值域。(??)
2

2 例 2、求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 (???) 2 解:将函数配方得: y ? (x ? 1) ? 4

∵ x ? [?1,2]

由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当 x ? ?1时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8] 例 3、求 y ? 2?log2 2x? ? 6 log2 x ? 6 ? 2?log2 x ? 2? ? 2 。 (????) (配方法、换元法)
2 2

解:???所以当 x ? 时, y 有最小值-2。故所求函数值域为[-2,+∞) 。
例 4、设 0 ≤ x ≤ 2 ,求函数 f ( x) ? 4 ? 3? 2
x x ?1

1 4

? 1 的值域.

解: f ( x) ? 4 ? 3? 2
x

x ?1

? 1 ? (2x ? 3)2 ? 8 ,

∵ 0 ≤ x ≤ 2 ,∴?≤ 2x ≤ 4 .

∴ 当 2 x ? 3 时,函数取得最小值 ?8 ;当 2 x ? 1 时,函数取得最大值 ?4 , ∴ 函数的值域为 [?8, 4] . ?
评注:配方法往往需结合函数图象求值域. 例 5、求函数 y ? 2x ? 3 ? 4x ? 13 的值域。 (????) (配方法、换元法) 解: y ?

1 1 4 x ? 6 ? 2 4 x ? 13 ? ?4 x ? 13? ? 2 4 x ? 13 ? 7 2 2 2 1 7 7 4 x ? 13 ? 1 ? 3 ,所以 y ? ,故所求函数值域为[ ,+∞]。 = 2 2 2

?

? ?

?

?

?

例 6、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x 的值域。 (???) (配方法)

y ? ?0, 2? 。
【同步练习 2】 (???) 1、求二次函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 ( x ??1, 4? )的值域.
2

(??)

2、求函数 y ? e ? x

2

? 4 x ?3

的值域.

(???) (????)

3、求函数 y ? 4? x ? 2? x ? 1, x ?[?3, 2] 的最大值与最小值. 4、求函数 y ? log 2

x x ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值. (???) 2 4
x? 1 2

5、已知 x ? ?0, 2? ,求函数 f ( x) ? 4

? 3 ? 2x ? 5 的值域. (???)

6、若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 lg x ? lg y 的最大值。 (????) 最大值 lg 2 。

(3) 、换元法: (三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来 代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题 方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求 得原函数的值域. 例 1、求 f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域. 解:令 1 ? x ? t ? 0 ,则 x ? 1 ? t (t ≥ 0) ,
2

? 1? 5 5 f ( x) ? f (1 ? t ) ? 1 ? t ? t ? ? t ? ? ? ≤ , ? 2? 4 4
2 2

2

所以函数值域为 ? ??, ? . 评注:利用引入的新变量 t ,使原函数消去了根号,转化成了关于 t 的一元二次函数,使问题得以解决.用 换元法求函数值域时,必须确定新变量的取值范围,它是新函数的定义域. 小结: 【同步练习 3】求函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域。 解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得 x ?

? ?

5? 4?

1 。令 1 ? 2x ? t ?t ? 0? 2

1 1? t 2 1? t 2 1 2 ? t ? ? ?t ? 1? ? 1 ,因为 t ? 0 ,所以 y ? 。故所求函数值域为[得x ? ,于是 y ? 2 2 2 2
1 ∞, ]。 2 例 2、求函数 y ? x 1 ? x 2 ? x 2 的值域。 解:设 x ? sin ? ? ? ?

? ?

??

? ,则 2?

1 1 1 2 ? ?? y ? sin ? cos? ? sin 2 ? ? sin 2? ? ?1 ? cos2? ? ? ? sin? 2? ? ? 。 2 2 2 2 4? ?
所以

?1 ? 2 1 ? 2 ? 1? 2 1? 2 , ,故所求函数值域为 ? ?y? ?。 2 ? 2 2 ? 2

2 【同步练习 4】求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

故可令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4
∵0??? ?

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4
当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10 当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ] 小结:

【同步练习 5】 1、求函数 y ? x ? 1? 2x 的值域.

(??)

2 2、求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。 (????)
2 解:因 1 ? (x ? 1) ? 0 2 即 (x ? 1) ? 1

故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4


0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??
故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ] 3、已知函数 f (x) 的值域为 ? 3 , 5 ? ,求函数 y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域. ?8 9 ? ? ?

(???)

(4)、函数有界性法(方程法) 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。 我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。

例 1、求函数 y ?

sin x ? 3 的值域。 sin x ? 3

解:因为 sin x ? 3 ? 0 ,所以 y sin x ? 3 y ? sin x ? 3 ,则 sin x ?

