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高二数学选修2-1第一章导学案


第一章 常用逻辑用语
§1.1 命题及四种命题

一、课前自主预习 1、什么是陈述句?什么是定理?什么是公理? 2、掌握命题、真命题及假命题的概念; 2、 四种命题的内在联系,能根据一个命题来构造它的逆命题、否命 题和逆否命题. . 复习 2: . 二、新课导学 ※ 学习探究 1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的,可以 的 做命题.其中 的语句叫

做真命题, 句叫做假命题 练习:下列语句中: (1)若直线 a // b ,则直线 a 和直线 b 无公共点; (2) 2 ? 4 ? 7 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ; (5)两个全等三角形的面积相等; (6) 3 能被 2 整除. 其中真命题有 ,假命题有 2.命题的数学形式: “若 p ,则 q ” ,命题中的 p 叫做命题的 . q 叫做命题的 ※ 典型例题 例 1:下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数 a 是素数,则 a 是奇数; (3)指数函数是增函数吗?

叫 的语



(4)若空间有两条直线不相交,则这两条直线平行; (5) (?2)2 ? 2 ; (6) x ? 15 . 命题有 ,真命题有 假命题有 . 例 2 指出下列命题中的条件 p 和结论 q : (1)若整数 a 能被 2 整除,则 a 是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分. 解: (1)条件 p : 结论 q : (2)条件 p : 结论 q : 变式:将下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并判断真假: (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等.

※ 动手试试 1.判断下列命题的真假: (1) 能被 6 整除的整数一定能被 3 整除; (2) 若一个四边形的四条边相等,则这个四边形是正方形; (3) 二次函数的图象是一条抛物线; (4) 两个内角等于 45? 的三角形是等腰直角三角形.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并判断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等; (2) 偶函数的图象关于 y 轴对称; (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.

小结:判断一个语句是不是命题注意两点: (1)是否是陈述句; (2) 是否可以判断真假. 3.四种命题的概念 (1)对两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一 个命题叫做 原命题为: “若 p ,则 q ” ,则逆命题为: “ ”. (2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论 的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题 叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原 命题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ” (3) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件 的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题 叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命 题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ” 练习:下列四个命题: (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 例 3 命题: “已知 a 、b 、c 、 d 是实数,若子 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ”. 写出逆命题、否命题、逆否命题.

变式:设原命题为“已知 a 、 b 是实数,若 a ? b 是无理数,则 a 、 b 都 是无理数” ,写出它的逆命题、否命题、逆否命题.

※ 动手试试 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假: (1)若一个整数的末位数是 0,则这个整数能被 5 整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (3)奇函数的图像关于原点对称.

三、总结提升: ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列语名中不是命题的是( ). 2 A. x ? 0 B.正弦函数是周期函数 C. x ?{1, 2,3, 4,5} D. 12 ? 5 2.设 M 、 N 是两个集合,则下列命题是真命题的是( ). A.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M B.如果 M ? N ? N ,那么 M ? N C.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M D. M ? N ? N ,那么 N ? M 3.下面命题已写成“若 p ,则 q ”的形式的是( ). A.能被 5 整除的数的末位是 5 B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C.若一个等式的两边都乘以同一个数,则所得的结果仍是等式 D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中: (1) 2 ? 2 是有理数(2) 2100 是个大数(3)好人一生 平安(4) 968 能被 11整除,其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于 y 轴对称”写成“若 p ,则 q ”的形式,则 ,q: p: 课后作业 1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假

(1)若 a, b 都是偶数,则 a ? b 是偶数; (2)若 m ? 0 ,则方程 x2 ? x ? m ? 0 有实数根.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并写出它们的逆命题、 否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2)矩形的对角线相等.

§ 1.1 四种命题间的相互关系

学习目标 1.掌握四种命题的内在联系; 2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系,并能利用等价关 系转化. 学习过程 一、课前准备 复习 1:四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p ,则 q (1) 逆命题 (2) 否命题 (3) 逆否命题 请填(1)(2) (3)空格. 复习 2:判断命题“若 a ? 0 ,则 x2 ? x ? a ? 0 有实根”的逆命题的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究 1:分析下列四个命题之间的关系 (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系:

2、四种命题的真假性 例 1 以“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,写出它的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断这些命题的真假并总结其规律性.

