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辽宁省丹东四校协作体2012届高三下学期第一次联合模拟考试数学(理)试题


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学年度( 2011~2012 学年度(下)第一次联合模拟考试 高三数学(供理科考生使用) 高三数学(供理科考生使用)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)题~第 (24)题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2 至 5 页.考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1 (1)已知集合 M = {?1,1} , N = {x | < 2 x +1 < 4, x ∈ Z} ,则 M I N = 2 (A) {?1,1} (B) {?1} (C) {1} (D) ?

4 3 π 2π , ? < α < 0, 则 cos(α + ) 等于 3 5 2 3 4 3 4 3 (A) ? (B) ? (C) (D) 5 5 5 5 (3)设 a, b, c 是空间三条直线, α , β 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是 (A)当 c ⊥ α 时,若 c ⊥ β ,则 α // β (B)当 b ? α 时,若 b ⊥ β ,则 α ⊥ β (C)当 b ? α , a ? α 且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b ⊥ c ,则 a ⊥ b (D)当 b ? α 且 c ? α 时,若 c // α ,则 b // c y2 x2 (4)设双曲线 2 ? 2 = 1 ( a > 0, b > 0) 的渐近线与抛物线 y = x 2 + 1 相切,则该双曲线 a b
(2)已知 sin(α +

π

) + sin α = ?

的离心率等于 (A)

5 2

(B) 5

(C) 6

(D)

6 2

(5)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意 x ∈ R 都有 f ( x + 4) = f ( x) + 2 f (2) ,若函 数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x = 1 对称,且 f (1) = 2 ,则 f (2011) 等于 (C)-2 (D)-3 uuu uuu uuu r r r r uuu uuur r uuu r (6)已知 ?ABC 平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = 0 ,若实数 λ 满足: AB + AC = λ AP , 则 λ 的值为 (A)6 (B)3 (C)2 (D) (A)2 (B)3

3 2

(7)定义在 R 上的函数 y = f ( x ) 满足 f ( + x ) = f ( ? x ) , ( x ? ) f ′( x ) > 0 ,任意的

5 2 x1 < x2 ,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 是 x1 + x2 < 5 的

5 2

5 2

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 . (8)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是(单位:m2)

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正视图 (A) 4 + 2 6 (B) 4 + 6

侧视图 (C) 4 + 2 2

俯视图 (D) 4 + 2

(9) 已知 ?ABC 中, A、 C 的对边分别是 a、 c, tan B = 角 B、 b、 且 则 tan B 等于 (A)

uuu uuu 1 r r 2? 3 , BC ? BA = , a2 + b2 + c2 2

3 2

(B) 3 ? 1

(C)2

(D) 2 ? 3

(10)关于 x 的不等式 ( x ? 1)2 > ax 2 有且只有三个整数解,则实数 a 的取值范围是

4 3 2 8 5 16 9 (B) ( ,3) (C) ( , ) (D) ( , ) (A) ( , ) 3 2 3 9 2 9 4 ° (11)从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点, 4π 若球的体积为 ,则 OP 两点之间的距离为 3 3 (A) 2 (B) 3 (C) (D)2 2
(12)已知集合 A = x ?1 ≤ x ≤ 0 , 集合 B = x ax + b ? 2 ? 1 < 0,0 ≤ a ≤ 2,1 ≤ b ≤ 3 ,则
x

{

}

{

}

A ∩ B ≠ φ 的概率为
(A)

1 4

(B)

3 4

(C)

1 16

(D)

15 16

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应的位置. (13)函数 f ( x) = sin x + cos x( x ∈ R ) 的图象按向量 (m,0) 平移后,得到函数 y = f ′( x) 的图 象,则 m 的值是_______; (14)给出下列四个命题: ① ?x ∈ R, e x ≥ ex ;
2 ② ?x0 ∈ (1, 2) ,使得 ( x0 ? 3 x0 + 2)e x0 + 3x0 ? 4 = 0 成立;

③在 ?ABC 中,若 tan A + tan B + tan C > 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形. ④已知长方体的长、宽、高分别为 a, b, c, 对角线长为 l ,则 l 3 > a 3 + b3 + c 3 ;

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其中正确命题的序号是_______;

(15)已知双曲线

x2 y2 ? = 1 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a 2 b2

曲线一个交点为 P ,且 ∠PF1 F2 =

π
,则双曲线的渐近线方程为_______;

6

?a, x = 1 ? (16) 函数 f ( x) = ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? (2a + 3) f ( x) + 3a = 0 有五个不同的 ?( 2 ) + 1, x ≠ 1 ? 实数解,则 a 的取值范围是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c, q= 2a , , ( 2b ? c , cos C ) 角 B、 b、 ( 1) p= 且 p // q .求:
(I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C + 1 的取值范围. 1 + tan C

(18) (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点. (I)求证:EF ⊥ 平面 PAD; (II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (III)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点,问当 AM 长度等于多少时,直线 MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于

15 ? 5 (19) (本小题满分 12 分)
已 知 各 项 都 是 正 数 的 等 比 数 列 {xn } , 满 足
a an an xn n = xn ++11 = xn ++22 (n ∈ N * ).