3? y ? 1? 1? y

由于 sin x ? 1,所以

1 1 3? y ? 1? ? 1 ,解得 ? 2 ? y ? ? 。故所函数的值域为[-2,- ]。 2 2 1? y

求函数 y ?

x2 ?1 的值域 x2 ?1
? ?1 ? y ? 1

? x2 ?

1? y ?0 1? y

? 原函数的值域为 ?? 11?

例 2、求函数 y ?

3 sin x ? 1 的值域。 2 cos x ? 3

解:因为 2 cos x ? 3 ? 0 ,所以 2 y cos x ? 3 y ? 3 sin x ? 1, 即 3 sin x ? 2 y cos x ? 3 y ? 1,所以

3 4y ? 9
2

sin x ?

2y 4y ? 9
2

cos x ?

3y ? 1 4y ? 9
2

,令

cos? ?

3 4y2 ? 9

, sin ? ?

2y 4y2 ? 9

得 sin ?x ? ? ? ?

3y ? 1 4y2 ? 9





3y ? 1 4y ? 9
2

? 1 ,解得 ? 2 ? y ?

4 4 ,故所函数的值域为[-2, ]。 5 5

y?
【同步练习 6】求函数

ex ? 1 2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 y? y? x 1 ? sin ? , 1 ? cos ? 的值域. e ?1 ,

ex ? 1 1? y ? ex ? ?0 x 1? y e ?1 2sin ? ? 1 1? y y? ?| sin ? |?| |? 1, 1 ? sin ? 2? y 2sin ? ? 1 y? ? 2sin ? ? 1 ? y (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 2sin ? ? y cos ? ? 1 ? y y? 4 ? y 2 sin(? ? x) ? 1 ? y, 即sin(? ? x) ? 又由 sin(? ? x) ? 1知 1? y 4 ? y2 ?1 1? y 4 ? y2

解不等式,求出y,就是要求的答案
(5)、数形结合法(函数的图像):对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可 以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定 函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化. 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结 合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

? x 2 ? 2 x ? 3 (?2 ≤ x ? 0), ? 例1、 求函数 f ( x) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 3 (0 ≤ x ≤ 3) ?
域. 分析:求分段函数的值域可作出它的图象,则其函 化情况就一目了然了, 从而可以快速地求出其值域. 解:作图象如图所示.

的值

数值的整体变

∵ f (?1) ? f (1) ? ?4 , f (?2) ? ?3 , f (3) ? 0 ,
∴ 函数的最大值、最小值分别为 0 和 ?4 ,即函数的

f (0) ? ?3 ,
值域为

[?4, . 0]
2 2 例2、 求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域.

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) B(?8) 间的距离之和。 , 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,?? ]
2 2 例 3、求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域.

解:原函数可变形为:

y ? (x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2
上式可看成 x 轴上的点 P( x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,?? ]

2 2 例 4、求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域.
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1)

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B( ?2,1) 到点 P( x,0) 的距离之差。 即: y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P' ,则构成 ?ABP' ,根据三角形两
2 2 边之差小于第三边,有 || AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26

即: ? 26 ? y ? 26

(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差 时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) ( ?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B 两点坐标分别为(3, , 2) (2,?1) ,在 x 轴的同侧。 , 【同步练习 7】 1、求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域. 2、求函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域. 3、求函数 y ?

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域. x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 2 x ? 2 的最大值.

4、求函数 f ?x ? ?

(6)均值不等式法:利用基本关系 [ f ( x)]2 ? 0, 两个正数的均值不等式 a ? b ? 2 ab 在应用时要注意“一 正二定三相等”;
? 3 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) , 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时

要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 1、求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的值域 x ?1

( x ? 1) 2 ? 1 1 ? x ?1? ? 2 (? x ? ?1) 解:原函数可化为 y ? x ?1 x ?1
当且仅当 x ? 0 时取等号,故值域为 ?2 , ? ??

例3、 求函数

y ? (sin x ?

1 2 1 2 ) ? (cos x ? ) ?4 sin x cos x 的值域.

解:原函数变形为:

y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 33 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5
当且仅当 tan x ? cot x

1 1 ? 2 sin x cos 2 x

即当

x ? k? ?

? 4 时 (k ? z) ,等号成立

故原函数的值域为: [5,?? )

(7) 、根判别式法:对于形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 , a2 不同时为 0 )的函数常采用此法,就是把函数 a2 x 2 ? b2 x ? c2

转化成关于 x 的一元二次方程(二次项系数不为 0 时) ,通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零, 求得原函数的值域. 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进 行化简 如:

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x 2 x ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y ? 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y ? ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

1 ? x ? x2 例 1、求函数 y ? 的值域. 1 ? x2
解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 ( y ?1) x ? x ? y ? 1 ? 0 .
2

(1)当 y ? 1 时, x ? R , ? ? (?1)2 ? 4( y ?1)( y ?1) ≥ 0 ,解得 (2)当 y ? 1 时, x ? 0 ,而 1? ? , ? . 2 2 故函数的值域为 ? , ? . 2 2

1 3 ≤ y≤ ; 2 2

?1 3? ? ?

