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2014世纪金榜课时提升作业(三十九) 第六章 第四节


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课时提升作业(三十九)
一、填空题 1.若 x,y∈(0,+∞),且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则实数 a 的最小值为 2.(2013·扬州模拟)当 x ? 时,x ? 3.当 x2-2x<8

时,函数 y ?
3 2 8 ? a 恒成立,则 a 的取值范围为 2x ? 3

. .

x2 ? x ? 5 的最小值是 x?2

. .

4.已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是 5.已知 x>0,y>0,且 ? ? 1 ,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 是
????

2 x

1 y

.
??? ? ??? ?

? 2), OB ? ? a, ?1? , OC ? ? ?b, 0 ? , a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线, 6.设 OA ? (1,

则 ? 的最小值是

1 a

2 b

.
1 y 1 z 1 y 1 z

7.(2013· 宿迁模拟)已知正实数 x,y,z 满足 2x(x ? ? ) ? yz, 则 (x ? )(x ? ) 的最小 值为 .
1 的最小值为 ab

8.若 a>0,b>0,且 a+b=1,则 ab ?

.
1 a 1 b

9.(2012·苏州模拟)设 a>0,b>0,若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 ? 的最小值 为 .

10.某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器,假设这台仪器从启用的第一天起连 续使用,第 n 天的维修保养费为 少,则一共使用 天.
-1-

n ? 49 (n ? N* ) 元,若使用这台仪器的日平均费用最 10

11.(2013·徐州模拟)若函数 f(x)=mx-1+1(m≠0 且 m≠1)恒过定点 A,而点 A 恰好 在直线 2ax+by-2=0 上(其中 a>0,b>0),则式子 ? 的最小值为 12.(能力挑战题)在实数集 R 中定义一种运算“*”,具有性质: ①对任意 a,b∈R,a*b=b*a; ②对任意 a∈R,a*1=a; ③对任意 a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c, 则函数 f(x)= x * (x>0)的最小值为 二、解答题 13.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购 入 x 张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管 费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去 运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x). (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 14.(能力挑战题)已知函数 f(x)=9x-m×3x+m+1,当 x∈(0,+∞)时,f(x)>0 恒成立, 求 m 的取值范围.
1 x
1 a 4 b

.

.

-2-

答案解析
1.【解析】由
m?n m2 ? n 2
所以

m2 ? n 2 m ? n ? , 得 2 2

? 2, 当且仅当 m=n 时取等号,

x? y x?y

? 2,即a ? 2.

答案: 2 2.【解析】? x ? ,? 2x ? 3 ? 0.
令f ? x ? ? x ? 8 1 8 3 ? ? 2x ? 3 ? ? ? 2x ? 3 2 2x ? 3 2 1 8 3 ?? [ ? 3 ? 2x ? ? ] ? 2 3 ? 2x 2

3 2

1 8 3 ? ? 3 ? 2x ?? 2 3 ? 2x 2 3 ? ?2 ? 4 ? 2 3 5 ? ?4 ? ? ? , 2 2 5 ?a ? ? . 2 5 答案:a≥ ? 2 ? ?2

3.【解析】由 x2-2x<8 得 x2-2x-8<0, 即(x-4)(x+2)<0, 得-2<x<4,?x+2>0,
x 2 ? x ? 5 ? x ? 2? ? 5 ? x ? 2? ? 1 而y ? ? x?2 x?2 1 ? ? x ? 2? ? ? 5 ? 2 ? 5 ? ?3. x?2
2

等号当且仅当 x=-1 时取得. 答案:-3
-3-

4.【解析】由 x>0,y>0,xy=x+2y≥ 2 2xy, 得 xy≥8,等号当且仅当 x=2y 时取得. 又 m-2≤xy 恒成立, 故只需 m-2≤8,即 m≤10, ?m 的最大值为 10. 答案:10 5.【解析】≧x>0,y>0,且错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=1, ?x+2y=(x+2y)( +错误!未找到引用源。)=4+ ≥4?2
2 x 4y +错误!未找到引用源。 x
1 y

4y x 4y x ? ? 8, 当且仅当 ? , 即 4y2=x2,x=2y 时取等号.又错误!未找到引用 x y x y

源。+错误!未找到引用源。=1,此时 x=4,y=2. ?(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m 成立,即 8>m2+2m, 解得-4<m<2. 答案:-4<m<2 6.【解析】 AB ? OB ? OA ? ? a ? 1,1? ,
??? ? ??? ? ???? AC ? OC ? OA ? ? ? b ? 1, 2 ? . ??? ? ??? ? ? AB与AC共线, ? 2 ? a ? 1? ? b ? 1 ? 0,即2a ? b ? 1. ? a ? 0, b ? 0, 1 2 1 2 ? ? ? ( ? )(2a ? b) a b a b b 4a ? 4? ? ? 4 ? 4 ? 8, a b
??? ? ??? ? ????

