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高中数学复习专题讲座(第31讲)概率与统计


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高中数学复习专

题系列讲座

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题目 高中数学复习专题讲座 概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一,尤其是新增的随机变量这部分内容 要 充分注意一些重要概念的实际意义,理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分 第一部分包括等可能事件 的概率、 互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率和独立 重复实验 第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例 1 有一容量为 50 的样本,数据的分组及各组的频率数如下 [10,15]4 [30,35 ) 9 [15,20 ) 5 [35,40 ) 8 [20,25 ) 10 [40,45 ) 3 [25,30 ) 11
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(1)列出样本的频率分布表(含累积频率); (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图 本题主要考查频率分布表,频率分布直方图和累积频率的 分布图的画法 知识依托 频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频 率分布图的画法 错解分析 解答本题时,计算容易出现失误,且要注意频率分布与累 积频率分布的区别 技巧与方法 本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据,计算得如下频率分布表
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数据段 [10,15 ) [15,20 ) [20,25 ) [25,30 ) [30,35 ) [35,40 ) [40,45 ) 总计

频数 4 5 10 11 9 8 3 50

频率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1
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累积频率 0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下

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频率 组距
0.044 0.040 0.036 0.032 0.020 0.016 0.012

y
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 数据 0.1

o
率是
1 3

10 15 20 25 30 35 40 45

o

10 152025 30 354045

x

例 2 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球, A 中摸出一个红球的概 从 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p.

(Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. (i)求恰好摸 5 次停止的概率; (ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? , 求随机变量 ? 的分布率及数 学期望 E ? . (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是
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2 5

,求 p 的值.
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命题意图 本题考查利用概率知识和期望的计算方法 知识依托 概率的计算及期望的概念的有关知识 错解分析 在本题中,随机变量的确定,稍有不慎,就将产生失误 技巧与方法 可借助 n 次独立重复试验概率公式计算概率
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1 8 ?1? ?2? (Ⅰ)(i) C 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 81 ?3? ?3?
2

2

2

(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3, ; 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn ? k ? ? C n p ? 1 ? p ?
k k n?k

,得

1? 32 ? 0 P ?? ? 0 ? ? C 5 ? ?1 ? ? ? ; 3? 243 ? 1? 80 ? P ?? ? 1? ? C 5 ? ? ? 1 ? ? ? 3 ? 3? 243
1

5

1

4

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1? 80 ?1? ? 2 P ?? ? 2 ? ? C 5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? 243 ?3? ? 1? 17 ?1? ? P ?? ? 3 ? ? C 5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? 243 ?3? ?
3 3 2

2

3

(或 P ? ? ? 3 ? ? 1 ?

32 ? 80 ? 2 243

?

17 243



随机变量 ? 的分布列是
?

0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
17 243

P
? 的数学期望是
E? ? 32 243 ?0?
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80 243

?1?

80 243

?2?

17 243

?3?

131
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81
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(Ⅱ)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球
1 m ? 2mp ? 3m 2 5
13
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由3

,得 p ?

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30

例 3 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2,当元 件 A、B、C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、 C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作 已知元件 A、B、C 正常工作 的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统 N1,N2 正常工作的概率 P1、P2
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(N1) (N2)
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A A
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B B C

C

解 记元件 A、B、C 正常工作的事件分别为 A、B、C, 由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90 (1)因为事件 A、B、C 是相互独立的,所以,系统 N1 正常工作的概率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648
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(2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)· [1-P( B ? C )]

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=P(A)· [1-P( B )P( C )] =0 80×[1-(1-0 90)(1-0 90)]=0 故系统 N2 正常工作的概率为 0 792 学生巩固练习
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792

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1

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甲射击命中目标的概率是
1
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1 2

,乙命中目标的概率是

1 3

,丙命中目标 )
D. 7 10

的概率是
A. 3 4

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现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为(
B. 2 3
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4 C. 4 5
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2

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已知随机变量ζ 的分布列为
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P(ζ =k)=
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1 3

,k=1,2,3,则 P(3ζ +5)等于
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A 6 B 9 C 3 D 4 3 1 盒中有 9 个正品和 3 个废品, 每次取 1 个产品, 取出后不再放回, 在取得正品前已取出的废品数ζ 的期望 Eζ =_________ 4 某班有 52 人,男女各半,男女各自平均分成两组,从这个班中选 出 4 人参加某项活动,这 4 人恰好来自不同组别的概率是_________ 5 甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.6, 计算 (1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率
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已知连续型随机变量ζ 的概率密度函数

?0 ? f(x)= ? x ? a ?0 ?

x ?1 1? x ? 2 x ? 2

(1)求常数 a 的值,并画出ζ 的概率密度曲线; (2)求 P(1<ζ < 7 率
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3 2

)

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设 P 在[0,5]上随机地取值,求方程 x2+px+

p 4

?