?1 3? ? ?

评注:①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零;②使用此法须在 x ? R 或仅有个别值(个 别值是指使分母为 0 的值,处理方法为将它们代入方程求出相应的 y 值,若在求出的值域中则应除去此 y

1 ? x ? x2 3) 值)不能取的情况下,否则不能使用,如求函数 y ? , x ? (2, 的值域,则不能使用此方法. 1 ? x2
例 2、求函数 y ? x ? x(2 ? x) 的值域.
2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1)

∵ x? R
2 ∴ ? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由 x (2 ? x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 2
2 2 由? ? 0, 仅保证关于 x 的方程:2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集 R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0,

2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的

?1 3? ? , ? 值域为 ? 2 2 ? 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2

? y ? x ? x(2 ? x) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
x1 ?
解得:

2 ? 2 ? 24 2 2

?[0,2]

即当

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2 时,

原函数的值域为: [0,1 ? 2 ]

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的 部分剔除。 【同步练习 8】

5x2 ? 8x ? 5 1、求函数 y ? 的值域. x2 ? 1
2、求函数 y ?
x ?1 的值域. x2 ?2 x?2
ax 2 ? 8 x ? b

3、函数 f ( x ) ? log 3 4、设函数 y ? f ? x ? ?

x 2 ?1

的定义域为 (??, ??) ,值域为 [0, 2] ,求 a , b 的值.

ax ? b 的值域为 ?? 1,5? ,求 a,b . x2 ? 2

2 5、已知函数 y=f(x)= 2 x ? bx ? c ?b ? 0? 的值域为[1,3],求实数 b,c 的值.

x2 ? 1

(8) 、分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题,因为分子分母都有变量,利用函 数单调性确定其值域较困难,因此,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和 的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函数性质确定其值域.

2x 例 1、求函数 y ? x 的值域. 2 ?1
解: y ?

2x (2 x ? 1) ? 1 1 ? ? 1? x . x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1 ? ? 1 ,∴ ?1 ? ? x ? 0, 2 ?1 2 ?1
x

∵ 2 x ? 0 ,∴ ?x ? 1 ? 1 ,∴ ? ?
∴? ? 1 ? 1 ?1. 2 ?1
x

∴ 函数的值域为 (0, . 1)
求y?

x ?1 的值域. x?2

x?2?3 3 ? 1? ? 1 ,可得值域 ?y y ? 1? x?2 x?2 ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为 小结:已知分式函数 y ? cx ? d
解: (利用部分分式法)由 y ?

? a? ?y y ? ? ; c? ?
ad b? a c (ad ? bc) , 如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ,采用部分分式法将原函数化为 y ? ? c cx ? d
用复合函数法来求值域。 (8)、倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况

y?
例 1、求函数

x?2 x ? 3 的值域.

x?2 x?3 x ? 2 ? 0时, 1 x ? 2 ?1 ? ? x?2? y x?2 y? x ? 2 ? 0时,y =0 ?0 ? y ? 1 2

1 x?2

?2?0? y?

1 2

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 【例题综合分析】 例 1、求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ; (7) y ?

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 ( x ? ) ; (9) y ? ; (8) y ? 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

解: (1)法一:公式法(略) 法二: (配方法)? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2 2

1 6

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2

23 , ?? ) . 12

【拓展】求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域. 解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增,
2

∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 . ∴函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] .
2 2 (2)求复合函数的值域:设 ? ? ? x ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ?

?.

又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,∴ 0 ? ? ? 4 ,故
2 2

? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] . (3) (法一)反函数法: y ?
3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ?3 x?2

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} . x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵

7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} . x?2
2

(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 (??,5] . 说明:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域,变形: y ? ax 2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d (5)三角换元法:∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ? ∴ 2 sin(? ?

2 sin(? ? ) 4

?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [?1, 2] .
??2 x ? 3 ? ?2 x ? 3 ? ( x ? ?4) (?4 ? x ? 1) ,∴ y ( x ? 1)

(6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5

? 5,

∴函数值域为 [5, ??) . (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R .
2

由y?

2 x2 ? x ? 2 2 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 x2 ? x ? 1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, 2 2 ∴ ? ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 ,

∴原函数的值域为 [1,5] .

1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2

1 1 1 1 ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2
2 2

1

1

1 1? 2 1 ? 2 ,当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 2 x?1 2 2

时等号成立.∴ y ?

2?

1 1 ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) . 2 2

(9) (法一)方程法(函数有界性) :原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,
2 ∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1? y
2

,sin ? ?

y 1? y2

) ,

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2
4 3

?[?1,1] ,∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y 2 ,∴ 3 y 2 ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ?