通过上例真假性可总结如: 原命 逆命题 否命题 逆否命 题 题 真 真 假 假 四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: (1) . (2) . 练习:判断下列命题的真假. (1)命题“在 ?ABC 中,若 AB ? AC ,则 ?C ? ?B ”的逆命题; (2)命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的否命题; (3)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆否命题; (4)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a2 ? b2 ? 0 ”的逆命题.

反思: (1)直接判断(2)互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题 例 1 证明:若 x2 ? y2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 .

变式:判断命题“若 x2 ? y2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”是真命题还是假命题?

练习:证明:若 a 2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 ,则 a ? b ? 1 .

例 2 已知函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, a, b ? R ,对于命题“若 a ? b ? 0 , 则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .” (1) 写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.

※ 动手试试 1.求证:若一个三角形的两条边不等,这两条边所对的角也不相等. 2.命题“如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab ”的逆否命题是( ) 2 2 A.如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab B.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 C.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 D.如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab 三、总结提升: ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题是( ). A.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0 B.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0 C.若 x, y 至少有一个不大于 0,则 xy ? 0 D.若 x, y 至少有一个小于 0,或等于 0,则 xy ? 0 2. 命题“正数 a 的平方根不等于 0”是命题“若 a 不是正数,则它的 平方根等于 0”的( ). A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题 3. 用反法证明命题“ 2 ? 3 是无理数”时,假设正确的是( ). A.假设 2 是有理数 B.假设 3 是有理数 C.假设 2 或 3 是有理数 D.假设 2 ? 3 是有理数 4. 若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 的逆命题是 否命题是 5.命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为 课后作业 1. 已知 a, b 是实数,若 x2 ? ax ? b ? 0 有非空解集,则 a 2 ? 4b ? 0 ,写出该命 题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.

2.证明:在四边形 ABCD 中,若 AB ? CD ? AC ? CD ,则 AB ? AC .

§ 1.2.1 充分条件与必要条件

学习目标 1. 理解必要条件和充分条件的意义; 2. 能判断两个命题之间的关系. 学习过程 一、课前准备 复习 1:请同学们画出四种命题的相互关系图.

复习 2:将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等”改写为“若 p ,则 q ”的形式,并写出它的逆命题、否命题、 逆否命题并判断它们的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:充分条件和必要条件的概念 问题: 1. 命题“若 x ? a2 ? b2 ,则 x ? 2ab ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 2. 1.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” (1)判断该命题的真假;

(2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 新知:一般地, “若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得 出 q . 我 们 就 说 , 由 p 推 出 q , 记 作 p?q , 并 且 说 p 是 q 的 ,q是 p 的 试试:用符号“ ? ”与“ ”填空: (1) x2 ? y 2 x? y; (2) 内错角相等 两直线平行; (3) 整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为偶数; a?b. (4) ac ? bc ※ 典型例题 例 1 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条 件? (1)若 x ? 1 ,则 x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ; (2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x2 为无理数.

练习:下列“若 P ,则 q ”的形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充 分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5 ,则 x ? 10

例 2 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等;

(3)若 a ? b ,则 ac ? bc

练习: 下列 “若 p , 则q” 形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2)若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a .

小结:判断命题的真假是解题的关键. ※ 动手试试 练 1. 判断下列命题的真假. (1) x ? 2 是 x2 ? 4 x ? 4 ? 0 的必要条件; (2) 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3) sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件; (4) ab ? 0 是 a ? 0 的充分条件.

练 2. 下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰三角形.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展

设 A, B 为两个集合,集合 A ? B ,那么 x ? A 是 x ? B 的 x? B 是 x? A的 条件.

条件,

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件?( ). A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 2. x, y ? R ,下列各式中哪个是“ xy ? 0 ”的必要条件?( ). 2 2 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x3 ? y3 ? 0 3.平面 ? // 平面 ? 的一个充分条件是( ). A.存在一条直线 a, a // ? , a // ? B.存在一条直线 a, a ? ? , a // ? C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? 4. p : x ? 2 ? 0 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p 是 q 的 条件. 5. p : 两 个 三 角 形 相 似 ; q : 两 个 三 角 形 全 等 , p 是 q 的 条件. 课后作业 1. 判断下列命题的真假 (1) “ a ? b ”是“ a 2 ? b2 ”的充分条件; | | ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的必要条件. (2) “| a

2. 已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} . (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件? (2)如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件?