(I)证明数列 {

1 } 是等差数列; an

(II)若

12 1 1 = 1, = 15 ,当 m > 1 时, 不等式 an+1 + an+2 +L+ a2n > (log(m+1) x ? logm x +1) 对 a1 a8 35

n ≥ 2 的正整数恒成立,求 x 的取值范围. (20) (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2 a b 2 长为半径的圆与直线 x ? y + 2 = 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C :
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(II)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

OA + OB = t OP ( O 为坐标原点) ,当 PA ? PB <
(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ?

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

1 2 ax ? bx(a ≠ 0) . 2

(I) 若 b = 2 ,且 y = f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (II)若函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证 明: f '( x 0 ) < 0 . 请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答 、 、 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=1+tcosα, ?x=cosθ ? ? 已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ? ? ?y=tsinα, ?y=sinθ, π (I)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (II)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)∵ p // q ,∴ 2 a cos C = 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C = 2 sin B ? sin C ,

…………(2 分) …………(4 分)

又 sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C ,

1 1 ∴ sin C = cos A sin C ,Q sinC ≠ 0 ,∴ cos A = , 2 2 π 3 又Q 0 < A < π ∴ A = ;sinA= 3 2
(II)原式 =

…………(6 分)

? 2 cos 2C 2(cos 2 C ? sin 2 C ) +1 = 1? = 1 ? 2 cos 2 C + 2 sin C cos C , sin C 1 + tan C 1+ cos C
…………(8 分)

π …………(10 分) ), 4 2 π π 13 2 π ∵ 0 < C < π ,∴ ? < 2C ? < π ,∴ ? < sin( 2C ? ) ≤ 1 , 2 4 3 4 4 12
= sin 2C ? cos 2C = 2 sin(2C ?
) ≤ 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] . 4 (18) (本小题满分 12 分) 方法 1: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ⊥ AD , …………(2 分) ∴ AB ⊥ 平面 PAD, ∵E、F 为 PA、PB 的中点, ∴EF//AB,∴EF ⊥ 平面 PAD; …………(4 分) (II)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面PAD ⊥ 平面ABCD ,则 PO ⊥ 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, …………(6 分) ∵PA=PD = AD = 4 ,∴ OP = 2 3 , OD = OA = 2 ,
得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D (0,2,0), P(0,0,2 3 ) , ∴ ? 1 < 2 sin(2C ?

π

…………(12 分)

E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G (4,0,0) ,故 EF = ( 2,0,0), EG = ( 4,1,? 3 ) ,

?n ? EF = 0 ? ? ?2 x = 0 ,即? 设平面 EFG 的一个法向量为 n = ( x, y, z ), 则 ? , ?4 x + y ? 3 z = 0 ?n ? EG = 0, ? ?
取z = 1, 得n = (0, 3 ,1) , 平面 ABCD 的一个法向量为 n 1 = (0,0,1), 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是: n ? n1 1 | cos < n, n1 >= = ,锐二面角的大小是 60 o ; | n || n1 | 2
…………(7 分)

…………(8 分)

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(II)解: EF = ( 2,0,0), EG = ( 4,1,? 3 ) , 设平面 EFG 的一个法向量为 n = ( x, y, z ),

?n ? EF = 0 ?2 x = 0 ? ? ,即? 则? , 取z = 1, 得n = (0, 3 ,1) ,…………(7 分) ?4 x + y ? 3 z = 0 ?n ? EG = 0, ? ?
平面 ABCD 的一个法向量为 n 1 = (0,0,1), ……【以下同方法 1】 方法 3: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ⊥ AD , ∴ AB ⊥ 平面 PAD, …………(2 分) ∵E、F 为 PA、PB 的中点, …………(4 分) ∴EF//AB,∴EF ⊥ 平面 PAD; (II)解:∵ EF//HG,AB//HG,∴HG 是所二面角的棱, …………(6 分) ∵HG // EF,∴ HG ⊥ 平面 PAD, ∴DH ⊥ HG,EH ⊥ HG , ∴ ∠ EHA 是锐二面角的平面角,等于 60 o ; ………(8 分) (III)解:过 M 作 MK⊥平面 EFG 于 K,连结 KF, 则 ∠ KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, ………(10 分) 因为 AB//EF,故 AB/平面 EFG,故 AB/的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距 离,∵ HG ⊥ 平面 PAD,∴平面 EFGH ⊥ 平面 PBD 于 EH, ∴A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 3 ,即 MK = 3 ,

15 3 , FM = 5 ,在直角梯形 EFMA 中, AE = EF = 2 , = 5 FM ∴ AM = 1 或 AM = 3 ∵M 靠近 A,∴ AM = 1 …………(11 分) 15 ∴当 AM = 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 .…………(12 分) 5


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(II)由(Ⅰ)设 ?