4 , 3

∴原函数的值域为 [0, ] . (法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点的连线的斜率的范围,解略. 例 2、若关于 x 的方程 (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围. (综合) 解:原方程可化为 a ? (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 , 令t ? 2
?| x ?3|

,则 0 ? t ? 1 , a ? f (t ) ? (t ? 2)2 ? 3 ,又∵ a ? f (t ) 在区间 (0,1] 上是减函数,

∴ f (1) ? f (t ) ? f (0) ,即 ?2 ? f (t ) ? 1 , 故实数 a 的取值范围为: ?2 ? a ? 1 .

例 3、 求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。 (换元法、不等式法)

2 解:令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

y?
(1)当 t ? 0 时,

t 1 1 ? ? 1 t ?1 t ? 1 2 0? y? t 2 ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,所以
2

(2)当 t=0 时,y=0。

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?
注:先换元,后用不等式法

【拓展练习】 (共 11 题,附答案) 一、选择题 1、下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是 A. y ?

1 5 ?1
?x

B. y ? 1? 2 x

C. y ?

1 ( )x ?1 2

D. y ? ( )

1 3

1? x

2、已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? a ( a 是常数) ,在 ? ?2, 2? 上有最大值 3,那么在 ? ?2, 2? 上的最小值是 A. ?5 B. ?11 C. ?29 D. ?37

3、已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 A、[ 1,+∞) B、[0,2] 则 a= C、 (-∞,2] D、[1,2] 4、 (04 年天津卷.文 6 理 5)若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,

1 1 D. 4 2 x 5、 (04 年湖北卷.理 7)函数 f ( x) ? a ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为 1 1 (A) (B) (C)2 (D)4 4 2 y?2 x y 6、若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 的最小值是__________ ? 的最大值是______________ x ?1 3 4
A.

2 4

B.

2 2

C.

7、已知函数 y ? lg(ax ? 2x ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_____________
2

8、下列函数的值域分别为: (1) (2) (1) y ?

(3)
2

(4) (3) y ? 3x ? x3

. (4) y ?

e e

x x

?1 ?1

(2) y ? 0.25x

?2 x

x2 ? 5 x2 ? 4

9、已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为 [1,3] ,求实数 b, c 的值。 x2 ?1

2 10、 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件:f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根, 求 ⑴

f (x) 的解析式;⑵ 是否存在实数 m, n(m ? n) ,使得 f (x) 的定义域为 [m, n] ,值域为 [3m,3n] 。

11、已知函数 f ( x) ? 当a ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) x

(1)

1 时,求函数 f (x) 的最小值 ; 2

(2)

若对任意 x ? [1,??) , f (x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

答案:同步练习 g3.1011 函数的最值与值域 1—5、DDDAB 6、

3 5 ; 4 12

7、[0,1]

8(1)(-1,1)

(2) ? 0, 4?

(3)R (4) ? , ?? ? ?2 ?

?5

?

9、 b ? ?2, c ? 2

10(1) f ( x ) ? ?

1 2 x ? x (2) m ? ?4, n ? 0 2

9(1)

7 2

(3) a ? ?3

1、函数 y ?

2x 的值域为 (0,1) . (分离常数法) 2x ? 1

2、若函数 f ( x) ? loga x 在 [2, 4] 上的最大值与最小值之差为 2,则 a ? 【拓展练习】(????) 一、选择题 1、函数 y=x + A.(-∞,- C.[
2

2 (函数单调性法) 或 2. 2

1 1 (x≤- )的值域是( 2 x

)(函数单调性法)

7 ] 4

33 2 ,+∞ ) 2

7 ,+∞ ) 4 3 D.(-∞,- 3 2 ] 2
B.[- )(换元法) (配方法) B.(-∞,-1 ] D.[1,+∞ )

2、函数 y=x+ 1? 2 x 的值域是( A.(-∞,1 ] C.R

1、函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( A.

x

)(????)

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

2、函数 y=log2x+logx(2x)的值域是( ) (????) A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 2 3、已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x +3x+2.若当 x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最 小值为( ) A.

9 4

B.2

C.

3 4

D.

1 4

4、把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是

( A.

)

3 3 2 cm 2

B.4 cm

2

C. 3 2 cm
2

2

D. 2 3 cm

2

5、在区间[1.5,3]上,函数 f(x)=x +bx+c 与函数 g ( x ) ? x ? 在区间[1.5,3]上的最大值为( ) A.8 B.6 C.5 2 2 2 6、若方程 x +ax+b=0 有不小于 2 的实根,则 a +b 的最小值为( A.3 7、函数 f ( x) ? A.190
19

1 同时取到相同的最小值,则函数 f(x) x ?1
D.4 ) D.