§ 1.2.2 充要条件

学习目标 1. 理解充要条件的概念; 2. 掌握充要条件的证明方法,既要证明充分性又要证明必要性. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P11~ P12,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充分条件和必要条件?

复习 2: p :一个四边形是矩形 q :四边形的对角线相等. p 是 q 的什么 条件?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:充要条件概念 问题:已知 p :整数 a 是 6 的倍数, q :整数 a 是 2 和 3 的倍数.那么 p 是 q 的什么条件? q 又是 p 的什么条件?

新知:如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为

试试:下列形如“若 p ,则 q ”的命题是真命题吗?它的逆命题是真 命题吗? p 是 q 的什么条件? (1)若平面 ? 外一条直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则直线 a 与平

面 ? 平行; (2)若直线 a 与平面 ? 内两条直线垂直,则直线 a 与平面 ? 垂直.

反思:充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.

※ 典型例题 例 1 下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

变式:下列形如“若 p ,则 q ”的命题是真命题吗?它的逆命题是真 命题吗?哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

小结:判断是否充要条件两种方法 (1) p ? q 且 q ? p ; (2)原命题、逆命题均为真命题; (3) 用逆否命题转化. 练习:在下列各题中, p 是 q 的充要条件? (1) p : x2 ? 3x ? 4 , q : x ? 3x ? 4

(2) (3) (4)

p: x?3?0,
2

q : ( x ? 3)( x ? 4) ? 0

p : b ? 4ac ? 0(a ? 0)

,

q : ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) p : x ? 1 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根 q:a ?b?c ? 0

例 2 已知: ? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距离为 d .求证: d ? r 是直 线 l 与 ? O 相切的充要条件.

变式:已知: ? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距离为 d ,证明: (1)若 d ? r ,则直线 l 与 ? O 相切. (2)若直线 l 与 ? O 相切,则 d ? r

小结:证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性. ※ 动手试试 练 1. 下列各题中 p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰三角形.

练 2. 求圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 经过原点的充要条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 设 A、 集合 A ? B 是指 x ? A ? x ? B , 则 “ x? A” 与 “ x?B ” B 为两个集合, 互为 件. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为真命题的是( ). 2 2 A. a ? b 是 a ? b 的充分条件 B. | a |?| b | 是 a 2 ? b2 的充要条件 C. x 2 ? 1 是 x ? 1 的充分条件 D. ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的充要条件 2.“ x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 p : b2 ? 4ac ? 0(a ? 0) , q :关于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实根,则 ). p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 2 x2 ? 5x ? 3 ? 0 的一个必要不充分条件是( A. ? 1 ? x ? 3 B. ? 1 ? x ? 0
2 2

).

C. ?3 ? x ? 1

2

D. ?1 ? x ? 6

5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1). x ? 3 是 x ? 5 的 (2). x ? 3 是 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的 ( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的 课后作业 1. 证明:a ? 2b ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 x ? by ? 2 ? 0 垂直的充要条件.

2.求证: ?ABC 是等边三角形的充要条件是 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ,这里 a , b, c 是 ?ABC 的三边.

§1.3 简单的逻辑联结词
1. 2. 3. 4. 学习目标 了解“或” “且” “非”逻辑联结词的含义; 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断; 正确理解 ?p 的意义,区别 ?p 与 p 的否命题; 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P14~ P16,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充要条件?

复习 2:已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件; (2) 如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件; (3) 如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:“且“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1)12 能被 3 整除; (2)12 能被 4 整除; (3)12 能被 3 整除且能被 4 整除.

新知:1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来就得 到一个新命题,记作“ ” ,读作“ ”. 2.规定:
p q p?q

真 真 假 假

真 假 真 假

真 假 假 假

试试:判断下列命题的真假: (1)12 是 48 且是 36 的约数; (2)矩形的对角线互相垂直且平分.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 探究任务二:“或“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1) 27 是 7 的倍数; (2)27 是 9 的倍数; (3)27 是 7 的倍数或是 9 的倍数.