?1? 1 1 1 , ? 的公差为 d ,知 = + (8 ? 1)d , d = 2 , an = an ? 2n ? 1 a8 a1 ?



f (n) = an +1 + an + 2 + L + a2 n ,则 f (n +1) = an+2 + an+3 +L+ a2n + a2n+1 + a2n+2 ,
1 1 1 1 + ? = >0. 4n + 1 4n + 3 2n + 1 (4n + 1)(4n + 3)(2n + 1)
…………(8 分)

f (n + 1) ? f (n) =

∴函数 f ( n ) 单调递增, 当 n ≥ 2 时, f ( n) min = f (2) = a3 + a4 = ∴ 12 > 12 (log m +1 x ? log m x + 1) ,即 log m+1 x ? log m x + 1 < 1 , 35 35

1 1 + . 5 7

…………(10 分)

log m +1 x < log m x ,

lg x lg x < , lg x[lg( m + 1) ? lg m ] > 0 . lg(m + 1) lg m
…………(12 分)

而 m > 1 ,∴ x 的取值范围是 (1, +∞ ) .

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(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y = k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y = k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 8k 2 ? 2 = 0 . 2 ? + y = 1. ?2

? = 64k 4 ? 4(2k 2 + 1)(8k 2 ? 2) > 0 , k 2 <
x1 + x2 = 8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 = . 1 + 2k 2 1 + 2k 2

1 2

.…………(6 分)

x1 + x2 8k 2 = ∵ OA + OB = t OP ,∴ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = t ( x, y ) , x = , t t (1 + 2k 2 )
y= y1 + y2 1 ?4k = [k ( x1 + x2 ) ? 4k ] = . t t t (1 + 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴ ∴ 16k 2 = t 2 (1 + 2k 2 ) ∵ PA ? PB <

(8k 2 ) 2 ( ?4 k ) 2 +2 2 =2, t 2 (1 + 2k 2 ) 2 t (1 + 2k 2 ) 2
…………(8 分)

2 5 2 5 20 2 2 2 ,∴ 1 + k x1 ? x2 < ,∴ (1 + k )[( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 ] < 3 3 9

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(21) (本小题满分 12 分) 解: (I)当 b = 2 时, f ( x ) = ln x ?

1 2 ax ? 2 x 2 1 ax 2 + 2 x ? 1 则 f '( x) = ? ax ? 2 = ? . x x
因为函数 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 f '( x ) <0 有解.

…………(2 分)

又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,若 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则需△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞) …………(5 分) , ,0<x1<x2. (II) 设点 A,B 的坐标分别是(x1, 0)(x2, 0) 则点 AB 的中点横坐标为 x0 =

x1 + x2 , 2

1 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ln x2 ? ln x1 ? a( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) 2 ?1 ? = ln x2 ? ln x1 ? ? a( x2 + x1 ) + b ? ( x2 ? x1 ) = 0 ?2 ? ?1 ? 则 ln x2 ? ln x1 = ? a( x2 + x1 ) + b ? ( x2 ? x1 ) ?2 ?
f '( x0 ) = 1 2 a 2 ln x2 ? ln x1 ? ax0 ? b = ? ( x2 + x1 ) ? b = ? x0 x1 + x2 2 x1 + x2 x2 ? x1 2(

…………(7 分)

x2 ? 1) x1 x 1 2( x2 ? x1 ) 1 = [ ? (ln x2 ? ln x1 )] = [ ? ln 2 ] x2 x2 ? x1 x1 + x2 x2 ? x1 1 + x1 x1
第 9 页

………… 分) 设 (9

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x2 ? 1) x2 x1 x 2(t ? 1) t = ,则 y = ? ln 2 = ? ln t , t > 1. x2 x1 x1 1+ t 1+ x1 2(
令 r (t ) =

4 1 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? =? . ? ln t , t > 1. 则 r ′(t ) = t (t + 1) 2 1+ t (t + 1)2 t

因为 t > 1 时, r ′(t ) < 0 ,所以 r (t ) 在 [1,+∞ )上单调递减. 故 r (t ) < r (1) = 0. 而

1 > 0 . 故 f '( x 0 ) < 0 x2 ? x1

…………(12 分)

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解: (I)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1. 3

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ).………(5 分) 2 2 ?x +y =1, (II)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 x= sin2α, 2 1 1 (α 为参数). P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= . 4 16 1 y=- sinαcosα, 2 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. …………(10 分) 4 4 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)由题设知: | x + 1 | + | x ? 2 |> 5 ,

? ? ?

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不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: ?x ≥ 2 ?1 ≤ x < 2 ?x < 1 ,或 ? ,或 ? , ? ?x + 1 + x ? 2 > 5 ?x + 1 ? x + 2 > 5 ?? x ? 1 ? x + 2 > 5 解得函数 f (x) 的定义域为 ( ?∞ ,?2) U (3,+∞ ) ; (II)不等式 f ( x) ≥ 1 即 | x + 1 | + | x ? 2 |> m + 2 , ∵ x ∈ R 时,恒有 | x + 1 | + | x ? 2 |≥| ( x + 1) ? ( x ? 2) |= 3 , 不等式 | x + 1 | + | x ? 2 |≥ m + 2 解集是 R , ∴ m + 2 ≤ 3 , m 的取值范围是 (?∞,1] .

…………(5 分)

…………(10 分)

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