B.

16 5
)

C.

17 5

18 5

? | x ? n | 的最小值为(
n ?1

B.171

C.90

D.45

8、设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 A. 2
2 2

1 ,则 a 等于( 2
D.4

)

B.2 )

C. 2 2

9、设 a、b∈R,a +2b =6,则 a+b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2
)

10、若动点(x,y)在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2+2y 的最大值为( 4 b

?b 2 ? ? 4,0 ? b ? 4 A. ? 4 ?2b, b ? 4 ?
11、设 a,b∈R,记 max{a,b}= ?

?b 2 ? ? 4,0 ? b ? 2 B. ? 4 ?2b, b ? 2 ?

b2 ?4 C. 4

D.2b

?a, a ? b, 函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________. ?b, a ? b.
+

12、规定记号“Δ ”表示一种运算,即 a?b ? ab ? a ? b ,a、b∈R .若 1Δ k=3,则函数 f(x)=kΔ x 的值 域是__________. 2 2 13、已知函数 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为___________. 14、若变量 x 和 y 满足条件 ?

? x ? y ? 3 ? 0, y 则 z=2x+y 的最小值为_______; 的取值范围是_________. x ? x ? 2 y ? 0,

15、求下列函数的值域:(??) 2 (1)y=x -4x+6,x∈[1,5); (2) y ?

5x ? 1 ; 4x ? 2

(3) y ? 2x ?

x ?1 .

16、(2009 山东烟台高三模块检测,20)设函数 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx (a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y) 3 2

处的切线的斜率记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; 2 2 (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a +b 的最小值.

【答案】 x x 1、 解析:f(x)=a +loga(x+1)是单调递增(减)函数 〔原因是 y=a 与 y=loga(x+1)单调性相同〕,且在 [0,1] 0 上的最值分别在两端点处取得,最值之和为 f(0)+f(1)=a +loga1+a+loga2=a, ∴loga2+1=0.∴ a ?

1 . 答案:B 2

2、解析:y=log2x+logx(2x)= log2 x ?

1 ? log2 x 1 ? log2 x ? ? 1. log2 x log2 x

∵ | log2 x ?

1 1 |?| log2 x | ? ? 2, log2 x | log2 x |

∴ log2 x ?

1 ? 1 ∈(-∞,-1]∪[3,+∞).故选 D. log2 x

3、解析:设 x>0,则-x<0, 2 2 ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x) +3(-x)+2]=-x +3x-2.

3 1 时 f(x)max= ,当 x=3 时 f(x)min=-2. 2 4 1 9 ∴m≥ 且 n≤-2.故 m-n≥ . 答案:A 4 4
∴在[1,3]上,当 x ? 4、 解析:设其中一段长为 3x,则另一段为 12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为 x,4-x,它们的面积分别 为

3 2 3 3 2 3 (4 ? x) 2 ,则它们的面积之和为 S ? x ? (4 ? x) 2 x , 4 4 4 4 3 3 (2 x 2 ? 8 x ? 16) ? [(x ? 2) 2 ? 4] ,可见当 x=2 时,两个正三角形面积之和的最小值为 2 3 cm2. 4 2

?

答案:D 5、解析: g ( x) ? x ? 1 ?
2

1 1 ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 x=2 时,g(x)min=3, x ?1 x ?1

∴f(x)=(x-2) +3. ∴在区间[1.5,3]上,f(x)max=f(3)=4. 故选 D. 2 2 2 2 6、解析:将方程 x +ax+b=0 看作以(a,b)为动点的直线 l:xa+b+x =0 的方程,则 a +b 的几何意义为 l 上的 2 2 2 点(a,b)到原点 O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离 d 的最小性知 a +b ≥d =

(

0 ? 0 ? x2 x2 ?1

)2 ?

x4 1 ? ( x 2 ? 1) ? 2 ? 2 (x≥2), 2 x ?1 x ?1

令 u=x +1,易知 f (u ) ? u ?
2

1 16 ? 2 (u≥5)在[5,+∞)上单调递增,则 f(u)≥f(5)= , u 5

∴a +b 的最小值为

2

2

16 .故选 B. 5

7、解析:f(x)=|x-1|+|x-2|+?+|x-9|+|x-10|+|x-11|+?+|x-18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当 a·b≤0 时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|=18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|=16,? |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|=2, |x-10|≥0. 上面各式当 x=10 时同时取等号,