新知:1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来就得 到一个新命题,记作“ ” ,读作“ ”. 2.规定:
p q p?q

真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 试试:判断下列命题的真假: (1) 47 是 7 的倍数或 49 是 7 的倍数; (2) 等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 探究任务三:“非“的意义 问题:下列两个命题有什么关系? (1) 35 能被 5 整除; (2)35 不能被 5 整除; 新知 : 1. 一般地 , 对一个命题的全盘否定就得到一个新命题,记作 “ ” ,读作“ ”或“ ”. 2.规定:
p ?p

真 假

假 真

试试:写出下列命题的否定并判断他们的真假: (1)2+2=5; (2)3 是方程 x 2 ? 9 ? 0 的根; (3) (?1)2 ? ?1 反思: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的判断. ※ 典型例题 例 1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假: (1) p :平行四边形的对角线互相平分, q :平行四边形的对角线相 等; (2) p :菱形的对角线互相垂直, q :菱形的对角线互相平分; (3) p :35 是 15 的倍数, q :35 是 7 的倍数

变式:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断他们的真假: (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 和 3 都是素数.

小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 例 2 判断下列命题的真假 (1) 2 ? 2 ; (2) 集合 A 是 A ? B 的子集或是 A ? B 的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

变式:如果 p ? q 为真命题,那么 p ? q 一定是真命题吗?反之, p ? q 为 真命题,那么 p ? q 一定是真命题吗? 小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 例 3 写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) p : y ? sin x 是周期函数; (2) p : 3 ? 2 (3)空集是集合 A 的子集.

小结: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的判断. 三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么? ※ 知识拓展 阅读教材第 18 页,理解逻辑联结词“且” “或” “非”与集合运算 “交” “并” “补”的关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. “ p 或 q 为真命题”是“ p 且 q 为真命题”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题 P :在 ?ABC 中,?C ? ?B 是 sin C ? sin B 的充要条件;命题 q :a ? b 是 ac 2 ? bc 2 的充分不必要条件,则( ). A. p 真 q 假 B. p 假 q 假 C.“ p 或 q ”为假 D.“ p 且 q ”为真 3.命题: (1)平行四边形对角线相等; (2)三角形两边的和大于或等 于第三边; (3)三角形中最小角不大于 60? ; (4)对角线相等的菱 形为正方形.其中真命题有( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4.命题 p :0 不是自然数,命题 q :? 是无理数,在命题“ p 或 q ” “p且 “非 p ” “非 q ”中假命题是 ,真命题 q ” 是 . 2 5. 已知 p : | x ? x |? 6 , q : x ? Z , p ? q, ?q 都是假命题,则 x 的值组成的集 合为 课后作业 1. 写出下列命题,并判断他们的真假: (1) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (2) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (3) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数; (4) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数. 2.判断下列命题的真假: (1) 5 ? 2 且 7 ? 3 (2) 7 ? 8

(3) 3 ? 4 或 3 ? 4

§ 1.4 全称量词与存在量词

学习目标 1. 掌握全称量词与存在量词的的意义; 2. 掌握含有量词的命题:全称命题和特称命题真假的判断. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处) 复习 1:写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) 2 是有理数; (2)5 不是 15 的约数 (3) 8 ? 7 ? 15 (4)空集是任何集合的真子集

复习 2:判断下列命题的真假,并说明理由: (1) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (2) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (3) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 ; (4) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:全称量词的意义 问题:1.下列语名是命题吗?(1)与(3) , (2)与(4)之间有什么 关系? (1) x ? 3 ; (2) 2 x ? 1 是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3 ; (4)对任意一个 x ? Z , 2 x ? 1 是整数.