1 2

=0 有实根的概

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8 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0 2, 机器发生故障时全天 停止工作 若一周 5 个工作日里均无故障,可获利润 10 万元;发生一次故 障可获利润 5 万元, 只发生两次故障可获利润 0 万元, 发生三次或三次以上 故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少?
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参考答案: 1 解析 设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标 为事件 C,则目标被击中的事件可以表示为 A+B+C,即击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生
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? P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? [1 ? P ( A )] ? [1 ? P ( B )] ? [1 ? P ( C )] ? (1 ? 1 2 )( 1 ? 1 3 )(1 ? 1 4 )? 1 4
1 4 ? 3 4

.

故目标被击中的概率为 1-P( A · B · C )=1- 答案 2
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A
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Eξ =(1+2+3)·
14 3

1 3

=2,Eξ 2=(12+22+32)·
2
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1 3

=

14 3

∴Dξ =Eξ 2-(Eξ )2= ∴D(3ξ +5)=9Eξ =6 答案 A
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-22=

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3

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由条件知, 的取值为 0, 2, 并且有 P(ξ =0)= ξ 1, 3,

C9
1 C 12

1

?

3 4

,

P ( ? ? 1) ?

C 3C 9 2C
2 12

1

1

? 9 44

9 44

, P (? ? 2) ? 9 220

C3 ?C9
2 1

2C ? 3? 1

3 12

?

9 220

, P (? ? 3) ?

C 3C 9 2C
4 12

3

1

?

1 220

? E? ? 0 ?

3 4

? 1?

? 2?

? 0 .3

220

答案 4
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0.3
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因为每组人数为 13,因此,每组选 1 人有 C 1 种方法,所以 13
( C 13 ) C 52
4 1 4
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所求概率为 P=

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答案

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( C 13 ) C 52
4

1

4

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5 解 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A, “乙射击一次 击中目标”叫做事件 B 显然事件 A、B 相互独立,所以两人各射击一次都 击中目标的概率是 P(A·B)?=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36
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答 两人都击中目标的概率是 0.36 (2)同理,两人各射击一次,甲击中、乙未击中的概率是
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P(A· B )=P(A)·P( B )=0.6×(1-0.6)=0.6×0.4=0.24 甲未击中、乙击中的概率是 P( A ·B)=P( A )P(B)=0.24,显然, “甲击 中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生,即事件 A· B 与 A ·B 互斥,所以恰有一人击中目标的概率是 P(A· B )+P( A ·B)=0.24+0.24=0.48 答 其中恰有一人击中目标的概率是 0.48 (2) 两 人 各 射 击 一 次 , 至 少 有 一 人 击 中 目 标 的 概 率 P=P(A · B)+
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[P(A· B )+P( A )·B]=0.36+0.48=0.84 答 至少有一人击中目标的概率是 0.84 6 解 (1)因为ξ 所在区间上的概率总和为 1,
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所以 ∴a=

1 2 1 2

(1-a+2-a)·1=1,

y
3 2 1 1 2

概率密度曲线如图 (2)P(1<ξ < 7
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o
1 3 2 ? 3 9 2

1

2

x

3 2

)= ? ( ? 1) ?
2

1

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一元二次方程有实数根 ? Δ ≥0
P 4 ? 1 2

而Δ =P2-4(

)=P2-P-2=(P+1)(P-2)

解得 P≤-1 或 P≥2 故所求概率为 P= 8
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[ 0 . 5 ] ? {( ?? , ? 1] ? [ 2 , ?? )}的长度 [ 0 , 5 ]的长度

?

3 5

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以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数,则 X-B(5,0.2),

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k 于是 X 有概率分布 P(X=k)=C 5 0.2k0.85 k,k=0,1,2,3,4,5

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以 Y 表示一周内所获利润,则

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?10 若 X ? 0 ? 若X ?1 ?5 Y=g(X)= ? 若X ? 2 ?0 ?? 2 若 X ? 3 ?

Y 的概率分布为 P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328
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P(Y=5)=P(X=1)=C 15 0.2·0.84=0.410
2 P(Y=0)=P(X=2)=C 5 ·0.22·0.83=0.205

P(Y=-2)=P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.057 故一周内的期望利润为 EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205-2×0.057=5.216(万元)
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