10 ? (18 ? 0) ? 90 . 答案:C 2 1 1 8、解:由 a>1 知 f(x)为增函数,所以 loga2a-logaa= ,即 loga2= ,解得 a=4.所以选 D. 2 2
∴f(x)最小值为 18+16+?+2+0= 9、解析:∵

a2 b2 ? ? 1 ,故令 a ? 6 cos? , b ? 3 sin ? , 6 3

∴ a ? b ? 6 cos? ? 3 sin ? ? 3sin(? ? ? ) . ∴a+b 的最小值为-3. 答案:C 2 2 2 10、解析:令 x=2cosθ ,y=bsinθ ,则 x +2y=4cos θ +2bsinθ =-4sin θ +2bsinθ +4= -4( sin ? ?
2

b 2 b b b b2 b2 2 ) +4+ ;当 <1 即 0<b<4 时,x +2y 取最大值 4 ? ,此时 sin ? ? ;当 ? 1 即 b≥4 4 4 4 4 4 4

时,x +2y 的最大值为 2b,此时 sinθ =1.故选 A. 11、解析:如右图所示,函数 y=max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分,

∴max{|x+1|,|x-2|}的最小值为 12、解析:由题意 1?k ? ∴ f ( x) ?

3 3 . 答案: 2 2

k ? 1 ? k ? 3 ,解得 k=1,

x ?1? x . x ? 1 在[0,+∞)上递增,

而 f ( x) ? x ?

∴f(x)≥1. 答案:[1,+∞) 13、解析:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)] +f(x )的定义域为 ?
2 2

?1 ? x ? 9,
2 ?1 ? x ? 9.

解得 1≤x≤3,即定义域为[1,3]. ∴0≤log3x≤1. 2 2 又 y=[f(x)] +f(x ) 2 2 =(2+log3x) +2+log3x 2 =(log3x) +6log3x+6 2 =(log3x+3) -3, ∵0≤log3x≤1, ∴6≤y≤13. 故函数的值域为[6,13]. 答案:[6,13] 14、解析:如图作出可行域,易知将直线 DE:2x+y=0 平移至点 A(2,1)时目标函数 z=2x+y 取得最小值,

y 表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从 GH 绕原点逆时针方向转动到 x y 1 1 AB 位置,斜率变得越来越大,故-1=kGH< ≤kAB= . 答案:5 (-1, ] 2 2 x
即 zmin=2×2+1=5, 15、解:(1)y=x -4x+6=(x-2) +2, ∵x∈[1,5), ∴由图象知函数的值域为{y|2≤y<11}.
2 2

(2) y ?

5x ? 1 4x ? 2

5 5 (4 x ? 2) ? 1 ? 2 =4 4x ? 2 5 7 (4 x ? 2) ? 2 =4 4x ? 2


5 7 ? . 4 2(4 x ? 2)



7 ≠0, 2(4 x ? 2)
5 . 4 5 }. 4

∴y≠

∴函数的值域为{y∈R|y≠
2

(3)令 x ?1 ? t ,则 x=t +1(t≥0), ∴y=2(t +1)-t=2t -t+2=2( t ?
2 2

1 2 15 )+ . 4 8

∵t≥0, ∴y≥

15 . 8 15 ,+∞). 8
2

∴函数的值域是[

16、解:(1)根据导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x +ax-b, 2 由已知-2、4 是方程 x +ax-b=0 的两个实数, 由韦达定理, ?

?? 2 ? 4 ? ?a, ?? 2 ? 4 ? ?b,

∴?

?a ? ?2, 2 f(x)=x -2x-8. ?b ? 8,

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调减函数, 2 ∴在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x)=x +ax-b≤0, 2 即 f(x)=x +ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立, 这只需满足 ?

? f (?1) ? 0, ?a ? b ? 1, 即可,也即 ? ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9, ?a ? b ? 1, 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当 ?b ? 3a ? 9,

而 a +b 可视为平面区域 ?

2

2

?a ? ?2, 2 2 时,a +b 有最小值 13. ? b?3 ?
【拓展练习】 1、函数 y ?

x2 ?1 的值域是( x2 ?1

) (???) C. (-1,1] D. (-1,1) ) (????)

A.[-1,1] 2、若函数 A.3

B.[-1,1)

1 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 的定义域和值域都是 [1, b], (b ? 1) ,则 b 的值为( 2
B.4 C.5 D.6

3、已知定义在闭区间[0,a]上的函数 y=x -2x+3,若 y 的最大值是 3,最小值是 2,则 a 的取值范围 是 . (???) 2 5、函数 y=x -2x+a 在[0,3]上的最小值是 4,则 a= ;若最大值是 4,则 a= . 6、已知函数 y ? A.p ? Q

2

x?3 x 2 ? 9 的值域分别是集合 P、Q,则( ,y ? 2 x?4 x ? 7 x ? 12
B.P=Q C.P ? Q

) (???) (根判别法)

D.以上答案都不对 ) (???) (配方法) D.[- 2 , 2 ] )

7、函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ( x ?[0,4]) 的值域是( A.[0,2] 8、若函数 f ( x) ? A. [ 1 ,3]
3

B.[1,2]

C.[-2,2]

3x ? 1 的值域是 { y | y ? 0} ? { y | y ? 4}, 则f ( x) 的定义域是( x ?1
B. [ 1 ,1) ? (1,3]
3

C. (?? , 1 ]或[3,?? )
3

D.[3,+∞ )

9、求下列函数的值域: ①y?