2. 下列语名是命题吗?(1)与(3) , (2)与(4)之间有什么关系? (1) 2 x ? 1 ? 3 ; (2) x 能被 2 和 3 整除; (3)存在一个 x0 ? R ,使 2x0 ? 1 ? 3 ; (4)至少有一个 x0 ? Z , x0 能被 2 和 3 整除. 新知:1.短语“ ” “ ”在逻辑中通常叫做 全称量词,并用符号“ ”表示,含有 的命题,叫做全称命题.其基本形式为: ?x ? M , p( x) ,读作: 2. 短语“ ” “ ”在逻辑中通常叫 做存在量词, 并用符号 “ ” 表示, 含有 的 命题,叫做特称称命题. 其基本形式 ?x0 ? M , p( x0 ) ,读作: 试试:判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符 号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海; (2)0 不能作为除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个非零向量都有方向.

反思:注意哪些词是量词是解决本题的关键 ,还应注意全称命题和存 在命题的结构形式. ※ 典型例题 例 1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; (3)对每一个无理数 x , x2 也是无理数.

变式:判断下列命题的真假: (1) ?x ? (5,8), f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 ? 0 (2) ?x ? (3, ??), f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 ? 0

小结:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中每一个元 素 x 验证 p( x) 成立; 但要判定全称命题是假命题, 却只要能举出集合 M 中的一个 x ? x0 ,使得 p( x0 ) 不成立即可. 例 2 判断下列特称命题的真假: (1) 有一个实数 x0 ,使 x02 ? 2x0 ? 3 ? 0 ; (2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3) 有些整数只有两个正因数.

变式:判断下列命题的真假: (1) ?a ? Z , a2 ? 3a ? 2 (2) ?a ? 3, a2 ? 3a ? 2

小结:要判定特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 是真命题只要在集合 M 中找 一个元素 x0 ,使 p( x0 ) 成立即可;如果集合 M 中,使 P( x) 成立的 元素 x 不存在,那么这个特称命题是假命题. ※ 动手试试 练 1. 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3) ?x ? {x | x 是无理数}, x2 是无理数.

练 2. 判定下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R, x0 ? 0 ; (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (3) ?x0 ?{x | x 是无理数}, x02 是无理数.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学 问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨(1646—1716)是数理逻辑的创始人。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为特称命题的是( ). A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于 3 2.下列特称命题中真命题的个数是( ). (1) ?x ? R, x ? 0 ;(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数; (3) 2 ?x ? {x | x 是无理数}, x 是无理数. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 3.下列命题中假命题的个数( ). 2 (1) ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; (2) ?x ? R, 2 x ? 1 ? 3 ; (3) ?x ? Z , x 能被 2 和 3 整除; (4) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 4.下列命题中 (1)有的质数是偶数; (2)与同一个平面所成的角相等的两条直线 平行; (3)有的三角形三个内角成等差数列; (4)与圆只有一个公共

点的直线是圆的切线,其中全称命题是 特称命题是 . 5. 用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于 0: (2)存在一对实数使 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 成立: 课后作业 1. 判断下列全称命题的真假: (1)末位是 0 的整数可以被子 5 整除; (2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等; (3)负数的平方是正数; (4)梯形的对角线相等.

2. 判断下列全称命题的真假: (1)有些实数是无限不循环小数; (2)有些三角形不是等腰三角形; (3)有的菱形是正方形.

§ 1.4.3 含一个量词的命题的否定

学习目标 1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法,要正确掌握量词否 定的各种形式; 2. 明确全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P24~ P25,找出疑惑之处) 复习 1:判断下列命题是否为全称命题: (1)有一个实数 ? , tan? 无意义; (2)任何一条直线都有斜率;

复习 2:判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
4

(2) ?x ? Q, x

2

?3

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:含有一个量词的命题的否定 问题:1.写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数;

(2)某些平行四边形是菱形; (3) ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

新知:1.一般地,对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的 结论: 全称命题 p : ?x ? p, p( x) , 它的否定 ?p : ?x0 ? M , ?p( x0 ) 2. 一般地,对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论: 特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 ) , 它的否定 ?p : ?x ? M , p( x) . 试试:1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z , n ? Q ; (2)任意素数都是奇数; (3)每个指数函数都是奇数.

2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2)有些梯形是等腰梯形; (3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.