当且仅当 ? 答案:8

b a

4a , 即b ? 2a 时等号成立. b

-4-

7.【解析】? 2x(x ? ? ) ? yz,
2x 2x ? ? yz ? 2x 2 , y z x x yz ? ? ? ? x2, y z 2 1 1 x x 1 ? (x ? )(x ? ) ? x 2 ? ? ? y z z y yz yz 1 ? x2 ? ? x2 ? 2 yz ? ? yz 1 1 ? ?2 ? 2, 2 yz 2

1 y

1 z

等号当且仅当 yz ? 2 时取得. 答案: 2 8.【思路点拨】由已知利用基本不等式得 ab 的取值范围而后换元利用函数的单 调性求解. 【解析】由 a+b=1,a>0,b>0 得
1 2 ab ? a ? b ? 1,? ab ? , 2 1 ? ab ? . 4 1 令ab ? t, 则0 ? t ? , 4
1 1 1 1 1 1 由函数的图象可知 t ? 在(0, ] 上单调递减,故当 t ? 时, t ? 有最小 ?t? , ab t t 4 4 t 1 17 值为 ? 4 ? . 4 4 17 答案: 4

则 ab ?

9.【解析】≧3a·3b=3,?a+b=1,
1 1 1 1 b a ? ? ?a ? b? ( ? ) ? 2 ? ? a b a b a b ? 2?2 b a ? ? 4, a b
-5-

当且仅当 ? , 即a ? b ? 时取等号. 答案:4 10.【解析】日平均费用为
1 32 000 ? [?1 ? 49 ? ? ? 2 ? 49 ? ??? ? n ? 49 ?] ? 10 y? n 32 000 n 99 32 000 n 99 99 ? ? ? ?2 ? ? ? 80 ? , n 20 20 n 20 20 20 32 000 n 当且仅当 ? , 即n ? 800时取等号. n 20

b a

a b

1 2

答案:800 11.【解析】函数 f(x)=mx-1+1(m≠0 且 m≠1)恒过定点 A(1,2),而点 A 恰好在直线 2ax+by-2=0 上, ?2a+2b-2=0,即 a+b=1,
1 4 a ? b 4a ? 4b ? ? ? ? a b a b b 4a ? 5? ? ? 5 ? 2 4 ? 9, a b

当且仅当 ? 答案:9

b a

4a 时取等号. b

12.【思路点拨】根据题目给出的新定义,写出函数 f(x)= x * 的解析式,然后运 用基本不等式求最值. 【解析】根据定义的运算性质得: f(x)=x* =(x* )*1=1*(x·错误!未找到引用源。)+(x*1)+(错误!未找到引用 源。*1)-2×1=x+错误!未找到引用源。-1, 因为 x>0,由基本不等式得 f(x)=x+错误!未找到引用源。-1
1 x 1 x

1 x

-6-

≥ 2 x ? ? 1 ? 1(当且仅当 x=1 时取等号), 即 f(x)的最小值为 1. 答案:1 13.【解析】(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张,则共需分错误!未找到引 用源。批,每批价值为 20x 元,由题意 f(x)=错误!未找到引用源。×4+k·20x. 由当 x=4 时,f(4)=52 得 k ?
16 1 ? , 80 5

1 x

?f(x)=错误!未找到引用源。+4x(0<x≤36,x∈N*). (2)由(1)知 f(x)=错误!未找到引用源。+4x(0<x≤36,x∈N*),
?f ? x ? ? 2 144 ? 4x ? 48, x

当且仅当错误!未找到引用源。=4x,即 x=6 时,等号成立. 故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. 14.【思路点拨】令 t=3x,转化为关于 t 的二次函数的图象恒在 t 轴的上方处理. 或分离参数 m,利用最值处理恒成立问题. 【解析】方法一:令 t=3x,则问题转化为函数 f(t)=t2-mt+m+1 对 t∈(1,+≦)的图 象恒在 t 轴的上方,
? ? ? 0, ?m 2 即Δ=(-m) -4(m+1)<0 或 ? 错误!未找到引用源。 ? ? 1, ?2 ? ?1 ? m ? 1 ? m ? 0,

解得 m ? 2 ? 2 2. 方法二:令 t=3x,问题转化为 m ? 即 m 比函数 y ?
t2 ?1 , t ? (1, ??), t ?1

t2 ?1 , t∈(1,+≦)的最小值还小, t ?1
-7-

又y?

t2 ?1 2 ? t ?1? ?2?2 t ?1 t ?1

? t ? 1??

2 ?2 t ?1

? 2 ? 2 2,所以m ? 2 ? 2 2.

【方法技巧】不等式恒成立的三种解法 (1)转化为求函数的最值.若函数 f(x)在区间 I 上有最大值和最小值. 则不等式 f(x)>a 在区间 I 上恒成立?f(x)min>a.不等式 f(x)≥a 在区间 I 上恒成 立?f(x)min≥a. 不等式 f(x)<a 在区间 I 上恒成立?f(x)max<a.不等式 f(x)≤a 在区间 I 上恒成立 ?f(x)max≤a. (2)分离变量 ——在同一个等式或不等式中,将主元和辅元分离(常用的运算技 巧). (3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题,都可考虑该法.

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-8-


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