3x ? 5 ( x ? 1) 5x ? 3

②y=|x+5|+|x-6| ⑤y?

③ y ? 4 ? ? x2 ? x ? 2

④ y ? x ? 1? 2 x

x x ? 2x ? 4
2

10、设函数 f ( x ) ? x ? x ?
2

1 . 4

(Ⅰ)若定义域限制为[0,3],求 f (x ) 的值域; (Ⅱ)若定义域限制为 [a, a ? 1] 时, f (x ) 的值域为 [? 11、若函数 f ( x) ?

1 1 , ] ,求 a 的值. 2 16

x 2 ? ax ? 2 的值域为[-2,2],求 a 的值. x2 ? x ?1

一、选择题 x 1.若函数 y=2 的定义域是 P={1,2,3},则该函数的值域是 A.{2,4,6} B.{2,4,8} C.{1,2,log32} D.{1,2,log23} 2.定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+1)的值域为 A.[a,b] B.[a+1,b+1] C.[a-1,b-1] D.无法确定 3.函数 y=

(

)

(

)

x (x>0)的值域是 x2+x+1

(

)

1 B.(0, ) 3 1 1 C.(0, ] D.[ ,+∞) 3 3 2 4.函数 y=x -2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] A.(0,+∞)

)

1 1 5.若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ) 2 f(x) 1 10 A.[ ,3] B.[2, ] 2 3 5 10 10 C.[ , ] D.[3, ] 2 3 3 x 6.(2009·海南/宁夏高考)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10 -x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2x-5 7.函数 y= 的值域是{y|y≤0 或 y≥4},则此函数的定义域为__________. x-3 3 4 8.已知 f(x)的值域是[ , ],g(x)=f(x)+ 1-2f(x),则 y=g(x)的值域是__________. 8 9 9.函数 f(x)= x -2x+2 x -5x+4的最小值为__________. 10.(2009·泉州质检)在实数的运算法则中,我们补充定义一种新运算“?”如下:当 a≥b 时,a?b=a; 2 当 a<b 时,a?b=b ;则函数 f(x)=(1?x)·x-(2?x),(x∈[-2,2])的最大值是__________. 【答案】 x x x 1、解析:由题意得,当 x=1 时,2 =2,当 x=2 时,2 =4,当 x=3 时,2 =8,即函数的值域为{2,4,8}, 故应选 B. 答案:B 2、解析:∵函数 y=f(x+1)的图象是由函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到的,其值域不改变, ∴其值域仍为 [a,b],故应选 A. 答案:A x x 1 1 1 1 3、 解析: y= 2 由 (x>0)得 0<y= 2 = ≤ = , 因此该函数的值域是(0, ], x +x+1 x +x+1 1 3 3 1 x+ +1 2 x· +1 x
2 2

x

选 C. 4、解析:x=1 时,y 取最小值 2;令 y=3,得 x=0 或 x=2.故 1≤m≤2. 答案:D 1 1 5、解析:令 t=f(x),则 t∈[ ,3],F(t)=t+ ,根据其图象可 2 t 当 t=1 时,F(x)min=F(t)min=F(1)=2; 10 当 t=3 时,F(x)max=F(t)max=F(3)= , 3 10 故其值域为[2, ]. 答案:B 3 x 6、解析:令 2 =x+2? x1<0(舍)或 x2=2, x x 令 2 =10-x 即 2 +x=10,则 2<x<3. 则可知 f(x)的大致图象如图 2 所示. 故 f(x)≤6,即选 C. 答案:C 2x-5 1 7、解析:y= =2+ , x-3 x-3 1 1 即 ≤-2 或 ≥2, x-3 x-3 1 5 由 ≤-2? ≤x<3, x-3 2 1 7 5 7 由 ≥2? 3<x≤ . 答案:[ ,3)∪(3, ] x-3 2 2 2

知:

3 4 3 8 8、解析:∵f(x)∈[ , ],则 2f(x)∈[ , ], 8 9 4 9 1 1 1-2f(x)∈[ , ]. 9 4 1 1 令 t= 1-2f(x)∈[ , ], 3 2 2 2 1-t 1-t 则 f(x)= ,g(x)= +t, 2 2 2 -t +2t+1 即 g(x)= ,对称轴 t=1, 2 1 1 7 7 7 7 g(x)在 t∈[ , ]上单调递增,g(x)∈[ , ].答案:[ , ] 3 2 9 8 9 8
?x -2x≥0 ? 9、解析:由? 2 ? ?x -5x+4≥0
2

??