反思:全称命题的否定变成特称命题. ※ 典型例题 例 1 写出下列全称命题的否定: (1) p :所有能被 3 整除的数都是奇数;

(2) p :每一个平行四边形的四个顶点共圆; (3) p :对任意 x ? Z , x2 的个位数字不等于 3.

变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
4

(2)

p :所有的正方形都是矩形.

例 2 写出下列特称命题的否定: (1) p : ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0 ; (2) p :有的三角形是等边三角形; (3) p :有一个素数含有三个正因数.

变式:写出下列特称命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; (2) p :至少有一个实数 x ,使 x3 ? 1 ? 0 .

小结:全称命题的否定变成特称命题. ※ 动手试试 练 1. 写出下列命题的否定: (1) ?x ? N , x3 ? x2 ; (2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; (3) ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0 ;

(4) 存在一个四边形,它的对角线是否垂直.

练 2. 判断下列命题的真假,写出下列命题的否定: (1)每条直线在 y 轴上都有截矩; (2)每个二次函数都与 x 轴相交; (3)存在一个三角形,它的内角和小于 180? ; (4)存在一个四边形没有外接圆.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 英国数学家布尔(G.BOOL)建立了布尔代数,并创造了一套符号系 统,利用符号来表示逻辑中的各种概念 .他不建立了一系列的运算法 则,利用代数的方法研究逻辑问题,初步奠定了数理逻辑的基础. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称”的否定是( ). A. 原函数与反函数的图象关于 y ? ?x 对称 B. 原函数不与反函数的图象关于 y ? x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y ? x 对称 D. 存在原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称 2.对下列命题的否定说法错误的是( ). A. p :能被 3 整除的数是奇数; ?p :存在一个能被 3 整除的数不 是奇数 B. p :每个四边形的四个顶点共圆; ?p :存在一个四边形的四个 顶点不共圆 C. p :有的三角形为正三角形; ?p :所有的三角形不都是正三角 形 D. p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; ?p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 3.命题“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( ). A. 不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 B. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 C. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 4. 平行四边形对边相等的否定是 5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 . 课后作业 1. 写出下列命题的否定: (1)若 2 x ? 4 ,则 x ? 2 ; (2)若 m ? 0, 则 x2 ? x ? m ? 0 有实数根; (3)可以被 5 整除的整数,末位是 0; (4)被 8 整除的数能被 4 整除; (5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.

2. 把下列命题写成含有量词的命题: (1)余弦定理; (2)正弦定理.

第一章 常用逻辑用语(复习)

学习目标 1. 命题及其关系 (1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的 相互关系; (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义. 3. 全称量词与存在量词 (1) 理解全称量词与存在量词的意义; (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习过程 一、课前准备 复习 1:

复习 2: 1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题?

2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的?

3.什么是充分条件、必要条件和充要条件?

4 你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎 样?

5.否命题与命题的否定有什么不同?

6.什么是全称量词和存在量词?

7.怎样否定含有一个量词的命题?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 命题“若 x 2 ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1



B.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 变 式 : 命 题 “ 若 是
x ?1



x ? ?1

, 则 .

x2 ? 1

” 的 逆 否 命 题

小结:弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键. 例 2 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是( ). (1) p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点 (2) p :
f (? x) ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数 f ( x)

(3) p : cos ? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? (4) p : A ? B ? A ; q : c 痧 UB ? U A A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 变式:设命题 p : | 4 x ? 3 |? 1 ,命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

小结:处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论,有时利用 逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助. 例 3 给出下列命题: 关于 x 的不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a2 ? 0 的解集是 R ,q : 函数 y ? lg(2a2 ? a) x 是 p: 增函数. (1) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围. (2) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 如果命题“ p 且 q ”与命题“ p 或 q ”都是假命题,那么 ( )