?x≥2或x≤0, ? ? ?x≥4或x≤1,

∴x≥4 或 x≤0. 又 x∈[4, +∞)时, (x)单调递增? f(x)≥f(4)=1+2 2; x∈(-∞, f 而 0]时, (x)单调递减? f(x)≥f(0) f =0+4=4. 故最小值为 1+2 2. 答案:1+2 2 10、解析:

【拓展练习】 一、选择题 2 1.函数 y=x -2x 的定 义域为{ 0,1,2,3},那么其值域为 ( A. {-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 2 2 2.若函数 f(x)=(a -2a-3)x +(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是( A.a=-1 或 a=3 B.a=-1 C.a=3 D.a 不存 在 3.已知函数 f(x)=lg(4-x)的定义域为 M,g(x)= 0.5 -4的定义域为 N,则 M∩N=( A.M B.N C.{x|2≤x<4} D.{x|-2≤x<4} 2 -x -3x+4 4.(2009·江西高考)函数 y= 的定义域为 (
x

)

)

) )

x

A.[-4,1]

B.[-4,0) C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1] 1 1 5.若函数 f(x)的值域为[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是 ( ) 2 f(x) 1 10 5 10 10 A.[ ,3] B.[2, ] C.[ , ] D.[3, ] 2 3 2 2 3 6.(2010·南通模拟)若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是( A.[-5,-1] B.[-2,0] C.[-6,-2] D.[1,3] 二、填空题 ln(2+x-x ) 7.函数 f(x)= 的定义域为 |x|-x 8.函数的值域:y= -x -6x-5为
2 2

)

. .

4 9.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b) |x|+2 共有 个. 三、解答题 10.求下列关于 x 的函数的定义域和值域: (1)y= 1-x- x; 2 (2)y=log2(-x +2x); (3)

【答案】 2 1、解析:把 x=0,1,2,3 分别代入 y=x -2x, 即 y=0,-1,3. 答案:A

? a 2 ? 2a ? 3 ? 0 2、解析:依题意应有 ? , 解得a ? ?1. 答案: B ?a ? 3 ? 0
3、解析:M={x|4-x>0}={x|x<4}, N={x|0.5x-4≥0}={x|x≤-2}, 则 M∩N=N. 答案:B 2 -x -3x+4 4、解析:要使 y= 有意义,

x

只要 ?

? ? x ? 3 x ? 4 ≥ 0,
2

?x ? 0

所以所求定义域为[-4,0)∪(0,1]. 答案:D 2 1 1 1 1 t -1 5、解析:令 f(x)=t ,t∈[ ,3],问题转化为求函数 y=t+ 在[ ,3]的值域.又 y′=1- 2= 2 ,当 2 t 2 t t 1 1 1 t∈[ ,1],y′≤0,y=t+ 为减函数, 在[1,3],y′≥0,y=t+ 在[1,3]上为增函数,故 t=1 时 ymin 2 t t 10 =2,t=3 时 y= 为最大. 3 1 1 10 ∴y=t+ ,t∈[ ,3]的值域为[2, ]. 答案:B t 2 3 6、解析:∵1≤f(x)≤3,∴1≤f(x+3)≤3, ∴-6≤-2f(x+3)≤-2,∴-5≤F(x)≤-1. 答案:A 7、解析:由 ?

? 2 ? x ? x 2 ? 0, ? ?1 ? x ? 2, ? 解得 ? ? x ? 0, ? x ? x ? 0, ?

即-1<x<0.状元源:(-1,0) 2 2 8、解析:设 μ =-x -6x-5(μ ≥0),则原 函数可化为 y= μ .又∵μ =-x -6x-5= 2 -(x+3) +4≤4, ∴0≤μ ≤4,故 μ ∈[0,2], 2 ∴y= -x -6x-5的值域为[0,2]. 答案:[0,2] 4 4 9、解析:由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2 得 0≤|x|≤2,满足整数数对的有(-2,0), |x|+2 |x|+2 (-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个. 答案:5

10、解: (1)要使函数有意义,则 ?

?1 ? x ≥0, ∴0 ≤ x ≤ 1 ? x ≥ 0,

函数的定义域为[0,1].[来源:学科网] ∵函数 y= 1-x- x为减函数, ∴函数的值域为[-1,1]. 2 (2)要使 函数有意义,则-x +2x>0,∴0<x<2. ∴函数的定义域为(0,2). 2 又∵当 x∈(0,2)时,-x +2x∈(0,1], 2 ∴log2(-x +2x)∈(-∞,0]. 即函数的值域为(-∞,0]. (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数值域为{2,3,4,5,6,7}.


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