A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 练 2. 若命题 p 的逆命题是 q,命题 p 的否命题是 r,则 q 是 r 的 ( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么? ※ 知识拓展 已知函数 f ( x) ? 4x2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p2 ? p ? 1 在区间 [? 1,1]的所有的 x , 都有 f ( x ) ? 0 恒成立,求 p 的取值范围. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列语句不是命题的有( ). ① x2 ? 3 ? 0 ; ② 与 一 条 直 线 相 交 的 两 直 线 平 行 吗 ? ③ 3 ? 1 ? 5 ; ④ 5x ? 3 ? 6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2. 给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三个复合命题:“p 且 q” “p 或 q” “非 p”中,真命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 3. 若 a、b、c 是 常 数 , 则 “ a ? 0且b2 ? 4ac ? 0 ” 是 “ 对 任 意 x ? R , 有 a x2 ? b x ? c?0 ”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4. 已知 a,b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的 条件. 5. “ tan ? ? tan ? ”的 条件是“ ? ? ? ” 课后作业 1. 写出命题“若 x2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?8 或 x ? 1 ”的逆命题、否命题、逆 否命题,并分别判断它们的真假。

2. 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)有些实数的绝对值是正数.

常用逻辑用语测试题 一、选择题 1.下列语句不是命题的有( A.①③④ C.①②④ ).

① x 2 ? 3 ? 0 ;②与一条直线相交的两直线平行吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5 x ?3 ?6 B.①②③ D.②③④

2.给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三个复合命题: “p 且 q” “p 或 q” “非 p”中,真命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 3.如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么( A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 4.命题“若 a ? b ,则 ac2 ? bc2 ( a、b ? R ) ”与它的逆命题、否命题中,真 命题的个数为( ). A.3 B.2 C.1 D.0 5.若 p、 q 是两个简单命题, 且 “p 或 q” 的否定是真命题, 则必有 ( ) . A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C .p 真,q 假 D.p 假,q 真 6.有下列三个命题:①“若 x ? y ? 0 ,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ”的逆否命题;③“若 x ? ?3 ,则 x2 ? x ? 6 ? 0 ” 。 其中假命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 7.如果命题“非 p 或非 q”是假命题,则在下列各结论中,正确的为 ( ). ①命题“p 且 q”是真命题 ②命题“p 且 q”是假命题 ③命题“p 或 q”是真命题 ).

④命题“p 或 q”是假命题 A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 8.若命题 p 的逆命题是 q,命题 p 的否命题是 r,则 q 是 r 的( ). A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 a 2 x b? c ? ? 0” 9.若 a、b、c 是常数, 则 “ a ? 0且b2 ? 4ac ? 0 ” 是 “对任意 x ? R , 有x 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 2 10.一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0( a ? 0 )有一个正根和一个负根的充分不 必要条件是( ). A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1 11.若非空集合 M 是集合 N 的真子集, 则 “a?M 或a? N ” 是 “a?M ? N ” 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 12.已知 ?、? 均为锐角,若 p: sin ? ? sin(? ? ? ) ,q: ? ? ? ? ? ,则 p 是 q
2

的(

).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 13.设 a、b、c 分别是 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,则 a2 ? b(b ? c) 是 A=2B 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 14.已知 p: a ? 0 ;q: ab ? 0 ,则 p 是 q 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 15.在 ?ABC 中,设命题 p:
a b c ,命题 ? ? sin B sin C sin A

q: ?ABC 是等边三角

形,那么命题 p 是命题 q 的(

).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 16.如果 p 是 q 的充分不必要条件,r 是 q 的必要不充分条件;那么 ( ). A. ? p ?? r B. ? p ?? r C. ? p ?? r D. p ? r

二 填空题 17.已知 a,b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的 条件. 18.“ a ? 5 且 b ? 2 ”的否定是 19.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为 .(真 命题或假命题). 20.“ tan ? ? tan ? ”的 条件是“ ? ? ? ”. 21.“若 A 则 B”为真命题,而“若 B 则 C”的逆否命题为真命题, 且“若 A 则 B”是“若 C 则 D”的充分条件,而“若 D 则 E” 是“若 B 则 C”的充要条件,则 B 是 E 的 条件; ? A 是 ? E 的 条件. 三 解答题 22.写出下列命题的否定命题和否命题: (1)若 abc ? 0 ,则 a、b、c 中至少有一个为零;

(2)若 x2 ? y2 ? 0 ,则 x、y 全为零;

(3)平行于同一条直线的两条直线平行.

23. 写出命题“若 x2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?8 或 x ? 1 ”的逆命题、否命题、 逆否命题,并分别判断它们的真假.


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